MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Евклидовы и унитарные пространства

Определение. Евклидовым пространством называется вещественное линейное пространство $ V$ с заданной на $ V$ положительно определенной симметрической билинейной функцией $ f{\colon}V\times V\to{\Bbb R}$ , которая называется скалярным произведением и обозначается $ f({\mathbf x},{\mathbf y})=({\mathbf
x},{\mathbf y})$ .

Пример. Рассмотрим примеры евклидовых пространств.

$ 1)$ Арифметическое пространство $ {\Bbb R}^n$ . Если $ X$ и $ Y$ -- столбцы координат векторов $ {\mathbf x}$ и $ {\mathbf y}$ соответственно в стандартном базисе, то $ ({\mathbf x},{\mathbf
y})=X^\top Y$ .

$ 2)$ Пространство $ C[a,b]$ непрерывных функций на $ [a,b]$ . Для любых двух функций $ f,\,g\in C[a,b]$ полагаем $ (f,g)=\int^b_af(x)g(x)\,dx$ .

$ 3)$ Пространство многочленов степени не больше $ n$ . Для любых двух многочленов $ f,\,g$ полагаем $ (f,g)=\int^b_af(x)g(x)\,dx$ .

Определение. Пусть $ E$ -- $ n$ -мерное евклидово пространство с базисом $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ . Матрица Грамма базиса $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ -- это матрица

$\displaystyle G({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)=\left(\begin {array}{ccc}
(...
...}_n,{\mathbf e}_1)&\ldots&({\mathbf e}_n,{\mathbf e}_n)
\end {array}\right).
$

Определитель $ \det G({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ матрицы Грамма $ G({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ называется определителем Грамма.

Определение. Вектора $ {\mathbf a},\,{\mathbf b}\in E$ называются ортогональными, если $ ({\mathbf a},{\mathbf b})=0$ . Длина вектора $ {\mathbf a}\in E$ -- это неотрицательное число $ \vert{\mathbf a}\vert=\sqrt{({\mathbf a},{\mathbf a})}$ . Если $ {\mathbf a}\ne{\mathbf 0},\,{\mathbf b}\ne{\mathbf 0}$ , то угол между $ {\mathbf a}$ и $ {\mathbf b}$ определяется по формуле $ \cos\widehat{{\mathbf a}{\mathbf b}}=\dfrac{({\mathbf a},{\mathbf
b})}{\vert{\mathbf a}\vert\vert{\mathbf b}\vert}$ .

Теорема. Если векторы $ {\mathbf a},\,{\mathbf b}\in E$ ортогональны, то $ \vert{\mathbf a}+{\mathbf b}\vert^2=\vert{\mathbf
a}\vert^2+\vert{\mathbf b}\vert^2$ .

Теорема. Если $ ({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf a}_n)$ -- ортогональная система ненулевых векторов, то она линейно независима.

Теорема.[Неравенство Коши-Буняковского] Для любых векторов $ {\mathbf x},\,{\mathbf y}\in E$ евклидова пространства $ E$ справедливо неравенство $ ({\mathbf x},{\mathbf
y})^2\leqslant({\mathbf x},{\mathbf x})({\mathbf y},{\mathbf y})$ . Причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы $ {\mathbf x}$ и $ {\mathbf y}$ линейно зависимы.

Следствие.[Неравенство Коши] Для всяких векторов чисел $ (x^1,\dots,x^n)$ и $ (y^1,\dots,y^n)$ справедливо неравенство $ \bigl(\sum^n_{i=1}x^iy^i\bigr)^2\leqslant
\bigl(\sum^n_{i=1}(x^i)^2\bigr)\bigl(\sum^n_{i=1}(y^i)^2\bigr)$ .

Следствие.[Неравенство Буняковского] Для любых чисел $ a<b$ и любых непрерывных функций $ f,\,g\in C[a,b]$ справедливо неравенство $ \bigl(\int^b_af(x)g(x)\,dx\bigr)^2\leqslant
(\int^b_af^2(x)\,dx\bigr)(\int^b_ag^2(x)\,dx\bigr)$ .

