MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Аффинные преобразования и движения

Определение. Аффинным отображение из одного аффинного пространства $ ({\mathfrak{A}}_1,V_1)$ в другое $ ({\mathfrak{A}}_2,V_2)$ называется такое отображение $ \varphi\colon{\mathfrak{A}}_1\to{\mathfrak{A}}_2$ , для которого существует линейное отображение $ D\varphi\colon V_1\to V_2$ (дифференциал отображения $ \varphi$ ), удовлетворяющее условию: для любых двух точек $ P,\,Q\in{\mathfrak{A}}_1$ справедливо равенство $ \varphi(Q)=\varphi(P)+D\varphi(\overrightarrow{PQ})$ или $ \overrightarrow{\varphi(P)\varphi(Q)}=D\varphi(\overrightarrow{PQ})$ .

Теорема. Пусть $ O_i\in{\mathfrak{A}}_i$ -- произвольные точки, и $ {\cal A}\colon V_1\to V_2$ -- линейное отображение. Тогда существует единственное аффинное отображение $ \varphi\colon{\mathfrak{A}}_1\to{\mathfrak{A}}_2$ такое, что $ \varphi(O_1)=O_2$ и $ D\varphi={\cal A}$ . При этом, отображение $ \varphi$ биективно тогда и только тогда, когда отображение $ {\cal
A}$ биективно.

Замечание. Таким образом, для любой точки $ P=O_1+{\mathbf
x}\in{\mathfrak{A}}_1$ получаем $ \varphi(P)=O_2+{\cal A}({\mathbf
x})$

Определение. Аффинное отображение $ \varphi$ называется аффинным преобразованием, если $ ({\mathfrak{A}}_1,V_1)=({\mathfrak{A}}_2,V_2)$ и $ \varphi$ является биекцией.

Замечание. Все аффинные преобразования обозначаются $ {\operatorname{Aff}}({\mathfrak{A}})$ .

Пусть даны два аффинных преобразования $ \varphi$ и $ \psi$ . Тогда $ (\varphi\psi)(Q)=\varphi(\psi(Q))=\varphi(\psi(P)+D\psi(\overrightarrow{PQ}))=...
...\psi)(\overrightarrow{PQ})=(\varphi\psi)(P)+(D\varphi\psi)(\overrightarrow{PQ})$ .

Следствие. $ 1)$ Аффинное отображение $ \varphi\colon{\mathfrak{A}}\to{\mathfrak{A}}$ является аффинным преобразованием тогда и только тогда, когда $ D\varphi$ есть невырожденный линейный оператор.

$ 2)$ Если $ \varphi$ -- аффинное преобразование, то $ \varphi^{-1}$ также является аффинным преобразованием с дифференциалом $ (D\varphi)^{-1}$ .

Теорема. Пусть $ (A_0,A_1,\dots,A_n)$ и $ (B_0,B_1,\dots,B_n)$ -- две системы точек общего положения в $ n$ -мерном аффинном пространстве. Тогда существует единственное аффинное преобразование $ \varphi$ такое, что $ \varphi(A_i)=B_i$ .

Теорема. Аффинное преобразование переводит любую $ k$ -мерную плоскость в $ k$ -мерную плоскость. В частности, прямые переходят в прямые, причем $ \varphi$ сохраняет отношение, в котором точка делит отрезок.

Теорема. Пусть $ \bigl(O,({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf
e}_n)\bigr)$ -- система координат аффинного пространства $ ({\mathfrak{A}},V)$ , а $ \varphi$ -- аффинное преобразование. Тогда столбец $ X$ координат произвольной точки $ P$ и столбец $ Y$ координат образа $ \varphi(P)$ связаны соотношением $ Y=AX+B$ , где $ A$ -- матрица оператора $ D\varphi$ в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf
e}_n)$ , а $ B$ -- столбец координат точки $ \varphi(O)$ .

Определение. Параллельный перенос (сдвиг) -- это такое аффинное преобразование, у которого оператор $ D\varphi$ является тождественным линейным оператором.

Пусть $ \varphi$ -- сдвиг. Тогда $ Y=X+B$ или

$\displaystyle \varphi(P)=\varphi(O)+D\varphi(\overrightarrow{OP})=\varphi(O)+\overrightarrow{OP}=P+\overrightarrow{O\varphi(O)}=P+{\mathbf
a},
$

где $ \overrightarrow{O\varphi(O)}={\mathbf a}$ . Таким образом, $ \varphi=\tau_{\mathbf a}$ -- сдвиг на вектор $ {\mathbf a}$ . Отметим, что сдвиги образуют группу: $ \tau_{\mathbf a}\tau_{\mathbf
b}=\tau_{{\mathbf a}+{\mathbf b}}$ и $ (\tau_{\mathbf
a})^{-1}=\tau_{-{\mathbf a}}$ .

