MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Основные понятия

Определение. Аффинным пространством над полем $ F$ называется пара $ ({\mathfrak{A}},V)$ , где $ {\mathfrak{A}}$ -- непустое множество (точек), $ V$ -- линейное пространство над полем $ F$ , такая, что

$ 1)$ любой паре точек $ P,\,Q\in{\mathfrak{A}}$ сопоставлен вектор $ \overrightarrow{PQ}\in V$ ,

$ 2)$ для каждой точки $ P\in{\mathfrak{A}}$ и каждого вектора $ {\mathbf x}\in V$ существует единственная точка $ Q$ такая, что $ \overrightarrow{PQ}={\mathbf x}$ ,

$ 3)$ для любых трех точек $ P,\,Q,\,S\in{\mathfrak{A}}$ справедливо равенство $ \overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QS}=\overrightarrow{PS}$ .

Замечание. $ 1)$ $ \overrightarrow{PP}={\mathbf 0}$ , так как $ \overrightarrow{PP}+\overrightarrow{PP}=\overrightarrow{PP}$ .

$ 2)$ $ \overrightarrow{PQ}=-\overrightarrow{QP}$ , так как $ \overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{PP}={\mathbf
0}$ .

$ 3)$ Если $ Q=P+{\mathbf x}$ , то $ (P+{\mathbf x})+{\mathbf
y}=P+({\mathbf x}+{\mathbf y})$ .

Определение. Аффинное пространство называется $ n$ -мерным, если линейное пространство $ V$ $ n$ -мерно. Под системой координат понимается пара $ \bigl(O,({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)\bigr)$ , где $ O\in{\mathfrak{A}}$ , а $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ -- базис в $ V$ . Координаты произвольной точки $ P$ -- это координаты вектора $ \overrightarrow{OP}$ в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ .

Теорема. Пусть $ \bigl(O,({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)\bigr)$ и $ \bigl(\widetilde O,(\widetilde{\mathbf
e}_1,\dots,\widetilde{\mathbf e}_n)\bigr)$ -- две системы координат $ n$ -мерного аффинного пространства. Тогда столбцы координат $ X$ и $ \widetilde X$ произвольной точки $ P$ относительно выбранных систем координат связаны равенством $ X=C\widetilde X+A$ , т.е. $ x^i=c^i_j\widetilde x^j+a^i$ , где $ C$ -- матрица перехода от $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ к $ (\widetilde{\mathbf e}_1,\dots,\widetilde{\mathbf e}_n)$ ( $ \widetilde{\mathbf e}_i=c^j_i{\mathbf e}_j$ ), $ A$ -- столбец координат нового начала $ \widetilde O$ относительно старой системы координат.

Замечание. $ 1)$ Если $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)=
(\widetilde{\mathbf e}_1,\dots,\widetilde{\mathbf e}_n)$ , то $ X=\widetilde X+A$ .

$ 2)$ Если $ 0=\widetilde O$ , то $ X=C\widetilde X$ .

Определение. Аффинно линейная функция -- это такая функция $ f\colon{\mathfrak{A}}\to F$ , что существует линейная функция $ Df\colon V\to F$ , удовлетворяющая условию: для любых точек $ P,\,Q\in{\mathfrak{A}}$ справедливо равенство $ f(Q)=f(P)+Df(\overrightarrow{PQ})$ . Функция $ Df$ называется дифференциалом функции $ f$ .

Пусть $ \bigl(O,({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)\bigr)$ -- система координат в аффинном пространстве $ ({\mathfrak{A}},V)$ , и $ f\colon{\mathfrak{A}}\to F$ -- линейная функция такая, что $ f(O)=b$ и $ Df({\mathbf e}_i)=a_i$ . Тогда $ f(Q)=f(O)+Df(\overrightarrow{OQ})=b+x^ia_i$ , где $ (x^1,\dots,x^n)$ -- координаты точки $ Q$ .

Определение. Плоскостью $ \Pi$ в аффинном пространстве $ ({\mathfrak{A}},V)$ называется множество точек вида $ \Pi=P+U=\{Q=P+{\mathbf x},\,{\mathbf x}\in U\}$ , где $ P\in{\mathfrak{A}}$ и $ U$ -- подпространство в $ V$ .

Лемма. Если $ P$ и $ P'\in\Pi$ , то $ P+U=P'+U$ .

Определение. Размерность $ {\operatorname{dim}}\Pi$ плоскости $ \Pi$ -- это размерность $ {\operatorname{dim}} U$ линейного пространства $ U$ . Если $ {\operatorname{dim}}\Pi=n-1$ , то плоскость $ \Pi$ называется гиперплоскостью.

Замечание. Пара $ (\Pi,U)$ является аффинным пространством, так как для любых двух точек $ P,\,Q\in\Pi$ имеем $ \overrightarrow{PQ}\in
U$ и все аксиомы выполнены.