Следствие.[Неравенство треугольника] Для всяких векторов $ {\mathbf x},\,{\mathbf y}\in E$ евклидова пространства $ E$ справедливо неравенство $ \vert{\mathbf x}\pm{\mathbf
y}\vert\leqslant\vert{\mathbf x}\vert+\vert{\mathbf y}\vert$ .

Определение. Унитарным пространством называется линейное пространство над полем комплексных чисел $ {\Bbb C}$ , на котором определена эрмитова положительно определенная функция. Она обозначается также $ (\cdot,\cdot)$ .

Теорема. Для любых векторов $ {\mathbf x},\,{\mathbf y}\in V$ унитарного пространства $ V$ справедливо неравенство $ \vert({\mathbf
x},{\mathbf y})\vert\leqslant\vert{\mathbf x}\vert\vert{\mathbf y}\vert$ .

Определение. Базис $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ в евклидовом (унитарном) пространстве $ E$ называется ортогональным нормированным (ортонормальным), если для любых базисных векторов справедливо равенство $ ({\mathbf
e}_i,{\mathbf e}_j)=\delta_{ij}$ .

Замечание. Из следствия следует, существования такого базиса. Заметим, что матрица Грамма в этом базисе единична.

Определение. Пусть $ A=(a_{ij})_{n\times n}$ -- произвольная квадратная матрица над $ {\Bbb R}$ . Система столбцов в $ A$ называется ортонормальной системой, если $ \sum_{k=1}^na_{ki}a_{kj}=\delta_{ij}$ . Матрица $ A$ называется ортогональной, если система ее столбцов ортонормальна.

Теорема. Для всякой квадратной вещественной матрицы $ A$ порядка $ n$ следующие условия равносильны:

$ 1)$ система строк матрицы $ A$ ортонормальна;

$ 2)$ система столбцов матрицы $ A$ ортонормальна;

$ 3)$ $ A^{-1}=A^\top$ .

Следствие. $ 1)$ Если $ A$ -- ортогональна, то $ \det A=\pm1$ .

$ 2)$ Если $ A$ -- ортогональна, то $ A^{-1}$ -- ортогональна.

$ 3)$ Если $ A$ и $ B$ -- ортогональные матрицы, то матрица $ AB$ тоже ортогональна.

Замечание. Ортогональные матрицы образуют группу $ {\operatorname{O}}(n)$ .

Определение. Комплексная матрица $ A$ называется унитарной, если $ \overline AA^\top=E$ .

Теорема. $ 1)$ Если $ A$ -- унитарная матрица, то $ \vert\det A\vert=1$ .

$ 2)$ Если $ A$ -- унитарная матрица, то $ A^{-1}$ -- унитарная матрица.

$ 3)$ Если $ A$ и $ B$ -- унитарные матрицы, то матрица $ AB$ тоже унитарная.

Замечание. Унитарные матрицы образуют группу $ {\operatorname{U}}(n)$ .

Теорема. Пусть $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ -- ортонормальный базис евклидова (унитарного) пространства $ E$ . Базис $ {\mathbf E}=(\widetilde{\mathbf e}_1,\dots,\widetilde{\mathbf
e}_n)$ является ортонормальным тогда и только тогда, когда матрица перехода от базиса $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ к $ \widetilde{\mathbf E}=(\widetilde{\mathbf
e}_1,\dots,\widetilde{\mathbf e}_n)$ является ортогональной (унитарной).

Определение. Изоморфизмом $ \varphi{\colon}E_1\to E_2$ евклидовых (унитарных) пространств $ E_1$ и $ E_2$ называется такой изоморфизм линейных пространств, для которого $ \bigl(\varphi({\mathbf x}),\varphi({\mathbf y})\bigr)=({\mathbf
x},{\mathbf y})$ для любых векторов $ {\mathbf x},\,{\mathbf y}\in
E_1$ .

Теорема. Два конечномерных евклидовых (унитарных) пространства $ E_1$ и $ E_2$ изоморфны тогда и только тогда, когда $ {\operatorname{dim}} E_1={\operatorname{dim}} E_2$ .