Теорема. Пусть $ \varphi$ -- аффинное преобразование, $ P$ -- любая точка. Тогда существует единственное разложение $ \varphi=\tau_{\mathbf a}\psi$ ( $ \varphi=\psi\tau_{\mathbf b}$ ), где $ \psi$ -- аффинное преобразование с неподвижной точкой $ P$ ($ \psi(P)=P$ ). При этом $ {\mathbf a}=\overrightarrow{P\varphi(P)}$ ( $ {\mathbf
b}=\overrightarrow{\varphi^{-1}(P)P}$ ).

Определение. Пусть $ ({\mathfrak{A}},E)$ -- евклидово аффинное пространство. Аффинное преобразование называется движением, если $ D\varphi$ является ортогональным оператором.

Замечание. Движения образуют группу: произведение движений -- движение, если $ \varphi$ -- движение, то $ \varphi^{-1}$ тоже движение ( $ D(\varphi^{-1})=(D\varphi)^{-1}$ ).

Пусть $ \varphi$ -- движение. Тогда

$\displaystyle \rho\bigl(\varphi(P),\varphi(Q)\bigr)=
\vert\overrightarrow{\var...
...t D\varphi(\overrightarrow{PQ})\vert=\vert\overrightarrow{PQ}\vert=\rho(P,Q).
$

По теореме, любое преобразование можно представить в виде $ \varphi=\tau_{\mathbf a}\psi$ , где $ \psi(P)=P$ . Тогда $ \psi(P+{\mathbf x})=P+D\psi({\mathbf x})$ и $ D\varphi=D\tau_{\mathbf a} D\psi$ , где $ D\tau_{\mathbf a}$ -- тождественный оператор.

Если $ \varphi$ -- движение, то оператор $ {\cal A}=D\psi$ является ортогональным. Иначе, по теореме, $ {\cal A}={\cal B}{\cal C}$ , где $ {\cal B}$ -- ортогональный оператор, а $ {\cal C}$ -- положительно определенный самосопряженный. Положим $ \psi_1(P+{\mathbf x})=P+{\cal B}({\mathbf x})$ и $ \psi_2(P+{\mathbf
x})=P+{\cal C}({\mathbf x})$ . Тогда $ \psi_1\psi_2(P+{\mathbf
x})=\psi_1(P+{\cal C}({\mathbf x}))=P+{\cal B}({\cal C}({\mathbf
x}))=\psi$ , т.е. $ \psi=\psi_1\psi_2$ , где $ \psi_1$ -- движение с неподвижной точкой $ P$ , а $ \psi_2$ -- растяжение пространства во взаимно ортогональных направлениях с разными коэффициентами.

Определение. Определитель $ \det\varphi$ аффинного преобразования $ \varphi$ -- это определитель $ \det D\varphi$ .

Замечание. Определитель движения равен $ \pm1$ .

Пусть $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf
e}_n)$ -- ортонормированный базис в $ V$ . Тогда $ \varphi(O+{\mathbf
e}_i)=\varphi(O)+D\varphi({\mathbf e}_i)=\varphi(O)+{\mathbf a}_i$ , где $ {\mathbf a}_i=D\varphi({\mathbf e}_i)$ . Оператор $ {\cal
A}=D\varphi$ -- невырожден, то $ ({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf a}_n)$ -- базис в пространстве в $ V$ . Если $ A$ -- матрица оператора $ {\cal
A}$ в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf
e}_n)$ , то $ A$ -- матрица перехода от $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf
e}_n)$ к $ ({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf a}_n)$ . Получаем

$\displaystyle \left(\begin {array}{ccc}
({\mathbf a}_1,{\mathbf a}_1)&\dots&({...
...hbf e}_1)&\dots&({\mathbf e}_n,{\mathbf e}_n)
\end {array}\right)A=A^\top A.
$

Таким образом, $ \vert\det\varphi\vert=\vert\det A\vert$ -- число, показывающее во сколько увеличатся объемы.

Определение. Пусть $ V$ -- $ n$ -мерное вещественное пространство, и $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf
e}_n)$ , $ ({\mathbf
e}'_1,\dots,{\mathbf e}'_n)$ -- два базиса в $ V$ . Базис $ ({\mathbf
e}'_1,\dots,{\mathbf e}'_n)$ ориентирован как базис $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf
e}_n)$ , если для матрицы перехода $ C$ выполнено неравенство $ \det C>0$ . В этом случае будем писать $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)\sim({\mathbf
e}'_1,\dots,{\mathbf e}'_n)$ .