Если $ U={\operatorname{Lin}}({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf a}_k)$ , где $ {\mathbf a}_i\in V$ , то каждая точка $ Q\in\Pi$ плоскости $ \Pi=P+U$ имеет вид $ Q=P+t^i{\mathbf a}_i$ , где $ t^i\in F$ . Если $ X$ и $ B$ -- это столбцы координат точек $ Q$ и $ P$ соответственно относительно выбранной системы координат $ \bigl(O,({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)\bigr)$ , а $ {\mathbf
a}_i=(a^1_i,\dots,a^n_i)$ -- координаты вектора $ a_i$ в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ , то мы получаем параметрическое задание плоскости: $ x^j=b^j+t^ia^j_i$ .

Определение. Точки $ A_0,A_1,\dots,A_k$ находятся в общем положении (аффинно независимы), если система векторов $ (\overrightarrow{A_0A_1},\dots,\overrightarrow{A_0A_k})$ линейно независима.

Замечание. Если точки $ A_0,A_1,\dots,A_k$ находятся в общем положении, то система
$ (\overrightarrow{A_iA_0},\dots,\overrightarrow{A_iA_{i-1}},\overrightarrow{A_iA_{i+1}},\dots,\overrightarrow{A_iA_k})$ линейно независима, так как она выражается через систему
$ (\overrightarrow{A_0A_1},\dots,\overrightarrow{A_0A_k})$ .

На самом деле, эти системы эквивалентны, так как $ \overrightarrow{A_iA_j}=\overrightarrow{A_0A_j}-\overrightarrow{A_0A_i}$ и $ \overrightarrow{A_0A_j}=\overrightarrow{A_iA_j}-\overrightarrow{A_iA_0}$ . Следовательно, $ {\operatorname{rank}}(\overrightarrow{A_0A_1},\dots,\overrightarrow{A_0A_k})=
...
...ightarrow{A_iA_{i-1}}\overrightarrow{A_iA_{i+1}},\dots,\overrightarrow{A_iA_k})$ .

Теорема. Для любых точек $ A_0,A_1,\dots,A_k$ общего положения существует единственная $ k$ -мерная плоскость, содержащая эти точки.

Теорема. Пусть $ \bigl(O,({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)\bigr)$ система координат в аффинном пространстве $ ({\mathfrak{A}},V)$ . Тогда

$ 1)$ множество всех точек $ Q$ , координаты которых удовлетворяют совместной линейной системе

$\displaystyle \left\{\begin {array}{l}
a^1_ix^i=b^1\\
\ldots\\
a^m_ix^i=b^m,
\end {array}\right.\eqno (1)
$

образуют плоскость в аффинном пространстве размерности $ n-{\operatorname{rank}}(a^i_j)$ ;

$ 2)$ для любой $ k$ -мерной плоскости $ \Pi$ существует линейная система $ (1)$ ранга $ n-k$ такая, что множество точек, координаты которых удовлетворяют этой системе, есть плоскость $ \Pi$ .

Замечание. Если плоскость задается системой $ (1)$ , то направляющее подпространство соответствует однородной системе.

Определение. Две плоскости $ \Pi_1$ и $ \Pi_2$ пересекаются, если есть общая точка, т.е. $ \Pi_1\cap\Pi_2\ne\emptyset$ .

Теорема. $ 1)$ Две плоскости $ \Pi_1=P_1+U_1$ и $ \Pi_2=P_2+U_2$ имеют общую точку тогда и только тогда, когда вектор $ \overrightarrow{P_1P_2}\in U_1+U_2$ .

$ 2)$ Если $ \Pi_1\cap\Pi_2\ne\emptyset$ , то $ \Pi_1\cap\Pi_2$ -- плоскость с направляющим подпространством $ U_1\cap U_2$ .

Определение. Плоскости $ \Pi_i=P_i+U_i$ , $ i=1,2$ , параллельны $ \Pi_1\parallel\Pi_2$ , если $ U_1\subset U_2$ .

Теорема. $ 1)$ Если $ \Pi_1\parallel\Pi_2$ , то либо $ \Pi_1\cap\Pi_2=\emptyset$ , либо $ \Pi_1\subset\Pi_2$ .

$ 2)$ Пусть $ {\operatorname{dim}}\Pi_1={\operatorname{dim}}\Pi_2$ и эти плоскости заданы линейными системами вида $ (1)$ в некоторой системе координат. Тогда необходимым и достаточным условием параллельности плоскостей $ \Pi_i$ является эквивалентность соответствующих однородных систем вида $ (2)$ .

Определение. Две плоскости скрещиваются, если у них нет общих точек и они не параллельны.

Теорема. $ 1)$ Наименьшей плоскостью $ \Pi$ , содержащей плоскости $ \Pi_i=P_i+U_i$ , $ i=1,2$ , является плоскость $ \Pi=P_1+U$ , где $ U=U_1+U_2+{\operatorname{Lin}}(\overrightarrow{P_1P_2})$ .

