MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Линейные функции

Определение. Пусть $ V$ -- линейное пространство над полем $ F$ . Функция $ f{\colon}V\to F$ называется линейной, если $ f(\alpha{\mathbf x}+\beta{\mathbf y})=\alpha f({\mathbf x})+\beta
f({\mathbf y})$ для любых $ {\mathbf x},\,{\mathbf y}\in V$ и $ \alpha,\,\beta\in F$ .

Пример.

$ 1)$ Нулевая функция: $ f({\mathbf x})\equiv0$ для любого $ {\mathbf
x}\in V$ .

$ 2)$ Пусть $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ -- базис. Тогда для любого $ {\mathbf x}=x^i{\mathbf e}_i$ положим $ f({\mathbf
x})=x^i$ .

$ 3)$ Пусть $ V$ -- линейное пространство матриц. Тогда $ f(X)={\operatorname{Tr}} X$ .

$ 4)$ Пусть $ V$ -- пространство многочленов степени не больше $ n$ . Тогда $ f(P)=P(0)$ или $ f(P)=P'(0)$ .

Теорема. Пусть $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ -- базис пространства $ V$ . Тогда для любых $ a_i\in F$ , $ i=1,\dots,n$ , существует единственная функция $ f$ такая, что $ f({\mathbf
e}_i)=a_i$ . Линейная функция $ f$ задается формулой: $ f(x^i{\mathbf
e}_i)=x^ia_i$ .

Линейные функции на $ V$ составляют линейное пространство: $ f,g\to
\alpha f+\beta g$ , где $ (\alpha f+\beta g)({\mathbf x})=\alpha
f({\mathbf x})+\beta g({\mathbf x})$ . Функция $ \alpha f+\beta g$ -- линейная (очевидно), 0 -- нулевая функция, $ -f$ противоположная к $ f$ .

Определение. Сопряженным (двойственным) пространством $ V^*$ для линейного пространства $ V$ называется пространство всех линейных функций на $ V$ с определенной выше операцией.

Пусть $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ -- базис в $ V$ . Определим линейные функции $ {\mathbf e}^i$ : $ {\mathbf e}^i({\mathbf
e}_j)=\delta^i_j$ . Система $ ({\mathbf e}^1,\dots,{\mathbf e}^n)$ называется сопряженным базисом для базиса $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ .

Теорема. Пусть $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ -- базис в $ V$ . Тогда

$ 1)$ сопряженный базис $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ существует;

$ 2)$ сопряженный базис $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ единственен;

$ 3)$ в самом деле является базисом в $ V^*$ ;

$ 4)$ координатами любой функции $ f\in V^*$ в базисе $ ({\mathbf e}^1,\dots,{\mathbf e}^n)$ являются числа $ f({\mathbf
e}_1),\dots,f({\mathbf e}_n)$ ;

$ 5)$ $ {\operatorname{dim}} V={\operatorname{dim}} V^*$ .

Определение. Ядром $ {\operatorname{Ker}} f$ функции $ f\in V^*$ называется следующее множество: $ {\operatorname{Ker}}
f=\{{\mathbf x}\in V \vert f({\mathbf x})=0\}$ .

Теорема. Для любого конечномерного пространства $ V$ и любой линейной функции $ f$ справедливы следующие утверждения:

$ 1)$ ядро $ {\operatorname{Ker}} f$ является подпространством в $ V$ ;

$ 2)$ если функция $ f$ не является нулевой, то $ {\operatorname{dim}}{\operatorname{Ker}} f={\operatorname{dim}}
V-1$ .

Теорема. Пусть $ {\mathbf E}=({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf
e}_n)$ -- базис линейного пространства $ V$ . Тогда справедливы следующие утверждения.

$ 1)$ Множество $ U$ всех векторов $ {\mathbf x}$ , координаты которых в базисе $ \beta$ удовлетворяют линейной однородной системе

$\displaystyle \left\{\begin {array}{l}
a^1_jx^j=0,\\
\dots\\
a^m_jx^j=0,
\end {array}\right.\eqno (1)
$

является подпространством в $ V$ и $ {\operatorname{dim}}
U=n-{\operatorname{rank}}(a^i_j)_{m\times n}$ .

$ 2)$ Всякое $ k$ -мерное подпространство $ U$ пространства $ V$ состоит из всех векторов, координаты которых удовлетворяют некоторой однородной линейной системе ранга $ n-k$ .

Теорема. Пусть $ V$ -- $ n$ -мерное линейное пространство. Тогда функция $ g_{\mathbf x}$ , заданная формулой $ g_{\mathbf
x}(f)=f({\mathbf x})$ для любой функции $ f\in V^*$ , является линейной, т.е. $ g_{\mathbf x}\in V^{**}$ .

Отображение $ \chi{\colon}V\to V^{**}$ , заданное по правилу $ \chi({\mathbf x})=g_{\mathbf x}$ , является естественным изоморфизмом пространств $ V$ и $ V^{**}$ .