Замечание. Отношение $ \sim$ является отношением эквивалентности, так как

$ 1)$ $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)\sim({\mathbf
e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ ;

$ 2)$ если $ ({\mathbf e}'_1,\dots,{\mathbf e}'_n)\sim({\mathbf
e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ , то $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)\sim({\mathbf
e}'_1,\dots,{\mathbf e}'_n)$ ;

$ 3)$ если $ ({\mathbf e}''_1,\dots,{\mathbf e}''_n)\sim({\mathbf
e}'_1,\dots,{\mathbf e}'_n)\sim({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ , то $ ({\mathbf e}''_1,\dots,{\mathbf e}''_n)\sim({\mathbf
e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ .

Пусть дан базис $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf
e}_n)$ . Рассмотрим другой базис $ ({\mathbf e}'_1,\dots,{\mathbf e}'_n)=({\mathbf
e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)C$ , где $ \det C<0$ . Докажем, что любой другой базис $ ({\mathbf e}''_1,\dots,{\mathbf e}''_n)$ будет ориентирован так же как $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf
e}_n)$ или $ ({\mathbf
e}'_1,\dots,{\mathbf e}'_n)$ . Пусть $ ({\mathbf
e}''_1,\dots,{\mathbf e}''_n)=({\mathbf e}'_1,\dots,{\mathbf
e}'_n)D$ .

Если $ \det D>0$ , то $ ({\mathbf e}''_1,\dots,{\mathbf e}''_n)$ ориентирован как $ ({\mathbf
e}'_1,\dots,{\mathbf e}'_n)$ .

Если $ \det D<0$ , то $ \det CD>0$ и $ ({\mathbf e}''_1,\dots,{\mathbf e}''_n)$ ориентирован как $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf
e}_n)$ .

Задать ориентацию в $ V$ $ {\mathfrak{A}}$ ) означает выбрать один из двух классов ориентации, он задает положительную ориентацию, а другой -- отрицательную.

Пусть $ \varphi$ -- аффинное преобразование в $ ({\mathfrak{A}},V)$ с дифференциалом $ D\varphi={\cal A}$ , где $ V$ -- $ n$ -мерное вещественное пространство. Рассмотрим произвольный базис $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf
e}_n)$ в $ V$ , тогда $ \bigl({\cal A}({\mathbf
e}_1),\dots,{\cal A}({\mathbf e}_n)\bigr)$ -- тоже базис в $ V$ . Если $ A$ -- матрица оператора $ {\cal
A}$ в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf
e}_n)$ , то $ A$ -- матрица перехода от базиса $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf
e}_n)$ к базису $ \bigl({\cal A}({\mathbf
e}_1),\dots,{\cal A}({\mathbf e}_n)\bigr)$ . Базисы $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf
e}_n)$ и $ \bigl({\cal A}({\mathbf
e}_1),\dots,{\cal A}({\mathbf e}_n)\bigr)$ одинаково ориентированы тогда и только тогда, когда $ \det\varphi=\det{\cal
A}=\det A>0$ .

Если $ \det\varphi=\det{\cal
A}=\det A>0$ , то преобразование $ \varphi$ сохраняет ориентацию. Если $ \det\varphi=\det{\cal
A}=\det A<0$ , то преобразование $ \varphi$ меняет ориентацию.

Пусть базисы $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf
e}_n)$ , $ ({\mathbf
e}'_1,\dots,{\mathbf e}'_n)$ противоположно ориентированы. И пусть $ ({\mathbf e}_1(t),\dots,{\mathbf e}_n(t))$ -- такой базис, что $ {\mathbf e}_i(0)={\mathbf e}_i$ и $ {\mathbf e}_i(1)={\mathbf
e}'_i$ . Обозначим через $ C(t)$ матрицу перехода от $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf
e}_n)$ к $ ({\mathbf e}_1(t),\dots,{\mathbf e}_n(t))$ . Тогда $ C(0)=C$ и $ C(1)=C$ , причем $ \det C<0$ . Так как $ \det C(t)$ -- непрерывная функция, то существует точка $ t_0$ такая, что $ \det
C(t_0)=0$ . Тогда $ ({\mathbf e}_1(t_0),\dots,{\mathbf e}_n(t_0))$ не является базисом.

Лемма. Пусть $ {\cal A}\colon E\to E$ -- ортогональный оператор в $ n$ -мерном евклидовом пространстве $ E$ , а $ U=\{{\mathbf
x}\in E\,\vert\,{\cal A}({\mathbf x})={\mathbf x}\}$ . Тогда $ U^\perp$ инвариантно относительно $ {\cal
A}$ , и оператор $ {\cal A}-{\cal E}$ сюръективен на $ U^\perp$ .

Теорема. Любое движение $ \varphi\colon{\mathfrak{A}}\to{\mathfrak{A}}$ аффинно евклидова пространства $ ({\mathfrak{A}},E)$ может быть разложено в произведение $ \varphi=\tau_{\mathbf a}\psi$ , где движение $ \psi$ имеет некоторую неподвижную точку, а $ \tau_{\mathbf a}$ -- такой сдвиг на вектор $ {\mathbf a}$ , что $ D\varphi({\mathbf a})={\mathbf a}$ .

Определение. Движение называется собственным, если $ \det\varphi=1$ . Движение называется несобственным, если $ \det\varphi=-1$ .

Рассмотрим движение $ \varphi$ в пространстве $ {\Bbb R}^n$ , где $ n=1,\,2,\,3$ .

$ (I)$ Пусть $ n=1$ , т.е. имеем движение на прямой. Следовательно, $ D\varphi=\pm{\cal E}$

$ 1)$ Если $ \varphi$ -- собственное движение, то $ \varphi$ -- это сдвиг вдоль прямой.

$ 2)$ Если $ \varphi$ -- несобственное движение, т.е. $ D\varphi=-{\cal E}$ , то, из теоремы, $ U=\{{\mathbf 0}\}$ , $ \tau_{\mathbf 0}$ -- сдвиг на нулевой вектор и $ \varphi=\psi$ имеет неподвижную точку $ P$ . Таким образом, $ \varphi(P+{\mathbf
x})=P+D\varphi({\mathbf x})=P-{\mathbf x}$ -- симметрия относительно точки.

$ (II)$ Пусть $ n=2$ , т.е. движение на плоскости.

$ 1)$ Если $ \varphi$ -- собственное движение и $ D\varphi={\cal E}$ , то $ \varphi$ -- сдвиг.

$ 2)$ Если $ \varphi$ -- собственное движение и $ D\varphi\ne{\cal
E}$ , то выберем канонический ортонормированный базис $ ({\mathbf
e}_1,{\mathbf e}_2)$ , в котором матрица оператора $ D\varphi$ имеет вид

$\displaystyle \left(\begin {array}{cc} \cos\varphi&-\sin\varphi\\
\sin\varphi&\cos\varphi\end {array}\right),\qquad \varphi\ne0.
$

Из теоремы, $ U=\{{\mathbf 0}\}$ , $ \tau_{\mathbf 0}$ -- сдвиг на нулевой вектор и $ \varphi=\psi$ имеет неподвижную точку $ P$ . Таким образом, $ \varphi(P+{\mathbf x})=P+D\varphi({\mathbf x})$ -- поворот на некоторый угол вокруг неподвижной точки.

$ 3)$ Если $ \varphi$ -- несобственное движение, то выберем канонический ортонормированный базис $ ({\mathbf
e}_1,{\mathbf e}_2)$ , в котором матрица оператора $ D\varphi$ имеет вид

$\displaystyle \left(\begin {array}{cc} 1&0\\ 0&-1\end {array}\right).
$

Из теоремы, $ U={\operatorname{Lin}}({\mathbf e}_1)$ , $ \varphi=\tau_{\mathbf a}\psi$ , где $ \tau_{\mathbf a}$ -- сдвиг на вектор $ {\mathbf a}=\alpha{\mathbf e}_1$ и $ \psi$ имеет неподвижную точку $ P$ . Таким образом, для любого вектора $ {\mathbf
x}=x^1{\mathbf e}_1+x^2{\mathbf e}_2$ имеем $ \varphi(P+{\mathbf
x})=\psi(P+{\mathbf x})+{\mathbf a}=P+D\varphi({\mathbf x})+{\mathbf
a}=P+x^1{\mathbf e}_1-x^2{\mathbf e}_2+\alpha{\mathbf e}_1$ -- отражение относительно некоторой прямой со сдвигом вдоль этой прямой (скользящая симметрия).

$ (III)$ Пусть $ n=3$ , т.е. движение в пространстве.

$ 1)$ Если $ \varphi$ -- собственное движение и $ D\varphi={\cal E}$ , то $ \varphi$ -- сдвиг.

