Свойства пределов.

Обозначение предела Предел функции обозначается как $f(x)\to A$ , при $x\to a$ или через символ предела $\lim\limits_{x\to a}f(x)=A$ .

Всюду ниже предполагается, что пределы функций существуют.

Рассмотрим основные свойства пределов.

Предел суммы
Предел суммы равен сумме пределов, если каждый из них существует, т.е.

$\displaystyle \lim\limits_{x\to a}(f(x)+g(x))= \lim\limits_{x\to a}f(x)+\lim\limits_{x\to a}g(x);$
Предел разности
Предел разности равен разности пределов, если каждый из них существует, т.е.

$\displaystyle \lim\limits_{x\to a}(f(x)-g(x))= \lim\limits_{x\to a}f(x)-\lim\limits_{x\to a}g(x);$
Предел постоянной величины
Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

$\displaystyle \lim\limits_{x\to a}C=C.$
Предел произведения функции на постоянную величину
Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

$\displaystyle \lim\limits_{x\to a}Cf(x)=C\lim\limits_{x\to a}f(x).$
Предел произведения Предел произведения равен произведению пределов, если каждый из них существует, т.е.

$\displaystyle \lim\limits_{x\to a}(f(x)g(x))= \lim\limits_{x\to a}f(x)\lim\limits_{x\to a}g(x);$
Предел частного
Предел частного равен частному пределов, если каждый из них существует и знаменатель не обращается в нуль, т.е.

$\displaystyle \lim\limits_{x\to a}\frac{ f(x)}{g(x)}= \frac{\lim\limits_{x\to a}f(x)}{\lim\limits_{x\to a}g(x)}.$
Предел степенной функции

$\displaystyle \lim\limits_{x\to a}f^p(x)= (\lim\limits_{x\to a}f(x))^p,$

где степень p - действительное число.
Предел показательной функции

$\displaystyle \lim\limits_{x\to a}b^{f(x)}=b^{\lim\limits_{x\to a}f(x)},$

где основание b > 0.
Предел логарифмической функции

$\displaystyle \lim\limits_{x\to a}\log_bf(x)=\log_b(\lim\limits_{x\to a}f(x)),$

где основание b > 0.
Теорема "о двух милиционерах"
Предположим, что $g(x)\leqs f(x)\leqs h(x)$ для всех x близких к a, за исключением, быть может, самой точки x = a. Тогда, если

$\displaystyle \lim\limits_{x\to a}g(x)= \lim\limits_{x\to a}h(x)=A$

то

$\displaystyle \lim\limits_{x\to a}f(x)=A$

То есть функция f (x) остается "зажатой" между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу A.

Все эти свойства пределов позволяют свести исходный предел к уже известному и получить ответ.

Рассмотрим несколько примеров на свойства пределов.

Пример 1 - найти предел используя свойства пределов