Проективное пространство

Пусть $({\mathfrak{A}},V)$ --

-мерное аффинное пространство, и $O\in{\mathfrak{A}}$ -- произвольная точка.

Определение. -мерным проективным пространством называется множество всех прямых в аффинном пространстве $({\mathfrak{A}},V)$ , проходящих через точку , т.е. точка в -- это прямая в $({\mathfrak{A}},V)$ , проходящая через .

Пусть $X\in P(V)$ -- точка в . Тогда $X=O+{\operatorname{Lin}}({\mathbf x})$ , ${\mathbf x}\in V$ , в $({\mathfrak{A}},V)$ . Будем писать $X=\widetilde{\mathbf x}$ , причем $\widetilde{\mathbf x}=\widetilde{\lambda{\mathbf x}}$ для $\lambda\ne0$ , и $\widetilde{\mathbf x}=\widetilde{\mathbf y}$ тогда и только тогда, когда ${\mathbf x}=\lambda{\mathbf y}$ для некоторого $\lambda\ne0$ .

Пусть $({\mathbf e}_0,\dots,{\mathbf e}_n)$ -- базис в , и ${\mathbf x}\ne{\mathbf 0}$ -- произвольный вектор в . Тогда ${\mathbf x}=\xi^i{\mathbf e}_i$ и набор $(\xi^0:\xi^1:\ldots:\xi^n)$ -- это однородные координаты точки $X=\widetilde{\mathbf x}$ . Пусть $({\mathbf e}'_0,\dots,{\mathbf e}'_n)=({\mathbf e}_0,\dots,{\mathbf e}_n)C$ другой базис в , и ${\mathbf x}=\zeta^j{\mathbf e}'_j$ . Тогда

$\displaystyle \left\{\begin {array}{l} \lambda\xi^0=c^0_j\zeta^j\\ \ldots\\ \lambda\xi^n=c^n_j\zeta^j. \end {array}\right.$

Определение. Пусть $k\geqslant0$ и $U\subset V$ -- -мерное подпространство. Тогда все точки $X=O+{\operatorname{Lin}}({\mathbf x})=\widetilde{\mathbf x}$ для всех ${\mathbf x}\in U$ составляют -мерную плоскость в .

Теорема. Пусть плоскости $\Pi_1$ и $\Pi_2$ в имеют размерности и , причем $k+l\geqslant n=\dim P(V)$ . Тогда $\Pi_1\cap\Pi_2\ne\emptyset$ .

Пусть ${\cal A}{\colon}V\to V$ -- невырожденный линейный оператор на . Определим оператор $\widetilde{\cal A}{\colon}P(V)\to P(V)$ положив $\widetilde{\cal A}(\widetilde{\mathbf x})=\widetilde{{\cal A}({\mathbf x})}$ для любой точки $\widetilde{\mathbf x}\in P(V)$ , где $V\ni{\mathbf x}\ne{\mathbf 0}$ .

Корректность.

${\cal A}({\mathbf x})\ne{\mathbf 0}$ , так как ${\operatorname{Ker}}{\cal A}=\{{\mathbf 0}\}$ .

Если $\widetilde{\mathbf x}=\widetilde{\lambda{\mathbf x}}$ , то $\widetilde{\cal A}(\widetilde{\lambda{\mathbf x}})=\widetilde{{\cal A}(\lambd... ...})}=\widetilde{\lambda{\cal A}({\mathbf x})}=\widetilde{{\cal A}({\mathbf x})}$ .

Определение. Проективным преобразованием в называется преобразование $\widetilde{\cal A}$ , заданное с помощью некоторого невырожденного линейного оператора ${\cal A}$ на по формуле $\widetilde{\cal A}(\widetilde{\mathbf x})=\widetilde{{\cal A}({\mathbf x})}$ для любой точки $\widetilde{\mathbf x}\in P(V)$ . Если ${\cal A}={\cal E}$ , то $\widetilde{\cal E}$ -- тождественное преобразование в .

Свойства операторов на .

Рассмотрим два оператора ${\cal A}{\colon}V\to V$ и $\lambda{\cal A}{\colon}V\to V$ в . Тогда $\widetilde{\cal A}=\widetilde{\lambda{\cal A}}$ , так как $\widetilde{\lambda{\cal A}}(\widetilde{\mathbf x})=\widetilde{\lambda{\cal A}... ...)}=\widetilde{{\cal A}({\mathbf x})}=\widetilde{\cal A}(\widetilde{\mathbf x})$ .

