Линейные дифференциальные уравнения в частных производных

Пусть искомая функция

зависит от нескольких независимых переменных

( $n\ge 2$ ). Уравнение, связывающее искомую функцию, независимые переменные и частные производные от искомой функции, называется дифференциальным уравнением с частными производными. Оно имеет вид:

$\displaystyle F(u,x_1,x_2,...,x_n,\frac{\partial u}{\partial x_1},...,\frac{\pa... ...2u}{\partial x_1\partial x_2},...,\frac{\partial^k u}{\partial x_1^k},...)=0.$

Здесь

-- данная функция своих аргументов. Порядок старшей частной производной, входящей в уравнение, называется порядком уравнения частными производными.

Дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка с независимыми переменными может быть записано в форме:

$\displaystyle F(u,x_1,x_2,...,x_n,\frac{\partial u}{\partial x_1},...,\frac{\partial u}{\partial x_n})=0.$

Общее решение дифференциального уравнения с частными производными, вообще говоря, может зависеть от некоторых произвольных (гладких) функций.

Пример. Рассмотрим уравнение в частных производных второго порядка

$\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}=0.$

Написав его в виде $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)=0$ , убеждаемся в том, что $\frac{\partial u}{\partial y}$ не зависит от

. Мы можем положить его равным произвольной функции от

: $\frac{\partial u}{\partial y}=\chi(y)$ . Интегрируем последнее равенство по

. Замечая, что постоянная интеграции есть постоянная по отношению к

, т.е. может быть любой функцией от

, и что $\int\chi(y)dy$ -- опять произвольная (дифференцируемая) функция от

, получаем общее решение данного уравнения:

$\displaystyle u=\varphi(x)+\psi(y),$

где $\varphi$ , $\psi$ -- произвольные функции, которые, конечно, должны быть дифференцируемы, чтобы имел смысл результат подстановки в данное уравнение. В этом случае общее решение уравнения зависит от двух произвольных функций.

Для уравнений в частных производных можно вводить различные добавочные данные, которые определяют при некоторых условиях однозначно частное решение. В частности, можно использовать начальные данные Коши. Для одного уравнения -ого порядка, разрешенного относительно одной из старших производных, вида

$\displaystyle \frac{\partial^m u}{\partial x_1^m}=f(x_1,x_2,...,x_n,u,\frac{\partial u}{\partial x_1},...,\frac{\partial^m u}{\partial x_n^m})$

начальные условия при

имеют вид

$\displaystyle u=\varphi_0(x_2,...,x_n),$

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x_1}=\varphi_1(x_2,...,x_n),...,\frac{\partial^{m-1}u}{\partial x_1^{m-1}}=\varphi_{m-1}(x_2,...,x_n),$

где $\varphi_0$ , $\varphi_1$ ,..., $\varphi_{m-1}$ -- заданные функции. Нахождение решения уравнения, удовлетворяющего указанным условиям, есть задача Коши.

В общем случае уравнение в часных производных может не иметь общего решения, зависящего от конечного набора функций или постоянных параметров. Уравнения в частных производных первого порядка обладают общим решением, зависящим от одной произвольной функции. Задача интегрирования уравнения в частных производных первого порядка сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим линейное однородное уравнение в частных производных:

$\displaystyle X_1\frac{\partial u}{\partial x_1}+X_2\frac{\partial u}{\partial x_2}+...+X_n\frac{\partial u}{\partial x_n}=0,$

где

-- данные функции независимых переменных

, непрерывные и непрерывно дифференцируемые в рассматриваемой области. Наряду с дифференциальным уравнением в частных производных напишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

$\displaystyle \frac{dx_1}{X_1}=\frac{dx_2}{X_2}=...=\frac{dx_n}{X_n}.$

Левая часть любого первого интеграла системы обыкновенных дифференциальных уравнений есть решение уравнения в частных производных. И обратно, всякое решение уравнения в частных производных, приравненное произвольной постоянной, дает первый интеграл выписанной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть

$\displaystyle \psi_1(x_1,...,x_n)=C_1,...,\psi_{n-1}(x_1,...,x_n)=C_{n-1}$

есть некоторая определенная система независимых интегралов составленной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Тогда для произвольной дифференцируемой функции $\Phi(\psi_1,...,\psi_{n-1})$ суперпозиция функций $\Psi(\psi_1(x_1,...,x_{n}),...,\psi_{n-1}(x_1,...,x_n))$ является общим решением линейного однородного уравнения в частных производных.

