MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Проективное пространство

Пусть $ ({\mathfrak{A}},V)$ -- $ (n+1)$ -мерное аффинное пространство, и $ O\in{\mathfrak{A}}$ -- произвольная точка.

Определение. $ n$ -мерным проективным пространством $ P(V)$ называется множество всех прямых в аффинном пространстве $ ({\mathfrak{A}},V)$ , проходящих через точку $ O$ , т.е. точка в $ P(V)$ -- это прямая в $ ({\mathfrak{A}},V)$ , проходящая через $ O$ .

Пусть $ X\in P(V)$ -- точка в $ P(V)$ . Тогда $ X=O+{\operatorname{Lin}}({\mathbf x})$ , $ {\mathbf x}\in V$ , в $ ({\mathfrak{A}},V)$ . Будем писать $ X=\widetilde{\mathbf x}$ , причем $ \widetilde{\mathbf x}=\widetilde{\lambda{\mathbf x}}$ для $ \lambda\ne0$ , и $ \widetilde{\mathbf x}=\widetilde{\mathbf y}$ тогда и только тогда, когда $ {\mathbf x}=\lambda{\mathbf y}$ для некоторого $ \lambda\ne0$ .

Пусть $ ({\mathbf e}_0,\dots,{\mathbf e}_n)$ -- базис в $ V$ , и $ {\mathbf x}\ne{\mathbf 0}$ -- произвольный вектор в $ V$ . Тогда $ {\mathbf x}=\xi^i{\mathbf e}_i$ и набор $ (\xi^0:\xi^1:\ldots:\xi^n)$ -- это однородные координаты точки $ X=\widetilde{\mathbf x}$ . Пусть $ ({\mathbf
e}'_0,\dots,{\mathbf e}'_n)=({\mathbf e}_0,\dots,{\mathbf e}_n)C$ другой базис в $ V$ , и $ {\mathbf x}=\zeta^j{\mathbf e}'_j$ . Тогда

$\displaystyle \left\{\begin {array}{l}
\lambda\xi^0=c^0_j\zeta^j\\
\ldots\\
\lambda\xi^n=c^n_j\zeta^j.
\end {array}\right.
$

Определение. Пусть $ k\geqslant0$ и $ U\subset V$ -- $ (k+1)$ -мерное подпространство. Тогда все точки $ X=O+{\operatorname{Lin}}({\mathbf x})=\widetilde{\mathbf x}$ для всех $ {\mathbf x}\in U$ составляют $ k$ -мерную плоскость в $ P(V)$ .

Теорема. Пусть плоскости $ \Pi_1$ и $ \Pi_2$ в $ P(V)$ имеют размерности $ k$ и $ l$ , причем $ k+l\geqslant n=\dim P(V)$ . Тогда $ \Pi_1\cap\Pi_2\ne\emptyset$ .

Пусть $ {\cal A}{\colon}V\to V$ -- невырожденный линейный оператор на $ V$ . Определим оператор $ \widetilde{\cal A}{\colon}P(V)\to P(V)$ положив $ \widetilde{\cal A}(\widetilde{\mathbf x})=\widetilde{{\cal
A}({\mathbf x})}$ для любой точки $ \widetilde{\mathbf x}\in P(V)$ , где $ V\ni{\mathbf x}\ne{\mathbf 0}$ .

Корректность.

$ 1)$ $ {\cal A}({\mathbf x})\ne{\mathbf 0}$ , так как $ {\operatorname{Ker}}{\cal A}=\{{\mathbf 0}\}$ .

$ 2)$ Если $ \widetilde{\mathbf x}=\widetilde{\lambda{\mathbf x}}$ , то $ \widetilde{\cal A}(\widetilde{\lambda{\mathbf x}})=\widetilde{{\cal
A}(\lambd...
...})}=\widetilde{\lambda{\cal A}({\mathbf
x})}=\widetilde{{\cal A}({\mathbf x})}$ .

Определение. Проективным преобразованием в $ P(V)$ называется преобразование $ \widetilde{\cal A}$ , заданное с помощью некоторого невырожденного линейного оператора $ {\cal A}$ на $ V$ по формуле $ \widetilde{\cal A}(\widetilde{\mathbf x})=\widetilde{{\cal
A}({\mathbf x})}$ для любой точки $ \widetilde{\mathbf x}\in P(V)$ . Если $ {\cal A}={\cal E}$ , то $ \widetilde{\cal E}$ -- тождественное преобразование в $ P(V)$ .

Свойства операторов на $ P(V)$ .

$ 1)$ Рассмотрим два оператора $ {\cal A}{\colon}V\to V$ и $ \lambda{\cal A}{\colon}V\to V$ в $ V$ . Тогда $ \widetilde{\cal
A}=\widetilde{\lambda{\cal A}}$ , так как $ \widetilde{\lambda{\cal
A}}(\widetilde{\mathbf x})=\widetilde{\lambda{\cal A}...
...)}=\widetilde{{\cal A}({\mathbf x})}=\widetilde{\cal
A}(\widetilde{\mathbf x})$ .