$ 2)$ $ {\operatorname{dim}}\Pi={\operatorname{dim}}(U_1+U_2)$ , если $ \Pi_1\cap\Pi_2\ne\emptyset$ , и $ {\operatorname{dim}}\Pi={\operatorname{dim}}(U_1+U_2)+1$ , если $ \Pi_1\cap\Pi_2=\emptyset$ .

Определение. Евклидовым аффинным пространством называется вещественное аффинное пространство $ ({\mathfrak{A}},E)$ , где $ E$ -- евклидово пространство. Расстоянием $ \rho(P,Q)$ между любыми двумя точками $ P,\,Q\in{\mathfrak{A}}$ называется $ \vert\overrightarrow{PQ}\vert$ . Расстоянием $ \rho(M,X)$ от точки $ M\in{\mathfrak{A}}$ до множества $ X\subset{\mathfrak{A}}$ называется $ \inf_{N\in X}\rho(M,N)$ .

Лемма. Для любых трех точек $ P,\,Q,\,S\in{\mathfrak{A}}$ имеет место

$ 1)$ $ \rho(P,Q)=\rho(Q,P)$ ,

$ 2)$ $ \rho(P,S)\leqslant\rho(P,Q)+\rho(Q,S)$ ,

$ 3)$ $ \vert\overrightarrow{PS}\vert^2=\vert\overrightarrow{PQ}\vert^2+\vert\overrightarrow{QS}\vert^2$ , если $ \overrightarrow{PQ}\perp\overrightarrow{QS}$ .

Теорема. $ 1)$ Для любой точки $ M\in{\mathfrak{A}}$ и любой плоскости $ \Pi=P+U$ в евклидовом аффинном пространстве $ ({\mathfrak{A}},E)$ существует единственная точка $ Q\in\Pi$ такая, что $ \overrightarrow{MQ}\in U^\perp$ .

$ 2)$ $ \vert\overrightarrow{MQ}\vert=\rho(M,\Pi)$ , причем для любой точки $ Q'\in\Pi$ и $ Q'\ne Q$ справедливо неравенство $ \vert\overrightarrow{MQ'}\vert>\vert\overrightarrow{MQ}\vert$ .

Определение. Пусть даны две плоскости $ \Pi_i=P_i+U_i$ , $ i=1,\,2$ . Расстоянием между плоскостями $ \rho(\Pi_1,\Pi_2)$ называется $ \inf_{N_i\in\Pi_i}\rho(N_1,N_2)$ .

Найдем расстояние между двумя плоскостями $ \Pi_i=P_i+U_i$ , $ i=1,\,2$ . Пусть $ U=U_1+U_2$ . Тогда $ \overrightarrow{P_1P_2}={\mathbf u}+{\mathbf z}$ , где $ {\mathbf
u}={\mathbf u}_1+{\mathbf u}_2\in U$ , $ {\mathbf u}_i\in U_i$ и $ {\mathbf z}\in U^\perp$ . Рассмотрим две точки $ M_1=P_1+{\mathbf
u}_1\in\Pi_1$ и $ M_2=P_2-{\mathbf u}_2\in\Pi_2$ . Имеем

$\displaystyle \overrightarrow{M_1M_2}=\overrightarrow{M_1P_1}+\overrightarrow{P...
...errightarrow{P_1P_2}- {\mathbf u}_2={\mathbf
z}\in(U_1+{\mathbf u}_2)^\perp.
$

Следовательно, $ \overrightarrow{M_1M_2}$ -- общий перпендикуляр.

Напомним, что матрицей Грамма системы векторов $ ({\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_n)$ называется матрица

$\displaystyle G({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf a}_n)=\left(\begin {array}{ccc}
(...
...a}_n,{\mathbf a}_1)&\dots&({\mathbf a}_n,{\mathbf a}_n)
\end {array}\right).
$

Определитель этой матрицы называется определителем Грамма. Отметим, что определитель Грамма не меняется при процессе ортогонализации.

Теорема. Для любой точки $ M$ и $ k$ -мерной плоскости $ \Pi=P+U$ , где $ U={\operatorname{Lin}}({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf a}_k)$ , $ \rho^2(M,\Pi)=\dfrac{\det G({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf
a}_k,\overrightarrow{PM})}{\det G({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf
a}_k)}$ .

Определение. Пусть $ O\in{\mathfrak{A}}$ -- произвольная точка в аффинном пространстве $ ({\mathfrak{A}},V)$ , и $ ({\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_k)$ -- линейно независимая система векторов из $ V$ . Параллелепипедом называется следующее множество $ \{Q=O+t^i{\mathbf
a}_i\vert\leqslant t^i\leqslant 1\}$ .

Рассмотрим теперь аффинное евклидово пространство. Объем $ V$ параллелепипеда, построенного на векторах $ ({\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_k)$ , равен $ V=\sqrt{\det G({\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_k)}$ , а высота $ h$ , опущенная на основание $ ({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf a}_{k-1})$ , -- $ h=\dfrac{\sqrt{\det
G({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf a}_k)}}{\sqrt{\det G({\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_{k-1})}}$ .