MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Инвариантные подпространства и собственные векторы линейного

Определение. Подпространство $ U\subset V$ линейного пространства $ V$ называется инвариантным для линейного оператора $ {\cal A}$ , если $ {\cal
A}({\mathbf x})\in U$ для любого $ {\mathbf x}\in U$ , т.е. $ {\cal
A}(U)=\{{\cal A}({\mathbf x})\vert{\mathbf x}\in U\}\subset U$ .

Замечание. Будем обозначать через $ {\cal A}\vert _U$ ограничения оператора $ {\cal A}{\colon}V\to V$ на подпространство $ U\subset V$ .

Пример.

$ 1)$ Все пространство $ V$ и нулевое подпространство $ {\langle}{\mathbf 0}{\rangle}$ инвариантны относительно любого оператора $ {\cal A}{\colon}V\to V$ .

$ 2)$ Любое подпространства $ U\subset V$ инвариантно относительно оператора $ {\cal A}{\colon}V\to V$ , заданного формулой $ {\cal
A}({\mathbf x})=\lambda{\mathbf x}$ .

$ 3)$ Пусть $ V=V_1\oplus V_2$ и $ {\cal A}({\mathbf v})={\mathbf
v}_1$ , где $ {\mathbf v}={\mathbf v}_1+{\mathbf v}_2$ , $ {\mathbf
v}_i\in V_i$ . Тогда подпространства $ V_1$ и $ V_2$ инвариантны относительно $ {\cal A}$ ($ V_1$ переходит в себя, а $ V_2$ -- в ноль).

$ 4)$ Ядро $ {\operatorname{Ker}}{\cal A}$ и образ $ {\operatorname{Im}}{\cal A}$ оператора $ {\cal A}$ являются инвариантными подпространствами в $ V$ относительно оператора $ {\cal A}$ .

Теорема. $ 1)$ Пусть $ U$ -- инвариантное подпространство $ n$ -мерного линейного пространства $ V$ для оператора $ {\cal A}{\colon}V\to V$ . Пусть $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_k)$ -- базис в $ U$ , а $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_k,{\mathbf
e}_{k+1},\dots,{\mathbf e}_n)$ -- базис в $ V$ . Тогда в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ матрица оператора $ {\cal A}$ имеет следующий вид

$\displaystyle A=\left(\begin {array}{cccccc}
a^1_1 & \dots & a^1_k & a^1_{k+1}...
... & \vdots\\
0 & \dots & 0 & a^n_{k+1} & \dots & a^n_n
\end {array}\right).
$

$ 2)$ Если $ V=V_1\oplus V_2$ прямая сумма инвариантных подпространств для $ {\cal A}$ , $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_k)$ и $ ({\mathbf
e}_{k+1},\dots,{\mathbf e}_n)$ -- базисы в $ V_1$ и $ V_2$ соответственно, то в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_k,{\mathbf
e}_{k+1},\dots,{\mathbf e}_n)$ пространства $ V$ матрица оператора имеет вид

$\displaystyle A=\left(\begin {array}{cccccc}
a^1_1 & \dots & a^1_k & 0 & \dots...
... & \vdots\\
0 & \dots & 0 & a^n_{k+1} & \dots & a^n_n
\end {array}\right).
$

Замечание. Если $ V=\oplus_{i=1}^lV_i$ , где каждое $ V_i$ является инвариантным подпространство для $ {\cal A}$ . В каждом из $ V_i$ выбран базис и объединение базисов -- это базис в $ V$ . Тогда в этом базисе матрица оператора имеет блочный вид, количество блоков равно $ l$ .

Определение. Вектор $ {\mathbf x}\ne{\mathbf 0}$ называется собственным вектором (для) оператора $ {\cal A}$ , если $ {\cal
A}({\mathbf x})=\lambda{\mathbf x}$ для некоторого $ \lambda\in F$ . Число $ \lambda$ называется собственным значением оператора $ {\cal A}$ .

Пример. Любой вектор $ {\mathbf x}\in{\operatorname{Ker}}{\cal
A}$ является собственным вектором с собственном значением 0 .

Теорема. Следующие утверждения равносильны.

$ 1)$ Матрица $ A$ оператора $ {\cal A}$ в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ диагональна.

$ 2)$ Базис $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ состоит из собственных векторов оператора $ {\cal A}$ .

