MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Билинейные функции

Определение. Пусть $ V$ -- линейное пространство над полем $ F$ . Тогда отображение $ f{\colon}V\times V\to F$ называется билинейной функцией, если

$ 1)$ $ f(\alpha_1{\mathbf x}_1+\alpha_2{\mathbf x}_2,{\mathbf
y})=\alpha_1f({\mathbf x}_1,{\mathbf y})+\alpha_2f({\mathbf
x}_2,{\mathbf y})$ для любых векторов $ {\mathbf x}_1,\,{\mathbf
x}_2\in V$ и любых чисел $ \alpha_1,\,\alpha_2\in F$ ,

$ 2)$ $ f({\mathbf x},\beta_1{\mathbf y}_1+\beta_2{\mathbf
y}_2)=\beta_1f({\mathbf x},{\mathbf y}_1)+\beta_2f({\mathbf
x},{\mathbf y}_2)$ для любых векторов $ {\mathbf y}_1,\,{\mathbf
y}_2\in V$ и любых чисел $ \beta_1,\,\beta_2\in F$ .

Определение. Матрицей $ A$ билинейной функции $ f$ в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ называется матрица $ (a_{ij})_{n\times n}$ , где $ a_{ij}=f({\mathbf e}_i,{\mathbf e}_j)$ .

Теорема. Пусть $ {\mathbf E}=({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf
e}_n)$ -- базис $ n$ -мерного линейного пространства $ V$ . Тогда для любой квадратной матрицы $ A=(a_{ij})_{n\times n}$ порядка $ n$ существует, причем единственная, билинейная функция $ f{\colon}V\times V\to F$ на пространстве $ V$ с матрицей $ A$ в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ . При этом значения $ f({\mathbf x},{\mathbf y})$ , где $ {\mathbf x}={\mathbf E} X$ и $ {\mathbf y}={\mathbf E} Y$ , могут быть найдены по формуле $ f({\mathbf x},{\mathbf y})=X^\top AY=a_{ij}x^iy^j$ .

Замечание. Билинейные функции $ f{\colon}V\times V\to F$ образуют линейное пространство. Линейная комбинация двух функций $ f,\,g{\colon}V\times V\to F$ -- это функция $ \alpha f+\beta
g{\colon}V\times V\to F$ , заданная формулой $ (\alpha f+\beta
g)({\mathbf x},{\mathbf y})=\alpha f({\mathbf x},{\mathbf y})+\beta
g({\mathbf x},{\mathbf y})$ .

Если зафиксировать базис в пространстве $ V$ , то мы получаем изоморфизм из пространства билинейных функций в пространство $ {\operatorname{M}}(n,F)$ квадратных матриц порядка $ n$ над полем $ F$ .

Лемма. Пусть $ A=(a_{ij})_{m\times n}$ и $ B=(b_{ij})_{n\times
p}$ -- матрицы размера $ m\times n$ и $ n\times p$ соответственно. Тогда $ (AB)^\top=B^\top A^\top$ .

Теорема. Если $ A$ и $ A'$ -- матрицы билинейной функции $ f{\colon}V\times V\to F$ в разных базисах $ {\mathbf E}$ и $ {\mathbf
E}'$ пространства $ V$ , то $ A'=C^\top AC$ , где $ C$ матрица перехода от базиса $ {\mathbf E}$ к $ {\mathbf
E}'$ , т.е. $ {\mathbf
E}'={\mathbf E} C$ .

Определение. Билинейная функция $ f{\colon}V\times V\to F$ называется симметрической, если $ f({\mathbf x},{\mathbf
y})=f({\mathbf y},{\mathbf x})$ для любых векторов $ {\mathbf
x},\,{\mathbf y}\in V$ .

Билинейная функция $ f{\colon}V\times V\to F$ называется кососимметрической, если $ f({\mathbf x},{\mathbf y})=-f({\mathbf
y},{\mathbf x})$ для любых векторов $ {\mathbf
x},\,{\mathbf y}\in V$ .

