MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Дифференциальные уравнения Клеро и Лагранжа

Дифференциальное уравнение Лагранжа

$\displaystyle y=xf(p)+\varphi(p),$

где

, интегрируется следующим образом. Продифференцировав дифференциальное уравнение по

, найдем:

$\displaystyle p=f(p)+(xf'(p)+\varphi'(p))\frac{dp}{dx}.$

Это уравнение линейной относительно

и $\frac{dx}{dp}$ . Решив его, получим:

$\displaystyle x=CA(p)+B(p).$

Полученные уравнения будут параметрически определять общий интеграл. Исключив из них параметр

(если это возможно), получим общий интеграл в форме $\Phi(x,y,C)=0$ .

Дифференциальное уравнение Клеро

$\displaystyle y=px+\varphi(p),$

где

, является частным случаем дифференциального уравнения Лагранжа. Оно имеет общий интеграл $y=Cx+\varphi(C)$ и особый, получающийся исключением параметра

из уравнений $y=px+\varphi(p)$ и $x=-\varphi'(p)$ .

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка. Дифференциальное уравнение $F(x,y',y^{''})=0$ , не содержащее в явной форме, подстановкой , $y^{''}=\frac{dp}{dx}$ приводится к виду

$\displaystyle F(x,p,\frac{dp}{dx})=0.$

Дифференциальное уравнение $F(y,y',y^{''})=0$ , не содержащее

в явной форме, подстановкой

, $y^{''}=p\frac{dp}{dy}$ приводится к виду

$\displaystyle F(y,p,p\frac{dp}{dy})=0.$

Дифференциальное уравнение $F(x,y^{(k)},y^{(k+1)},...,y^{(n)})$ , не содержащее в явной форме

,

,..., $y^{(k-1)}$ , подстановкой $p=y^{(k)}$ приводится к дифференциальному уравнению более низкого порядка.