$ 2)$ Рассмотрим два оператора $ {\cal A}{\colon}V\to V$ и $ {\cal
B}{\colon}V\to V$ в $ V$ . Тогда $ \widetilde{\cal A}\widetilde{\cal
B}=\widetilde{{\cal A}{\cal B}}$ , так как $ (\widetilde{\cal
A}\widetilde{\cal B})(\widetilde{\mathbf x})=\widetilde{\cal...
...}{\cal B})({\mathbf
x})}=\widetilde{({\cal A}{\cal B})}(\widetilde{\mathbf x})$ .

$ 3)$ Пусть для оператора $ {\cal A}{\colon}V\to V$ существует $ {\cal
A}^{-1}{\colon}V\to V$ . Тогда для оператора $ \widetilde{\cal A}{\colon}P(V)\to P(V)$ существует $ \widetilde{\cal
A}^{-1}{\colon}P(V)\to P(V)$ , равный $ \widetilde{\cal
A}^{-1}=\widetilde{{\cal A}^{-1}}$ , так как $ \widetilde{\cal
A}\widetilde{{\cal A}^{-1}}=\widetilde{E}$ и $ \widetilde{{\cal
A}^{-1}}\widetilde{\cal A}=\widetilde{E}$ .

$ 4)$ Пусть $ {\mathbf 0}\ne{\mathbf x}=\xi^i{\mathbf e}_i\in V$ , и $ A=(a^i_j)_{(n+1)\times(n+1)}$ -- матрица оператора в базисе $ ({\mathbf e}_0,\dots,{\mathbf e}_n)$ . Тогда $ {\mathbf y}={\cal
A}({\mathbf x})=\eta^i{\mathbf e}_i$ и однородные координаты $ \widetilde{\mathbf y}$ и $ \widetilde{\mathbf x}$ связаны формулой

$\displaystyle \rho\left(\begin {array}{c} \eta^0\\ \vdots\\ \eta^n\end
{array}\right)= A\left(\begin {array}{c} \xi^0\\ \vdots\\ \xi^n\end
{array}\right).
$

Определение. Точки $ A_0,A_1,\dots,A_{n+1}\in P(V)$ находятся в общем положении, если точки
$ (A_0,A_1,\dots,A_{i-1},\widehat{A_i},A_{i+1},\dots,A_{n+1})$ не лежат в одной $ (n-1)$ -мерной плоскости в $ P(V)$ .

Теорема. Пусть $ (A_0,A_1,\dots,A_{n+1})$ и $ (B_0,B_1,\dots,B_{n+1})$ -- две системы точек общего положения в $ n$ -мерном проективном пространстве. Тогда существует единственное проективное преобразование $ \widetilde{\cal A}{\colon}P(V)\to P(V)$ такое, что $ \widetilde{\cal A}(A_i)=B_i$ .

Пусть $ A_1,\,A_2,\,A_3,\,A_4$ -- различные точки на проективной прямой, т.е. $ A_i=\widetilde{{\mathbf a}_i}$ и $ {\mathbf a}_i\in
U$ , где $ \dim U=2$ . Любые два вектора линейно независимы, пусть это $ {\mathbf a}_1$ и $ {\mathbf a}_2$ . Тогда $ {\mathbf
a}_3=\alpha_1{\mathbf a}_1+\alpha_2{\mathbf a}_2$ и $ {\mathbf
a}_4=\beta_1{\mathbf a}_1+\beta_2{\mathbf a}_2$ . Так как точки $ A_1,\,A_2,\,A_3,\,A_4$ различны, то все $ \alpha_i$ и $ \beta_j\ne0$ .

Определение. Двойным отношением $ (A_1,A_2,A_3,A_4)$ точек называется $ \dfrac{\alpha_2\beta_1}{\alpha_1\beta_2}$ .

Корректность. Если $ {\mathbf a}_3$ заменить на $ \lambda{\mathbf a}_3$ , то $ \alpha_1$ и $ \alpha_2$ перейдут в $ \lambda\alpha_1$ и $ \lambda\alpha_2$ соответственно, и ничего не изменится. Аналогично для $ {\mathbf a}_4$ .

Если $ {\mathbf a}_1$ заменить на $ \lambda{\mathbf a}_1$ , то $ \alpha_1$ и $ \beta_1$ перейдут в $ \alpha_1/\lambda$ и $ \beta_1/\lambda$ соответственно, и ничего не изменится. Аналогично для $ {\mathbf a}_2$ .

Теорема. Под действием произвольного проективного преобразования $ \widetilde{\cal A}$ любая $ k$ -мерная плоскость переходит в $ k$ -мерную плоскость. В частности, прямые переходят в прямые, а для различных четырех точек $ A_1,\,A_2,\,A_3,\,A_4$ , лежащих на одной прямой справедливо равенство
$ (\widetilde{\cal A}(A_1),\widetilde{\cal A}(A_2),\widetilde{\cal
A}(A_3),\widetilde{\cal A}(A_4))=(A_1,A_2,A_3,A_4)$ .