Рассмотрим два оператора ${\cal A}{\colon}V\to V$ и ${\cal B}{\colon}V\to V$ в . Тогда $\widetilde{\cal A}\widetilde{\cal B}=\widetilde{{\cal A}{\cal B}}$ , так как $(\widetilde{\cal A}\widetilde{\cal B})(\widetilde{\mathbf x})=\widetilde{\cal... ...}{\cal B})({\mathbf x})}=\widetilde{({\cal A}{\cal B})}(\widetilde{\mathbf x})$ .

Пусть для оператора ${\cal A}{\colon}V\to V$ существует ${\cal A}^{-1}{\colon}V\to V$ . Тогда для оператора $\widetilde{\cal A}{\colon}P(V)\to P(V)$ существует $\widetilde{\cal A}^{-1}{\colon}P(V)\to P(V)$ , равный $\widetilde{\cal A}^{-1}=\widetilde{{\cal A}^{-1}}$ , так как $\widetilde{\cal A}\widetilde{{\cal A}^{-1}}=\widetilde{E}$ и $\widetilde{{\cal A}^{-1}}\widetilde{\cal A}=\widetilde{E}$ .

Пусть ${\mathbf 0}\ne{\mathbf x}=\xi^i{\mathbf e}_i\in V$ , и $A=(a^i_j)_{(n+1)\times(n+1)}$ -- матрица оператора в базисе $({\mathbf e}_0,\dots,{\mathbf e}_n)$ . Тогда ${\mathbf y}={\cal A}({\mathbf x})=\eta^i{\mathbf e}_i$ и однородные координаты $\widetilde{\mathbf y}$ и $\widetilde{\mathbf x}$ связаны формулой

$\displaystyle \rho\left(\begin {array}{c} \eta^0\\ \vdots\\ \eta^n\end {array}\right)= A\left(\begin {array}{c} \xi^0\\ \vdots\\ \xi^n\end {array}\right).$

Определение. Точки $A_0,A_1,\dots,A_{n+1}\in P(V)$ находятся в общем положении, если точки
$(A_0,A_1,\dots,A_{i-1},\widehat{A_i},A_{i+1},\dots,A_{n+1})$ не лежат в одной -мерной плоскости в .

Теорема. Пусть $(A_0,A_1,\dots,A_{n+1})$ и $(B_0,B_1,\dots,B_{n+1})$ -- две системы точек общего положения в -мерном проективном пространстве. Тогда существует единственное проективное преобразование $\widetilde{\cal A}{\colon}P(V)\to P(V)$ такое, что $\widetilde{\cal A}(A_i)=B_i$ .

Пусть $A_1,\,A_2,\,A_3,\,A_4$ -- различные точки на проективной прямой, т.е. $A_i=\widetilde{{\mathbf a}_i}$ и ${\mathbf a}_i\in U$ , где $\dim U=2$ . Любые два вектора линейно независимы, пусть это ${\mathbf a}_1$ и ${\mathbf a}_2$ . Тогда ${\mathbf a}_3=\alpha_1{\mathbf a}_1+\alpha_2{\mathbf a}_2$ и ${\mathbf a}_4=\beta_1{\mathbf a}_1+\beta_2{\mathbf a}_2$ . Так как точки $A_1,\,A_2,\,A_3,\,A_4$ различны, то все $\alpha_i$ и $\beta_j\ne0$ .

Определение. Двойным отношением точек называется $\dfrac{\alpha_2\beta_1}{\alpha_1\beta_2}$ .

Корректность. Если ${\mathbf a}_3$ заменить на $\lambda{\mathbf a}_3$ , то $\alpha_1$ и $\alpha_2$ перейдут в $\lambda\alpha_1$ и $\lambda\alpha_2$ соответственно, и ничего не изменится. Аналогично для ${\mathbf a}_4$ .

Если ${\mathbf a}_1$ заменить на $\lambda{\mathbf a}_1$ , то $\alpha_1$ и $\beta_1$ перейдут в $\alpha_1/\lambda$ и $\beta_1/\lambda$ соответственно, и ничего не изменится. Аналогично для ${\mathbf a}_2$ .

Теорема. Под действием произвольного проективного преобразования $\widetilde{\cal A}$ любая -мерная плоскость переходит в -мерную плоскость. В частности, прямые переходят в прямые, а для различных четырех точек $A_1,\,A_2,\,A_3,\,A_4$ , лежащих на одной прямой справедливо равенство
$(\widetilde{\cal A}(A_1),\widetilde{\cal A}(A_2),\widetilde{\cal A}(A_3),\widetilde{\cal A}(A_4))=(A_1,A_2,A_3,A_4)$ .

