MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Аналитическая геометрия на плоскости

В этом разделе расмотрим основные понятия аналитической геометрии на плоскости.

Координаты точки на прямой и на плоскости. Расстояние между двумя точками

Расстояние d между точками A(a) и В(b) на оси:

$\displaystyle d=\vert b-a\vert=\sqrt{(b-a)^2}.
$

Величина АВ (алгебраическая) направленного отрезка на оси:

$\displaystyle AB=b-a.
$

Расстояние d между точками А(a;b) и В(e; f) на плоскости:

$\displaystyle d=\sqrt{(a-e)^2+(b-f)^2}.
$

Проекции на оси координат направленного отрезка, или век- тора АВ на плоскости с началом А(a;b) и концом В(e;f):

$\displaystyle pr_xAB=X=e-a,\ pr_yAB=Y=f-b.
$

Все эти понятия должны быть известны со школы.

Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника и многоугольника

Пусть требуется разделить отрезок в заданном отношении. Следующая формула дает ответ на данный вопрос.

Деление отрезка в данном отношении. Даны точки A(a;b)и В(e;f) Координаты точки М(х; у), делящей отрезок АВ в отношении AM : MB = k, определяются по формулам:

$\displaystyle x=\frac{a+ke}{1+k}.\ \ \
y=\frac{b+kf}{1+k}.
$

В частности, при делении пополам, т. е. в отношении k= 1 : 1 = 1,

$\displaystyle x=\frac{a+e}{2},\ \ \
y=\frac{b+f}{2}.
$

Площадь многоугольника с вершинами A(a;b), B(c;d), C(e;f) D(g;h)... равна

$\displaystyle s=\left\vert
\left\vert\begin{array}{c&c}
a&b\\
c&d
\end{ar...
...\begin{array}{c&c}
e&f\\
g&h
\end{array}
\right\vert
...
\right\vert.
$

Выражение вида

$\displaystyle \left\vert\begin{array}{c&c}
a&b\\
c&d
\end{array}
\right\vert
$

равно $ ad-cb$ и называется определителем второго порядка.

Уравнение линии как геометрического места точек

Уравнением линии называется уравнение с переменными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и только они.

Входящие в уравнение линии переменные х и у называются теку- щими координатами, а буквенные постоянные — параметрами. Например, в уравнении окружности $ x^2 + y^2 = R^2$ переменные х, у - текущие координаты, а постоянная R — параметр.

Чтобы составить уравнение линии как геометрического места точек, обладающих одинаковым свойством, нужно:

1) взять произвольную (текущую) точку М(х; у) линии;

2) записать равенством общее свойство всех точек М линии;

3) входящие в это равенство отрезки (и углы) выразить через теку- щие координаты точки М(х; у) и через данные в задаче.

Уравнение прямой: 1) с угловым коэффициентом, 2) общее, 3) в отрезках на осях

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

$\displaystyle y = kx + b.
$

Параметр k равен тангенсу угла $ \alpha$ наклона прямой к оси Ox ( $ k = \tg\alpha$ ) и называется угловым коэффициентом, или иногда наклоном прямой. Параметр $ b$ - величина отрезка на оси Oy, или начальная ордината.

Общее уравнение прямой

$\displaystyle Ax+By+C=0.
$

Особые случаи:

а) при С = 0 $ y=-\frac{A}{B}x$ - прямая проходит через начало координат;

б) при B = 0 $ x=-\frac{C}{A}$ - прямая параллельна оси Оу;

в) при А = 0 $ y =-\frac{C}{B}$ - прямая параллельна оси Ох;

г) при В = С = 0 Ах = 0, х = 0 — ось Оу;

д) при А = С = 0 By = 0, у = 0 — ось Ох.

Уравнение прямой в отрезках на осях

$\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1,
$

где а и b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

Угол между прямыми. Уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Точка пересечения двух прямых

Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Уравнения биссектрис. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух данных прямых

Нормальное уравнение прямой

$\displaystyle x\cos\beta + y\sin\beta-r = 0,
$

где r - длина перпендикуляра (нормали), опущенного из начала координат на прямую, а $ \beta$ - угол наклона этого перпендикуляра к оси Ох. Чтобы привести общее уравнение прямой Ах + By + С = 0 к нормальному виду, нужно все члены его умножить на нормирующий множитель

$\displaystyle M=\pm\frac{1}{\sqrt{A^2+B^2}},
$

взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена С.

Расстояние d от точки (x; у) до прямой найдем, если в левую часть нормального уравнения прямой на место текущих координат подставим координаты (x; y) и полученное число возьмем по абсолютной величине:

$\displaystyle d=\vert x\cos\beta+y\sin\beta-r\vert,
$

или

$\displaystyle d=\frac{Ax+By+C}{\sqrt{A^2+B^2}}.
$

Уравнения биссектрис углов между прямыми Ах + By +С = 0 к Dx + Ey + F = 0:

$\displaystyle \frac{Ax+By+C}{\sqrt{A^2+B^2}}=
\pm\frac{Dx+Ey+F}{\sqrt{D^2+E^2}}.
$

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух данных прямых:

$\displaystyle a(Aх + By +C) + b(Dx + Ey + F ) = 0.
$

Можно положить a=1, исключив этим из пучка вторую из дан- ных прямых.

Окружность

Эллипс

Гипербола

Парабола

Директрисы, диаметры и касательные к кривым второго порядка

Преобразование декартовых координат. Параболы $ y = ax^2 + bx + c$ и $ x = ay^2 + by + c.$ Гипербола $ xy=k$

Смешанные задачи на кривые второго порядка

Общее уравнение линии второго порядка

Полярные координаты

Алгебраические кривые третьего и высших порядков

Трансцендентные кривые