MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Жорданова нормальная форма линейного оператора и матрицы

Определение. Жордановой клеткой $ J_m(\lambda)$ порядка $ m$ называется матрица порядка $ m\times m$ вида

$\displaystyle J_m(\lambda)=\left(\begin {array}{cccccc}
\lambda & 0 & 0 & \dot...
...ts & \lambda & 0\\
0 & 0 & 0 & \dots & 1 & \lambda\\
\end {array}\right).
$

Жордановой матрицей называется матрица, состоящая из жордановых клеток.

Лемма. Для нильпотентного оператора $ {\cal B}{\colon}V\to V$ на $ n$ -мерном векторном пространстве $ V$ существует базис $ ({\mathbf
e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ , в котором матрица оператора жорданова (с нулями на главной диагонали).

Теорема. Если характеристический многочлен $ \chi_{\cal A}(t)$ линейного оператора $ {\cal A}{\colon}V\to V$ разлагается на линейные множители, то существует базис $ ({\mathbf
e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ пространства $ V$ , в котором матрица оператора жорданова (на диагонали стоят собственные значения оператора $ {\cal A}$ ).

Следствие. Для каждого комплексного оператора существует жорданов базис.

Обозначим через $ N(k,\lambda)$ количество жордановых клеток порядка $ k$ с $ \lambda$ на диагонали. Через $ {\operatorname{diag}}(A_1,\dots,A_s)$ , где $ A_i$ матрицы, будем обозначать матрицу $ A$ , вдоль диагонали которой идут матрицы $ A_i$ , а остальные нули.

Теорема. Если $ J'$ и $ J''$ -- жордановы матрицы оператора $ {\cal A}{\colon}V\to V$ в разных базисах, то для всякого $ \lambda$ и всякого $ k$ имеет место равенство $ N'(k,\lambda)=N''(k,\lambda)$ , т.е. матрицы $ J'$ и $ J''$ отличаются только порядком расположения жордановых клеток ``вдоль'' диагонали.

Следствие. Жорданова клетка не диагонализируема (иначе получили бы две разные жордановы формы).

Определение. Матрица $ A$ подобна матрице $ B$ , пишут $ A\sim B$ , если существует такая невырожденная матрица $ C$ , что $ B=C^{-1}AC$ .

Замечание. Отношение подобия $ \sim$ является отношением эквивалентности:

$ 1)$ рефлексивность: $ A\sim A$ ,

$ 2)$ симметричность: если $ A\sim B$ , то $ B\sim A$ ,

$ 3)$ транзитивность: если $ A\sim B$ и $ B\sim C$ , то $ A\sim C$ .

Определение. Жордановой формой квадратной матрицы $ A$ называется жорданова матрица, которая подобна $ A$ .

Теорема. $ 1)$ Каждая $ n\times n$ матрица над полем комплексных чисел $ {\Bbb C}$ обладает жордановой формой, причем единственной (с точностью до порядка жордановых клеток).

$ 2)$ Две $ n\times n$ матрицы над $ {\Bbb C}$ подобны тогда и только тогда, когда их жордановы формы совпадают (с точностью до порядка жордановых клеток).

Теорема. Линейный оператор $ {\cal A}{\colon}V\to V$ в комплексном $ n$ -мерном пространстве $ V$ диагонализируем тогда и только тогда, когда его минимальный многочлен не имеет кратных корней.