Для уравнения

$\displaystyle X_1\frac{\partial u}{\partial x_1}+X_2\frac{\partial u}{\partial x_2}+...+X_n\frac{\partial u}{\partial x_n}=0$

решим задачу Коши с начальными данными:

$\displaystyle u(x_1,x_2,...,x_{n-1},x_n^0)=\varphi(x_1,x_2,...,x_{n-1}),$

где

-- заданное число, $\varphi(x_1,x_2,...,x_{n-1})$ -- заданная дифференцируемая функция своих аргументов. Пусть $\psi_1,...,\psi_{n-1}$ -- независимые первые интегралы. Пусть далее $\omega_1,...,\omega_{n-1}$ -- такие функции, что

$\displaystyle x_1=\omega_1(y_1,...,y_{n-1}), x_2=\omega_2(y_1,...,y_{n-1}),...,x_{n-1}=\omega_{n-1}(y_1,...,y_{n-1})$

являются решениями системы уравнений

$\displaystyle \psi_1(x_1,...,x_{n-1},x_n^0)=y_1, \psi_2(x_1,x_2,...,x_{n-1},x_n^0)=y_2,..., \psi_{n-1}(x_1,x_2,...,x_{n-1},x_n^0)=y_{n-1}.$

Тогда искомое частное решение дифференциального уравнения в частных производных имеет вид

$\displaystyle u=\varphi(\omega_1(\psi_1,...,\psi_{n-1}),\omega_2(\psi_1,...,\psi_{n-1}),...,\omega_{n-1}(\psi_1,...,\psi_{n-1})).$

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных

$\displaystyle x_1\frac{\partial u}{\partial x_1}+x_2\frac{\partial u}{\partial x_2}+...+x_n\frac{\partial u}{\partial x_n}=0.$

Пишем соответствующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

$\displaystyle \frac{dx_1}{x_1}=\frac{dx_2}{x_2}=...=\frac{dx_n}{x_n}.$

Независимая система ее первых интегралов есть

$\displaystyle \frac{x_1}{x_n}=C_1, \frac{x_2}{x_n}=C_2,..., \frac{x_{n-1}}{x_n}=C_{n-1}.$

Следовательно, общее решение данного уравнения в частных производных имеет вид

$\displaystyle u=\Psi(\frac{x_1}{x_n},\frac{x_2}{x_n},...,\frac{x_{n-1}}{x_n}).$

Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения в частных производных

$\displaystyle X_1\frac{\partial u}{\partial x_1}+X_2\frac{\partial u}{\partial x_2}+...+X_n\frac{\partial u}{\partial x_n}=P,$

где

-- некоторая известная функция от

, может быть сведено к решению линейного однородного уравнения в частных производных, если искать его решение в неявном виде

, где

-- искомая функция.

Линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными имеет вид

$\displaystyle a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+b_1u_x+b_xu_y+cu+f=0,$

где $a_{11}$ , $a_{12}$ , $a_{22}$ ,

-- функции от

. Рассмотрим также следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

$\displaystyle a_{11}dy^2-2a_{12}dxdy+a_{22}dx^2=0.$

Это уравнение называется характеристическим, а его первые интегралы - характеристиками исходного уравнения в частных производных.

Для линейных уравнений в частных производных второго порядка используется следующая классификация (в какой-то фиксированной точке ): 1) если $a_{12}^2-a_{11}a_{22}>0$ , то это уравнение гиперболического типа; 2) если $a_{12}^2-a_{11}a_{22}<0$ , то это уравнение эллиптического типа; 3) если $a_{12}^2-a_{11}a_{22}=0$ , то это уравнение гиперболического типа. Если коэффициенты уравнения зависят от , то в разных точках области определения уравнение может пренадлежать к разным типам.

Если рассматривается уравнение гиперболического типа, то для него имеется две независимые характеристики: $\varphi(x,y)=C$ и $\psi(x,y)=C$ . При помощи замены переменных $\xi=\varphi(x,y)$ , $\eta=\psi(x,y)$ уравнение может быть преобразовано к канонической форме: $u_{\xi\eta}=f(\xi,\eta,u,u_{\xi},u_{\eta})$ . Для уравнений гиперболического типа иногда используется также вторая каноническая форма: $u_{\xi\xi}-u_{\eta\eta}=f(\xi,\eta,u,u_{\xi},u_{\eta})$ .

Если рассматривается уравнение параболического типа, то существует лишь одна характеристика $\varphi(x,y)=C$ . Пусть $\psi(x,y)$ -- произвольная функция, независимая от $\varphi$ . Тогда при помощи замены переменных $\xi=\varphi(x,y)$ , $\eta=\psi(x,y)$ уравнение может быть приведено к канонической форме $u_{\eta\eta}=f(\xi,\eta,u,u_{\xi},u_{\eta})$ .

Если рассматривается уравнение эллиптического типа, то существует комплексная характеристика $\varphi(x,y)=C$ . Пусть $\varphi^*(x,y)$ -- функция, комплексно сопряженная к $\varphi(x,y)$ . Сделав замену переменных $\xi=\frac{\varphi+\varphi^*}{2}$ , $\eta=\frac{\varphi-\varphi^*}{2i}$ , преобразуем уравнение к канонической форме: $u_{\xi\xi}+u_{\eta\eta}=f(\xi,\eta,u,u_{\xi},u_{\eta})$ .