Пусть $ V$ -- $ n$ -мерное евклидово пространство, и $ V^*$ -- его сопряженное. Положим для любого вектора $ {\mathbf a}\in V$ по определению $ f_{\mathbf a}({\mathbf x})=({\mathbf x},{\mathbf a})$ , где $ {\mathbf x}\in V$ .

Теорема. $ 1)$ $ f_{\mathbf a}$ является линейной функцией на $ V$ , т.е. $ f_{\mathbf a}\in V^*$ .

$ 2)$ Имеется естественный изоморфизм $ {\mathbf a}\mapsto f_{\mathbf
a}$ между $ n$ -мерными евклидовым пространством $ V$ и $ V^*$ .

Процесс ортогонализации. Пусть даны линейно независимые векторы $ {\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf a}_k$ . Требуется найти такие векторы $ {\mathbf b}_1,\dots,{\mathbf b}_k$ , что $ ({\mathbf
b}_i,{\mathbf b}_j)=0$ при $ i\ne j$ и $ {\mathbf
b}_i=\sum_{j=1}^{i-1}\alpha^j{\mathbf a}_j+{\mathbf a}_i$ . Тогда $ {\operatorname{Lin}}({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf
a}_i)={\operatorname{Lin}}({\mathbf b}_1,\dots,{\mathbf b}_i)=L_i$ и $ L_i+{\mathbf a}_{i+1}=L_i+{\mathbf b}_{i+1}$ .

Берем $ {\mathbf b}_1={\mathbf a}_1$ . Хотим $ ({\mathbf b}_2,{\mathbf
b}_1)=0$ и $ {\mathbf b}_2=\alpha^1{\mathbf a}_1+{\mathbf a}_2$ , тогда $ \alpha^1=-\dfrac{({\mathbf a}_1,{\mathbf a}_2)}{({\mathbf
a}_1,{\mathbf a}_1)}$ ( $ {\mathbf a}_1\ne{\mathbf 0}$ ).

На $ i$ -ом шаге получаем, $ {\mathbf
b}_i=\sum_{j=1}^{i-1}\alpha^j{\mathbf a}_j+{\mathbf a}_i=
\sum_{j=1}^{i-1}\beta^j{\mathbf b}_j+{\mathbf a}_i$ и $ \beta^j=-\dfrac{({\mathbf a}_i,{\mathbf b}_j)}{({\mathbf
b}_j,{\mathbf b}_j)}$ .

Определение. Определитель матрицы Грамма векторов $ {\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf a}_k$ называется квадратом $ k$ -мерного объема параллелепипеда, натянутого на $ {\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf a}_k$ .

Теорема. Определитель Грамма не меняется при процессе ортогонализации.

Определение. Пусть $ L$ -- подпространство евклидова пространства $ E$ . Ортогональным дополнением $ L^\perp$ к подпространству $ L$ в $ E$ называется множество $ L^\perp=\{{\mathbf
x}\in E\vert({\mathbf x},{\mathbf y})=0\,\mbox{для любого}\,{\mathbf
y}\in E\}$ .

Теорема. Множество $ L^\perp$ является подпространством и $ E=L\oplus L^\perp$ .

Пусть $ {\mathbf x}\in E$ и $ L={\operatorname{Lin}}({\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_k)$ . Мы хотим найти разложение $ {\mathbf
x}={\mathbf y}+{\mathbf z}$ , где $ {\mathbf y}\in L$ , а $ {\mathbf
z}\in L^\perp$ ( $ {\mathbf y}$ называется ортогональной проекцией, а $ {\mathbf z}$ -- ортогональной составляющей). Ищем $ {\mathbf y}=\alpha^i{\mathbf a}_i$ . Надо решить систему $ ({\mathbf x},{\mathbf a}_i)=({\mathbf
y},{\mathbf a}_i)$ из $ k$ уравнений. Определитель системы -- это определитель Грамма. Решая систему, находим $ \alpha^i$ .

Утверждение. Пусть $ L_i$ -- подпространства в евклидовом пространстве $ E$ . Тогда справедливы равенства: $ (L_1{\cal A}p
L_2)^\perp=L^\perp_1+L^\perp_2$ и $ (L_1+L_2)^\perp=L^\perp_1{\cal
A}p L^\perp_2$ .