Число e, второй замечательный предел

Числом e называется предел

$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n= \lim\limit... ...\right)^n= \lim\limits_{\alpha\to0}\left(1+\alpha\right)^\frac{1}{\alpha}=e.$

Это число иррациональное и приближенно равно е = 2.718281828.... Логарифмы с основанием е называются натуральными и обозначаются

$\displaystyle \log_ex=\ln x.$

Данный предел называют вторым замечательным пределом.

Многие примеры сводятся с помощью простых хамен ко второму замечательному пределу.

Рассмотрим несколько примеров решения на второй замечательный предел.

Пример 1 - найти предел используя второй замечательный предел

Найти предел:

$\displaystyle \lim\limits_{\alpha\to0}\left(1+\alpha\right)^\frac{1}{2\alpha}$

Решение.

Преобразуем предел:

$\displaystyle \lim\limits_{\alpha\to0}\left(\left(1+\alpha\right)^\frac{1}{\alpha}\right)^{1/2}.$

Используя свойства пределов , а конкретно, что если функция

непркрывна в точке a, то $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$ , получим:

$\displaystyle \lim\limits_{\alpha\to0}\left(\left(1+\alpha\right)^\frac{1}{\alp... ...(\lim\limits_{\alpha\to0}\left(1+\alpha\right)^\frac{1}{\alpha}\right)^{1/2}.$

Замечаем, что можно применить второй замечательный предел и получаем ответ.

$\displaystyle \left(\lim\limits_{\alpha\to0}\left(1+\alpha\right)^\frac{1}{\alpha}\right)^{1/2}= e^{1/2}.$

Исходный предел равен: $\sqrt{e}$ .

Пример 2 - найти предел используя второй замечательный предел

$\displaystyle \lim\limits_{\alpha\to0}\left(1+2\alpha\right)^\frac{1}{\alpha}$

Решение.

Преобразуем предел. Для этого в степени умножим числитель и знаменатель на 2:

$\displaystyle \lim\limits_{\alpha\to0}\left(1+2\alpha\right)^\frac{1}{\alpha}= ... ...m\limits_{\alpha\to0}\left(\left(1+2\alpha\right)^\frac{1}{2\alpha}\right)^2.$

Используя свойства пределов , а конкретно, что если функция

непркрывна в точке a, то $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$ , получим:

$\displaystyle \lim\limits_{\alpha\to0}\left(\left(1+2\alpha\right)^\frac{1}{2\a... ...ft(\lim\limits_{\alpha\to0}\left(1+2\alpha\right)^\frac{1}{2\alpha}\right)^2.$

Сделаем замену $\beta=2\alpha$ , следовательно:

$\displaystyle \left(\lim\limits_{\alpha\to0}\left(1+2\alpha\right)^\frac{1}{2\a... ... \left(\lim\limits_{\beta\to0}\left(1+\beta\right)^\frac{1}{\beta}\right)^2.$

Замечаем, что можно применить второй замечательный предел и получаем ответ.

$\displaystyle \left(\lim\limits_{\beta\to0}\left(1+\beta\right)^\frac{1}{\beta}\right)^2= e^2.$

Исходный предел равен: .

Пример 3 - найти предел используя второй замечательный предел

Решение.

Преобразуем предел:

Замечаем, что можно применить второй замечательный предел

Получаем ответ. Исходный предел равен: