MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Аффинные квадратичные функции и квадрики

Пусть $ ({\mathfrak{A}},V)$ -- аффинное пространство, где $ V$ -- линейное пространство над полем $ F$ .

Определение. Аффинной квадратичной функцией называется отображение $ \varphi\colon{\mathfrak{A}}\to F$ , для которого

$ 1)$ существует точка $ O\in{\mathfrak{A}}$ ,

$ 2)$ существует квадратичная функция $ q\colon V\to F$ ,

$ 3)$ существует линейная функция $ f\colon V\to F$ , такие, что для любой точки $ P\in{\mathfrak{A}}$ справедливо равенство $ \varphi(P)=q(\overrightarrow{OP})+f(\overrightarrow{OP})+\varphi(O)$ .

Пусть задана система координат $ \bigl(O,({\mathbf
e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)\bigr)$ , и $ (x^1,\dots,x^n)$ -- координаты точки $ P$ , т.е. координаты вектора $ \overrightarrow{OP}$ в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ , $ A=(a_{ij})_{n\times n}$ -- матрица квадратичной функции $ q$ в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ и $ f({\mathbf e}_i)=b_i$ . Получаем

$\displaystyle \varphi(P)=a_{ij}x^ix^j+b_ix^i+c,
$

где $ c=\varphi(O)$ .

Перейдем к системе координат с новым центром $ \bigl(O',({\mathbf
e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)\bigr)$ , и пусть $ (x^1_0,\dots,x^n_0)$ -- координаты $ O'$ в системе $ \bigl(O,({\mathbf
e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)\bigr)$ . Тогда $ \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'P}$ , т.е. $ x^i=x^i_0+\widetilde x^i$ . Получаем

$\displaystyle \varphi(P)=a_{ij}(x^i_0+\widetilde x^i)(x^j_0+\widetilde x^j)+
 b...
...j+
 2a_{ij}\widetilde x^ix^j_0+a_{ij}x^i_0x^j_0+ b_i\widetilde
 x^i+b_ix^i_0+c=$    
$\displaystyle =a_{ij}\widetilde x^i\widetilde x^j+ \widetilde
 b_i\widetilde x^i+\widetilde c,$    

где $ \widetilde b_i=b_i+2a_{ij}x^j_0$ , $ \widetilde
c=c+b_ix^i_0+a_{ij}x^i_0x^j_0=\varphi(O')$ . Получаем, что чисто квадратичная функция $ q$ не зависит от выбора точки $ O$ и $ \varphi(P)=q(\overrightarrow{O'P})+f'(\overrightarrow{O'P})+\varphi(O')$ .

Определение. Точка $ O'$ называется центральной для аффинной квадратичной функции $ \varphi$ , если для любого вектора $ {\mathbf x}\in V$ справедливо равенство $ \varphi(O'+{\mathbf
x})=\varphi(O'-{\mathbf x})$ . Центр аффинной квадратичной функции -- это множество всех ее центральных точек.

Теорема. Если центр аффинной квадратичной функции $ \varphi$ на $ n$ -мерном аффинном пространстве не пуст, то он является плоскостью размерности $ n-{\operatorname{rank}} q$ . В случае, когда чисто квадратичная часть $ q$ невырождена, для $ \varphi$ имеется ровно одна центральная точка.

Замечание. $ 1)$ Пусть дана квадратичная функция $ \varphi(x^1,\dots,x^n)$ от координат точки $ P$ . Чтобы найти центр нужно решить систему уравнений $ \dfrac{\partial\varphi}{\partial
x^i}\Big\vert _{(x^1_0,\dots,x^n_0)}=0$ .

$ 2)$ Если $ O'$ -- центральная точка, то $ \varphi(O'\pm{\mathbf
x})=q({\mathbf x})+\varphi(O')$ .

$ 3)$ Пусть $ O_1$ и $ O_2$ -- две центральные точки. Тогда $ \varphi(O_2)=\varphi(O_1+\overrightarrow{O_1O_2})=q(\overrightarrow{O_1O_2})+\varphi(O_1)$ и $ \varphi(O_1)=\varphi(O_2-\overrightarrow{O_1O_2})=q(\overrightarrow{O_1O_2})+\varphi(O_2)$ . Следовательно, $ \varphi(O_1)=\varphi(O_2)$ и для любого вектора $ {\mathbf a}\in{\operatorname{Lin}}(\overrightarrow{O_1O_2})$ верны равенства $ q({\mathbf a})=0$ и $ \varphi(O_1+{\mathbf
a}
)=\varphi(O_1)$ . Получаем, что прямая, проходящая через $ O_1$ и $ O_2$ , состоит из центральных точек.

Определение. Аффинно квадратичная функция называется центральной, если ее центр не пуст.

Теорема. Для всякой аффинной квадратичной функции $ \varphi$ в $ n$ -мерном аффинном пространстве существует каноническая система координат $ \bigl(O,({\mathbf
e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)\bigr)$ , в которой

$ 1)$ $ \varphi(P)=(x^1)^2+\ldots+(x^k)^2-(x^{k+1})^2-\ldots-(x^{k+l})^2+c$ , если $ \varphi$ является центральной,

$ 2)$ $ \varphi(P)=(x^1)^2+\ldots+(x^k)^2-(x^{k+1})^2-\ldots-(x^{k+l})^2+x^{k+l+1}$ , если $ \varphi$ не является центральной. Здесь $ (x^1,\dots,x^n)$ -- координаты точки $ P$ . Канонический вид аффинной квадратичной функции не зависит от выбора канонического базиса.

Теорема. Для всякой аффинной квадратичной функции $ \varphi$ в $ n$ -мерном евклидовом пространстве $ ({\mathfrak{A}},E)$ существует каноническая прямоугольная система координат $ \bigl(O,({\mathbf
e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)\bigr)$ , в которой

$ 1)$ $ \varphi(P)=\sum_{i=1}^{k+l}\lambda_i(x^i)^2+c$ , если $ \varphi$ является центральной,

$ 2)$ $ \varphi(P)=\sum_{i=1}^{k+l}\lambda_i(x^i)^2+\mu x^{k+l+1}$ , если $ \varphi$ не является центральной. Здесь $ \lambda_1,\dots,\lambda_k>0$ и $ \lambda_{k+1},\dots,\lambda_{k+l}<0$ .

Определение. Пусть $ \varphi$ -- аффинно квадратичная функция. Квадрика -- это множество всех таких точек $ P\in{\mathfrak{A}}$ , что $ \varphi(P)=0$ . Квадрика называется центральной, если она задается центральной квадратичной функцией.

Теорема. Для всякой квадрики в вещественном $ n$ -мерном аффинном пространстве существует подходящая система координат, в которой квадрика имеет уравнение одного из следующего типов:

$ (I)$ $ a)$ $ (x^1)^2+\ldots+(x^k)^2-(x^{k+1})^2-\ldots-(x^{k+l})^2=1$ , $ k,\,l\geqslant 0$ , $ k+l\leqslant n$ , или $ b)$ $ (x^1)^2+\ldots+(x^k)^2-(x^{k+1})^2-\ldots-(x^{k+l})^2=0$ , $ k\geqslant l$ , если квадрика является центральной;

$ (II)$ $ (x^1)^2+\ldots+(x^k)^2-(x^{k+1})^2-\ldots-(x^{k+l})^2+x^{k+l+1}=0$ , $ k\geqslant l$ , $ k+l<n$ , если квадрика не является центральной.

Классификация.

$ (I)a)$

-- если $ k=n$ , то эллипсоид,

-- если $ l=n$ , то мнимый эллипсоид,

-- если $ k,\,l>0$ и $ k+l=n$ , то гиперболоиды,

-- если $ k+l<n$ , то цилиндры;

$ (I)b)$

-- если $ k+l=n$ , то конусы,

-- если $ k+l<n$ , то конические цилиндры;

$ (II)$

-- если $ k+l+1=n$ , то параболоиды ($ l=0$ -- эллиптические, иначе -- гиперболические),

-- если $ k+l+1<n$ , то параболический цилиндр.

Теорема. Для всякой квадрики в вещественном $ n$ -мерном евклидовом аффинном пространстве существует каноническая прямоугольная система координат, в которой квадрика задается уравнением одного из следующего типов:

$ (I)$ $ a)$ $ \lambda_1(x^1)^2+\ldots+\lambda_k(x^k)^2-\lambda_{k+1}(x^{k+1})^2-\ldots-
\lambda_{k+l}(x^{k+l})^2=1$ , $ k,\,l\geqslant 0$ , $ k+l\leqslant n$ , или $ b)$ $ \lambda_1(x^1)^2+\ldots+\lambda_k(x^k)^2-\lambda_{k+1}(x^{k+1})^2-\ldots-
\lambda_{k+l}(x^{k+l})^2=0$ , $ k\geqslant l$ , если квадрика является центральной;

$ (II)$ $ \lambda_1(x^1)^2+\ldots+\lambda_k(x^k)^2-\lambda_{k+1}(x^{k+1})^2-\ldots-
\lambda_{k+l}(x^{k+l})^2+x^{k+l+1}=0$ , $ k\geqslant l$ , $ k+l<n$ , если квадрика не является центральной. Здесь все $ \lambda_i>0$ .