$ 2)$ Если $ \varphi$ -- собственное движение и $ D\varphi\ne{\cal
E}$ , то выберем канонический ортонормированный базис $ ({\mathbf
e}_1,{\mathbf e}_2,{\mathbf e}_3)$ , в котором матрица оператора $ D\varphi$ имеет вид

$\displaystyle \left(\begin {array}{ccc} 1&0&0\\ 0&\cos\varphi&-\sin\varphi\\
0&\sin\varphi&\cos\varphi\end {array}\right),\qquad \varphi\ne0.
$

Из теоремы, $ U={\operatorname{Lin}}({\mathbf e}_1)$ , $ \varphi=\tau_{\mathbf a}\psi$ , где $ \tau_{\mathbf a}$ -- сдвиг на вектор $ {\mathbf a}=\alpha{\mathbf e}_1$ и $ \psi$ имеет неподвижную точку $ P$ . Таким образом, для любого вектора $ {\mathbf
x}=x^1{\mathbf e}_1+x^2{\mathbf e}_2+x^3{\mathbf e}_3$ имеем $ \varphi(P+{\mathbf x})=\psi(P+{\mathbf x})+{\mathbf
a}=P+D\varphi({\mathbf x})+{\mathbf a}$ , где прямая $ P+x^1{\mathbf
e}_1$ состоит из неподвижных точек, -- поворот вокруг некоторой прямой с последующим сдвигом вдоль этой прямой (винтовое движение).

$ 3)$ Если $ \varphi$ -- несобственное движение с неподвижной точкой $ P$ , то выберем канонический ортонормированный базис $ ({\mathbf
e}_1,{\mathbf e}_2,{\mathbf e}_3)$ , в котором матрица оператора $ D\varphi$ имеет вид

$\displaystyle \left(\begin {array}{ccc}-1&0&0\\ 0&\cos\varphi&-\sin\varphi\\
...
...\right) \left(\begin {array}
{ccc}-1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end {array}\right).
$

Пусть $ \varphi=\varphi_1\varphi_2$ , где $ \varphi_1$ и $ \varphi_2$ имеют неподвижную точку и оператор $ D\varphi_1$ в базисе $ ({\mathbf
e}_1,{\mathbf e}_2,{\mathbf e}_3)$ имеет вид

$\displaystyle \left(\begin {array}{ccc}1&0&0\\ 0&\cos\varphi&-\sin\varphi\\
0&\sin\varphi&\cos\varphi \end {array}\right),
$

а оператор $ D\varphi_2$ --

$\displaystyle \left(\begin {array}{ccc}-1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end {array}\right).
$

Для любого вектора $ {\mathbf
x}=x^1{\mathbf e}_1+x^2{\mathbf e}_2+x^3{\mathbf e}_3$ имеем $ \varphi_2(P+{\mathbf
x})=P+D\varphi({\mathbf x})=P-x^1{\mathbf e}_1+x^2{\mathbf
e}_2+x^3{\mathbf e}_3$ -- зеркальная симметрия относительно плоскости (для $ \varphi_2$ $ U={\operatorname{Lin}}({\mathbf
e}_1,{\mathbf e}_2)$ ). Таким образом, $ \varphi$ -- зеркальная симметрия относительно плоскости и поворот относительно прямой ортогональной плоскости.

$ 4)$ Если $ \varphi$ -- несобственное движение без неподвижных точек, то, из теоремы, $ \varphi=\tau_{\mathbf a}\psi$ , где $ \psi$ имеет неподвижную точку, следовательно $ U\ne\{\b0\}$ . Получаем, что $ D\varphi$ имеет собственное значение $ 1$ . Тогда можно выбрать канонический ортонормированный базис $ ({\mathbf
e}_1,{\mathbf e}_2,{\mathbf e}_3)$ , в котором матрица оператора $ D\varphi$ имеет вид

$\displaystyle \left(\begin {array}{ccc}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-1\end {array}\right).
$

Имеем, $ U={\operatorname{Lin}}({\mathbf
e}_1,{\mathbf e}_2)$ и для любого вектора $ {\mathbf
x}=x^1{\mathbf e}_1+x^2{\mathbf e}_2+x^3{\mathbf e}_3$ $ \varphi(P+{\mathbf x})=P+D\varphi({\mathbf
x})+{\mathbf a}=P+x^1{\mathbf e}_1+x^2{\mathbf e}_2-x^3{\mathbf
e}_3+{\mathbf a}$ -- зеркальная симметрия относительно плоскости с последующим сдвигом вдоль этой плоскости (скользящая симметрия).