Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Дифференциальное уравнение вида

называется дифференциальным уравнением в полных диффернциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой гладкой функции , т.е. если , . Необходимое и достаточное условие для существования такой функции имеет вид:

Чтобы решить дифференциальное уравнение в полных дифференциалах необходимо найти функцию . Тогда общее решение дифференциального уравнения можно записать в виде для произвольной постоянной .

Интегрирующим множителем для дифференциального уравнения

называется такая функция , после умножения на которую дифференциальное уравнение превращается в уравнение в полных дифференциалах. Если функции и в уравнении имеют непрерывные частные производные и не обращаются в ноль одновременно, то интегрирующий множитель существует. Однако, общего метода для его отыскания не существует.

Пример 1 - решить дифференциальное уравнение

Решение примера.

Проверим дифференциальное уравнение на то, что оно является дифференциальным уравнением в полных дифференциалах. Для этого найдем частную производную по от функции, которая стоит перед , найдем частную производную по от функции, которая стоит перед . Получаеи, что

и

следовательно, исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Найдем функцию , полный дифференциал которой был бы равен левой части исходного дифференциального уравнения, т.е. такую функцию , что

Интегрируем по первое из уравнений, считая постоянным, при этом константа интегрирования должно быть функцией :

Подставляя это выражение для функции во второе из уравнений, найдем неизвестную функцию ^

получаем, что

Следовательно, в качестве функции можно взять , и общее решение исходного дифференциального уравнение будет иметь вид:

Пример 2 - решить дифференциальное уравнение

Решение примера.

Пример 3 - решить дифференциальное уравнение

Решение примера.