$ 3)$ Пространство $ V$ является прямой суммой одномерных инвариантных подпространств, т.е. $ V=\oplus_{i=1}^n{\operatorname{Lin}}({\mathbf
e}_i)$ .

Определение. Характеристический многочлен $ \chi_A(t)$ квадратной матрицы $ A_{n\times n}$ -- это $ \chi_A(t)=\det(A-tE)$ .

Замечание. $ \deg\chi_A(t)=n$ и $ \chi_A(t)=(-1)^nt^n+(-1)^{n-1}a_{n-1}t^{n-1}+\ldots+a_0$ , $ a_{n-1}={\operatorname{Tr}} A=a^i_i$ и $ a_0=\det A$ .

Определение. Характеристический многочлен $ \chi_{\cal
A}(t)$ линейного оператора $ {\cal A}$ -- это характеристический многочлен $ \chi_A(t)=\det(A-tE)$ его матрицы $ A$ в каком-то базисе.

Теорема. Характеристический многочлен оператора $ {\cal A}$ не зависит от выбора базиса, т.е. в любом базисе имеет одинаковый вид.

Определение. След $ {\operatorname{Tr}}{\cal A}$ оператора $ {\cal A}$ -- это след его матрицы в каком-то базисе.

Теорема. След $ {\operatorname{Tr}}{\cal A}$ оператора $ {\cal A}$ не зависит от выбора базиса.

Теорема. Число $ \lambda$ является собственным значением линейного оператора $ {\cal A}{\colon}V\to V$ , где $ V$ -- $ n$ -мерное векторное пространство, тогда и только тогда, когда $ \lambda$ является корнем характеристического многочлен $ \chi_{\cal
A}(t)$ .

Определение. Оператор $ {\cal A}$ называется диагонализируемым, если в некотором базисе он имеет диагональную матрицу.

Лемма. Пусть $ {\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf a}_m$ -- собственные векторы для разных собственных значений $ \lambda_1,\dots,\lambda_m$ . Тогда система $ ({\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_m)$ линейно независима.

Определение. Пусть $ \lambda$ -- собственное значение оператора $ {\cal A}{\colon}V\to V$ . Собственное подпространство $ V_\lambda$ линейного пространства $ V$ -- это $ V_\lambda=\{{\mathbf x}\in V\vert({\cal A}-\lambda{\cal E}){\mathbf
x}={\mathbf 0}\}={\operatorname{Ker}}({\cal A}-\lambda{\cal E})$ .

Замечание. Если $ {\mathbf x}\ne{\mathbf 0}$ и $ {\mathbf x}\in
V_\lambda$ , то $ {\mathbf x}$ -- собственный вектор. Таким образом $ V_\lambda$ состоит из нуля и собственных векторов.

Лемма. Если $ V_{\lambda_i}$ , где $ 1\leqslant i\leqslant m$ , -- собственные подпространства в $ V$ оператора $ {\cal A}{\colon}V\to V$ для разных собственных значений $ \lambda_i$ , то их сумма $ W=V_{\lambda_1}+\ldots+V_{\lambda_m}$ является прямой.

Определение. Число $ {\operatorname{dim}} V_{\lambda}$ называется геометрической кратностью собственного значения $ \lambda$ .

Алгебраическая кратность собственного значения $ \lambda$ -- это кратность $ \lambda$ как корня характеристического многочлена $ \chi_{\cal
A}(t)$ оператора $ {\cal A}$ .

Лемма. Геометрическая кратность собственного значения не превосходит его алгебраическую кратность.

Пример. Рассмотрим линейный оператор $ {\cal A}{\colon}V\to V$ , где $ V$ -- $ 2$ -мерное линейное пространство, заданный в некотором базисе матрицей $ \left(\begin {array}{cc} 1 & 0\\ 1 & 1\end
{array}\right)$ . Тогда $ \lambda=1$ -- собственное значение, $ \chi_{\cal A}(t)=(t-1)^2$ и $ V_1={\operatorname{Lin}}(v)$ , где $ {\mathbf v}=(0,1)$ . Получаем, что геометрическая кратность, равная $ d={\operatorname{dim}} V_1=1$ , меньше алгебраической кратности, которая равна $ 2$ . Заметим, что оператор $ {\cal A}$ не диагонализируем.