Теорема. $ 1)$ Если матрица $ A=(a_{ij})_{n\times n}$ билинейной функции $ f{\colon}V\times V\to F$ в некотором базисе симметрическая (кососимметрическая), т.е. $ a_{ij}=a_{ji}$ ( $ a_{ij}=-a_{ji}$ ), то функция $ f$ является симметрической (кососимметрической) билинейной функцией.

$ 2)$ Если билинейная функция $ f{\colon}V\times V\to F$ является симметрической (кососимметрической), то ее матрица $ A=(a_{ij})_{n\times n}$ в любом базисе симметрическая (кососимметрическая).

Определение. Пусть $ V$ -- линейное пространство над полем $ {\Bbb C}$ . Функция $ f{\colon}V\times V\to F$ называется полуторалинейной, если

$ 1)$ $ f(\alpha_1{\mathbf x}_1+\alpha_2{\mathbf x}_2,{\mathbf
y})=\alpha_1f({\mathbf x}_1,{\mathbf y})+\alpha_2f({\mathbf
x}_2,{\mathbf y})$ для любых векторов $ {\mathbf x}_1,\,{\mathbf
x}_2\in V$ и любых чисел $ \alpha_1,\,\alpha_2\in{\Bbb C}$ ,

$ 2)$ $ f({\mathbf x},\beta_1{\mathbf y}_1+\beta_2{\mathbf y}_2)=
\overline{\beta}_1f({\mathbf x},{\mathbf
y}_1)+\overline{\beta}_2f({\mathbf x},{\mathbf y}_2)$ для любых векторов $ {\mathbf y}_1,\,{\mathbf
y}_2\in V$ и любых чисел $ \beta_1,\,\beta_2\in{\Bbb C}$ .

Для полуторалинейной функции имеем $ f({\mathbf x},{\mathbf
y})=X^\top A\overline Y=a_{ij}x^i\overline{y}^j$ .

Определение. Полуторалинейная функция $ f$ называется эрмитовой, если $ f({\mathbf x},{\mathbf y})=\overline{f({\mathbf
y},{\mathbf x})}$ .

Теорема. $ 1)$ Если матрица $ A=(a_{ij})_{n\times n}$ полуторалинейной функции $ f{\colon}V\times V\to{\Bbb C}$ в некотором базисе эрмитова, т.е. $ \overline{a}_{ij}=a_{ji}$ , то функция $ f$ является эрмитовой полуторалинейной функцией.

$ 2)$ Если полуторалинейная функция $ f{\colon}V\times V\to{\Bbb C}$ является эрмитовой, то ее матрица $ A=(a_{ij})_{n\times n}$ в любом базисе эрмитова, т.е. $ \overline A=A^\top$ .

Определение. Рангом $ {\operatorname{rank}} f$ билинейной функции $ f{\colon}V\times V\to F$ называется ранг $ {\operatorname{rank}} A$ ее матрицы $ A$ в некотором базисе.

Замечание. При умножении на невырожденную матрицу ранг не меняется, поэтому определение ранга функции корректно. Заметим, что $ {\operatorname{rank}} f=n$ тогда и только тогда, когда $ \det
A\ne0$ .

Определение. Ядро $ {\operatorname{Ker}} f$ симметрической билинейной функции $ f{\colon}V\times V\to F$ -- это множество $ {\operatorname{Ker}} f=\{{\mathbf x}\in V\vert f({\mathbf x},{\mathbf y})=0\,$для любого$ \,{\mathbf y}\in V\}$ .

Теорема. Ядро симметрической билинейной функции $ f{\colon}V\times V\to F$ на $ n$ -мерном линейном пространстве $ V$ является подпространством размерности $ {\operatorname{dim}}{\operatorname{Ker}} f=n-{\operatorname{rank}}
f$ .