Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции

Рассмотрим следующие вопросы, который касаются функций.

Если функция непрерывна, то она дифференцируема?

Если функция дифференцируема, то она непрерывна?

Ответ на первый вопрос: из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость.

Ответ на второй вопрос: из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

Рассмотрим более конкретно каждый вопрос. Чтобы ответить на данные вопросы необходимо доказать озвученый факт или привести пример, который опровергает этот факт.

Найдем производную следующей функции $y=\vert x\vert$ . Хорошо известно, данная функция является непрерывной и, что ее производная будет следующей:

$\begin{displaymath} y^{'}=\left\{ \begin{array}{l} 1,\quad x>0;\\ -1,\quad x<0. \end{array} \right. \end{displaymath}$

Покажем, что в точке нуль производная не существут. Для этого найдем производную в нуле по определению производной:

$\displaystyle y^{'}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{y(\Delta x)-y(0)}{\Delta x... ...0}{\Delta x}= \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\vert\Delta x\vert}{\Delta x}$

данный предел равен 1, если $\Delta x\to 0+$ и равен (-1), если $\Delta x\to 0-$ , получаем, что предел не существует, следовательно в нуле производной нет и функция в нуле не дифференцируема.