Однородные дифференциальные уравнения

Однородное дифференциальное уравнение может быть записано в виде

$\displaystyle y'=f(y/x)$

или

$\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,$

где

- однородные функции одной и той же степени, т.е. для некоторого натурального числа

и для произвольного

справедливы равенства

$\displaystyle M(px,py)=p^k, \quad N(px,py)=p^k.$

Для решения однородного дифференциального уравнения необходимо сделать замену переменных

, которая сводит однородное дифференциальное уравнение к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 1 - решить дифференциальное уравнение

$\displaystyle xy^{'}=y\cos\ln\frac{y}{x}.$

Решение примера

Заметим, что данное дифференциальное уравнение является однородным дифференциальным уравнением, т.к. в правой части стоит однородная функция.

Сделаем замену в дифференциальном уравнении:

$\displaystyle y = tx.$

Находим дифференциал от правой и левой частей замены:

$\displaystyle dy=d(tx)\ dy=tdx+xdt.$

Перепишем дифференциальное уравнение в следующем виде, учитывая, что $y^{'}=\frac{dy}{dx}$ , получаем:

$\displaystyle x\frac{dy}{dx}=y\cos\ln\frac{y}{x}$

или

$\displaystyle xdy=y\cos\ln\frac{y}{x}dx$

$\displaystyle x(tdx+xdt)=tx\cos\ln\frac{tx}{x}dx$

$\displaystyle x(tdx+xdt)=tx\cos\ln t dx.$

Перегруппируем слагаемые, т.е., что содержит

в одну сторону, что содержит

в другую сторону:

$\displaystyle (xt -tx\cos\ln t)dx+xdt=0$

$\displaystyle xt(1 -\cos\ln t)dx+xdt=0.$

Заметим, что в дифференциальном уравнении можно разделить переменные, т.е. получаем, дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

$\displaystyle xt(1 -\cos\ln t)dx+xdt=0,$

разделим уравнение на $xt(1 -\cos\ln t)$ (равенство нулю учтем позже), получим:

$\displaystyle \frac{dt}{t(1 -\cos\ln t)}=-dx.$

Проинтегрируем левые и правые части:

$\displaystyle \int \frac{dt}{t(1 -\cos\ln t)}=-\int dx,$

получаем решение примера:

$\displaystyle \ctg\frac{\ln t}{2}=\ln x+C$

делаем обратную замену замену:

$\displaystyle \ctg\frac{\ln \frac{y}{x}}{2}=\ln x+C$

Пример 2 - решить дифференциальное уравнение

$\displaystyle xdy=(x+y)dx.$

Решение примера.

Заметим, что данное дифференциальное уравнение является однородным дифференциальным уравнением, т.к. функция ы правой части является однородной функцией.