Пусть $({\mathfrak{A}},V)$ -- аффинное пространство, и $O\in{\mathfrak{A}}$ -- произвольная точка. Выберем в ${\mathfrak{A}}$ систему координат $\bigl(O,({\mathbf e}_0,\dots,{\mathbf e}_n)\bigr)$ . Пусть $O_0=O+{\mathbf e}_0$ , $U_0={\operatorname{Lin}}({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ и $\Pi_0=O_0+U_0$ -- гиперплоскость в ${\mathfrak{A}}$ . Эта плоскость называется стандартной аффинной картой. Гиперплоскость в называется бесконечно удаленной гиперплоскостью по отношению к аффинной карте $\Pi_0$ .

Определение. Изображением точки $P(V)\ni\widetilde{\mathbf x}=O+{\operatorname{Lin}}({\mathbf x})$ на аффинной карте называется точка пересечения в пространстве ${\mathfrak{A}}$ прямой $O+{\operatorname{Lin}}({\mathbf x})$ с гиперплоскостью $\Pi_0$ .

Теорема. Точка $\widetilde{\mathbf x}$ проективного пространства имеет изображение на аффинной карте $\Pi_0$ тогда и только тогда, когда ее однородная координата $\xi^0\ne0$ ( $\widetilde{\mathbf x}$ имеет координаты $(\xi^0:\ldots\xi^n)$ ). Если $\xi_0\ne0$ , то координаты изображения точки $\widetilde{\mathbf x}$ на аффинной карте суть $\left(\dfrac{\xi^1}{\xi^0},\dots,\dfrac{\xi^n}{\xi^0}\right)$ .

Определение. Числа $x^1=\dfrac{\xi^1}{\xi^0},\dots,x^n=\dfrac{\xi^n}{\xi^0}$ называются неоднородными координатами точки $\widetilde{\mathbf x}$ .

Пусть $A_i=\widetilde{\mathbf a}_i$ , , -- различные точки на проективной прямой, и -- их неоднородные координаты. Тогда вектора ${\mathbf a}_i$ имеют координаты , и из равенств $(1,x_3)=\alpha_1(1,x_1)+\alpha_2(1,x_2)$ , $(1,x_4)=\beta_1(1,x_1)+\beta_2(1,x_2)$ следует, что $\alpha_1=\dfrac{x_3-x_2}{x_1-x_2}$ , $\alpha_2=\dfrac{x_3-x_1}{x_2-x_1}$ , $\beta_1=\dfrac{x_4-x_2}{x_1-x_2}$ , $\beta_2=\dfrac{x_4-x_1}{x_2-x_1}$ . Таким образом, $(A_1,A_2,A_3,A_4)=\dfrac{x_3-x_1}{x_3-x_2}:\dfrac{x_4-x_1}{x_4-x_2}$ .

Пусть $\widetilde{\cal A}$ проективное преобразование, и $\widetilde{\mathbf y}=\widetilde{\cal A}(\widetilde{\mathbf x})=\widetilde{{\cal A}({\mathbf x})}$ . Пусть $(\xi^0:\ldots:\xi^n)$ и $(\eta^0:\ldots:\eta^n)$ -- однородные координаты для $\widetilde{\mathbf x}$ и $\widetilde{\mathbf y}$ соответственно. Обозначим $x^i=\dfrac{\xi^i}{\xi^0}$ и $y^j=\dfrac{\eta^j}{\eta^0}$ . Тогда

$\displaystyle y^j=\frac{\eta^j}{\eta^0}=\frac{a^j_i\xi^i}{a^0_i\xi^i}= \frac{a^j_0+a^j_ix^i}{a^0_0+a^0_ix^i}.$

Пусть $\Pi=P(U)$ , где $\dim U=k+1$ . Так как $\widetilde{\mathbf x}\in\Pi$ тогда и только тогда, когда ${\mathbf x}\in U$ , то , а значит и $\Pi$ . задается однородной системой ранга относительно однородных координат $(\xi^0:\ldots:\xi^n)$ .

Определение. Квадрикой в проективном пространстве называется множество всех точек, однородные координаты $(\xi^0:\ldots:\xi^n)$ которых в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению вида $\sum_{i,j=0}^n a_{ij}\xi^i\xi^j=0$ .

Теорема. Для всякой квадрики в -мерном проективном пространстве существует каноническая система координат, в которой квадрика задается уравнением вида $(\xi^0)^2+\ldots+(\xi^k)^2-(\xi^{k+1})^2-\ldots-(\xi^{k+l})^2=0$ , где $k+l\leqslant n$ и $k+1\geqslant l$ .

Если и , то нет точек.

Если и , то плоскость.