Теорема. Если характеристический многочлен $ \chi_{\cal
A}(t)$ линейного оператора $ {\cal A}{\colon}V\to V$ на $ n$ -мерном пространстве $ V$ разлагается на линейные множители, т.е. $ \chi_{\cal A}(t)=\pm(t-\lambda_1)^{k_1}\dots(t-\lambda_m)^{k_m}$ , где $ \lambda_i\ne\lambda_j$ при $ i\ne j$ , то необходимым и достаточным условием диагонализируемости оператора $ {\cal A}$ является совпадение геометрической и алгебраической кратности каждого собственного значения, т.е. $ d_i={\operatorname{dim}}
V_{\lambda_i}=k_i$ для каждого $ i=1,\dots,m$ .

Следствие. Если характеристический многочлен $ \chi_{\cal
A}(t)$ линейного оператора $ {\cal A}{\colon}V\to V$ разлагается на линейные множители, и все корни его являются простыми, то оператор $ {\cal A}$ диагонализируем.

Определение. Спектром $ {\operatorname{Spec}}{\cal A}$ оператора $ {\cal A}$ называется множество его собственных значений. Спектр $ {\operatorname{Spec}}{\cal A}=\{\lambda_1,\dots,\lambda_m\}$ оператора $ {\cal A}$ называется простым, если все $ \lambda_i$ простые.

Следствие. Всякий комплексный оператор с простым спектром диагонализируем.

Замечание. Простота спектра является достаточным условием, но не необходимым.

Рассмотрим произвольный многочлен $ f(t)=\sum_{i=0}^ma_it^i$ и линейный оператор $ {\cal A}{\colon}V\to V$ . Можно определить новый оператор $ f({\cal A}){\colon}V\to V$ , положив $ f({\cal
A})=\sum_{i=0}^ma_i{\cal A}^i$ .

Лемма. Пусть даны два многочлена $ f(t)$ и $ g(t)$ . Тогда операторы $ f({\cal A})$ и $ g({\cal A})$ перестановочны, т.е. $ f({\cal A})g({\cal A})=g({\cal A})f({\cal A})$ , причем оператор $ f({\cal A})g({\cal A})$ совпадает с оператором $ (fg)({\cal A})$ . Если $ A$ матрица оператора $ {\cal A}$ , то $ f(A)$ матрица оператора $ f({\cal A})$ в том же базисе.

Теорема.[Гамильтон-Кэли] Всякий линейный оператор $ {\cal A}$ $ n$ -мерного векторного пространства $ V$ является корнем своего характеристического многочлена $ \chi_{\cal
A}(t)$ , т.е. $ \chi_{\cal
A}({\cal A})={\cal O}$ , где $ {\cal O}$ -- нулевой оператор.

Определение. Ненулевой многочлен $ \mu_{\cal A}(t)$ ($ \mu_A(t)$ ) называется минимальным многочленом оператора $ {\cal A}$ (матрицы $ A$ ), если $ 1)$ $ \mu_{\cal A}({\cal A})=0$ ( $ \mu_A(A)=0$ ); $ 2)$ многочлен $ \mu_{\cal A}(t)$ ($ \mu_A(t)$ ) имеет наименьшую степень среди всех многочленов со свойством $ 1)$ .

Пример. Рассмотрим линейный оператор $ {\cal A}{\colon}V\to V$ , где $ V$ -- $ 2$ -мерное линейное пространство, заданный в некотором базисе матрицей $ \left(\begin {array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1\end
{array}\right)$ . Тогда $ \chi_{\cal A}(t)=(t-1)^2$ и $ \mu(t)=t-1$ .

Теорема. Если $ f({\cal A})={\cal O}$ для некоторого многочлена $ f(t)$ и оператора $ {\cal A}$ , то $ f$ делится на минимальный многочлен $ \mu_{\cal A}(t)$ оператора $ {\cal A}$ .

Следствие. Минимальный многочлен оператор $ {\cal A}$ единственен (с точностью до скаляра).

Теорема. Если $ {\cal A}{\colon}V\to V$ линейный оператор $ n$ -мерного, $ n>0$ , вещественного пространства $ V$ , то для $ {\cal A}$ в $ V$ существует $ 1$ -мерное или $ 2$ -мерное инвариантное подпространство.