Пусть $ ({\mathfrak{A}},V)$ -- аффинное пространство, и $ O\in{\mathfrak{A}}$ -- произвольная точка. Выберем в $ {\mathfrak{A}}$ систему координат $ \bigl(O,({\mathbf e}_0,\dots,{\mathbf
e}_n)\bigr)$ . Пусть $ O_0=O+{\mathbf e}_0$ , $ U_0={\operatorname{Lin}}({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ и $ \Pi_0=O_0+U_0$ -- гиперплоскость в $ {\mathfrak{A}}$ . Эта плоскость называется стандартной аффинной картой. Гиперплоскость $ P(U_0)$ в $ P(V)$ называется бесконечно удаленной гиперплоскостью по отношению к аффинной карте $ \Pi_0$ .

Определение. Изображением точки $ P(V)\ni\widetilde{\mathbf x}=O+{\operatorname{Lin}}({\mathbf x})$ на аффинной карте называется точка пересечения в пространстве $ {\mathfrak{A}}$ прямой $ O+{\operatorname{Lin}}({\mathbf x})$ с гиперплоскостью $ \Pi_0$ .

Теорема. Точка $ \widetilde{\mathbf x}$ проективного пространства $ P(V)$ имеет изображение на аффинной карте $ \Pi_0$ тогда и только тогда, когда ее однородная координата $ \xi^0\ne0$ ( $ \widetilde{\mathbf x}$ имеет координаты $ (\xi^0:\ldots\xi^n)$ ). Если $ \xi_0\ne0$ , то координаты изображения точки $ \widetilde{\mathbf x}$ на аффинной карте суть $ \left(\dfrac{\xi^1}{\xi^0},\dots,\dfrac{\xi^n}{\xi^0}\right)$ .

Определение. Числа $ x^1=\dfrac{\xi^1}{\xi^0},\dots,x^n=\dfrac{\xi^n}{\xi^0}$ называются неоднородными координатами точки $ \widetilde{\mathbf x}$ .

Пусть $ A_i=\widetilde{\mathbf a}_i$ , $ i=1,2,3,4$ , -- различные точки на проективной прямой, и $ x_i$ -- их неоднородные координаты. Тогда вектора $ {\mathbf a}_i$ имеют координаты $ (1,x_i)$ , и из равенств $ (1,x_3)=\alpha_1(1,x_1)+\alpha_2(1,x_2)$ , $ (1,x_4)=\beta_1(1,x_1)+\beta_2(1,x_2)$ следует, что $ \alpha_1=\dfrac{x_3-x_2}{x_1-x_2}$ , $ \alpha_2=\dfrac{x_3-x_1}{x_2-x_1}$ , $ \beta_1=\dfrac{x_4-x_2}{x_1-x_2}$ , $ \beta_2=\dfrac{x_4-x_1}{x_2-x_1}$ . Таким образом, $ (A_1,A_2,A_3,A_4)=\dfrac{x_3-x_1}{x_3-x_2}:\dfrac{x_4-x_1}{x_4-x_2}$ .

Пусть $ \widetilde{\cal A}$ проективное преобразование, и $ \widetilde{\mathbf y}=\widetilde{\cal A}(\widetilde{\mathbf
x})=\widetilde{{\cal A}({\mathbf x})}$ . Пусть $ (\xi^0:\ldots:\xi^n)$ и $ (\eta^0:\ldots:\eta^n)$ -- однородные координаты для $ \widetilde{\mathbf x}$ и $ \widetilde{\mathbf y}$ соответственно. Обозначим $ x^i=\dfrac{\xi^i}{\xi^0}$ и $ y^j=\dfrac{\eta^j}{\eta^0}$ . Тогда

$\displaystyle y^j=\frac{\eta^j}{\eta^0}=\frac{a^j_i\xi^i}{a^0_i\xi^i}=
\frac{a^j_0+a^j_ix^i}{a^0_0+a^0_ix^i}.
$

Пусть $ \Pi=P(U)$ , где $ \dim U=k+1$ . Так как $ \widetilde{\mathbf
x}\in\Pi$ тогда и только тогда, когда $ {\mathbf x}\in U$ , то $ U$ , а значит и $ \Pi$ . задается однородной системой ранга $ n-k$ относительно однородных координат $ (\xi^0:\ldots:\xi^n)$ .

Определение. Квадрикой в проективном пространстве $ P(V)$ называется множество всех точек, однородные координаты $ (\xi^0:\ldots:\xi^n)$ которых в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению вида $ \sum_{i,j=0}^n a_{ij}\xi^i\xi^j=0$ .

Теорема. Для всякой квадрики в $ n$ -мерном проективном пространстве существует каноническая система координат, в которой квадрика задается уравнением вида $ (\xi^0)^2+\ldots+(\xi^k)^2-(\xi^{k+1})^2-\ldots-(\xi^{k+l})^2=0$ , где $ k+l\leqslant n$ и $ k+1\geqslant l$ .

$ (I)$ Если $ k=n$ и $ l=0$ , то нет точек.

$ (II)$ Если $ k<n$ и $ l=0$ , то плоскость.