MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Квадратичные функции

Определение. Пусть $ V$ -- линейное пространство над полем $ F$ . Отображение $ q{\colon}V\to F$ называется квадратичной функцией, если существует такая билинейная функция $ f{\colon}V\times
V\to F$ , что $ q({\mathbf x})=f({\mathbf x},{\mathbf x})$ для любого вектора $ {\mathbf x}\in V$ .

Теорема. Если характеристика $ {\operatorname{char}} F$ поля $ F$ не равна $ 2$ , $ {\operatorname{char}} F\ne 2$ , то для всякой квадратичной функции $ q{\colon}V\to F$ на $ n$ -мерном пространстве $ V$ существует, причем единственная, симметрическая билинейная функция $ f{\colon}V\times
V\to F$ такая, что $ q({\mathbf x})=f({\mathbf x},{\mathbf x})$ для любого $ {\mathbf x}\in V$ .

Определение. Билинейная функция $ f{\colon}V\times
V\to F$ из теоремы называется полярной для квадратичной функции $ q{\colon}V\to F$ или поляризацией квадратичной функции $ q{\colon}V\to F$ .

Матрица квадратичной функции $ q{\colon}V\to F$ в некотором базисе пространства $ V$ -- это матрица полярной симметрической билинейной функции.

Ранг $ {\operatorname{rank}} q$ квадратичной функции $ q{\colon}V\to F$ -- это ранг ее матрицы в некотором базисе.

Пусть $ {\mathbf E}$ - базис в пространстве $ V$ , тогда $ q({\mathbf
x})=a_{ii}(x^i)^2+2\sum_{i<j}a_{ij}x^ix^j$ .

Определение. Пусть $ f{\colon}V\times
V\to F$ -- симметрическая билинейная функция. Базис $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ пространства $ V$ называется каноническим базисом для функции $ f$ , если $ f({\mathbf e}_i,{\mathbf e}_j)=0$ для любых $ i\ne j$ .

Замечание. В каноническом базисе матрица симметрической билинейной функции диагональна.

Теорема. Для всякой симметрической билинейной функции $ f{\colon}V\times
V\to F$ на $ n$ -мерном векторном пространстве $ V$ существует канонический базис.

Следствие. Для каждой квадратичной функции $ q{\colon}V\to F$ существует канонический базис (матрица функции в этом базисе диагональна).

Следствие. Для каждой квадратичной формы $ a_{ij}x^ix^j$ существует невырожденная замена переменных $ x^i=c^i_j\widetilde
x^j$ , $ i=1,\dots,n$ , приводящая квадратичную форму к каноническому виду $ \widetilde a_{ii}(\widetilde x^i)^2$ .

Следствие. Для квадратичной функции $ q{\colon}V\to{\Bbb R}$ на $ n$ -мерном вещественном пространстве $ V$ существует нормальный базис $ \widetilde{\mathbf E}$ , т.е. такой, что $ q({\mathbf
x})=(\widetilde x^1)^2+\ldots+(\widetilde x^k)^2-(\widetilde
x^{k+1})^2-\ldots-(\widetilde x^{k+l})^2$ , где $ k+l\leqslant n$ .

Пусть $ F={\Bbb C}$ . Тогда квадратичной функцией $ q{\colon}V\to{\Bbb C}$ мы будем называть такую функцию, для которой существует такая полуторалинейная функция $ f{\colon}V\times
V\to{\Bbb C}$ , что $ q({\mathbf x})=f({\mathbf x},{\mathbf x})$ .

Теорема. Всякая полуторалинейная функция $ f{\colon}V\times
V\to{\Bbb C}$ однозначно определяется своей квадратичной функцией $ q{\colon}V\to F$ .

Квадратичная функция $ q{\colon}V\to{\Bbb C}$ называется эрмитовой, если $ q({\mathbf x})=f({\mathbf x},{\mathbf x})$ , где $ f{\colon}V\times
V\to{\Bbb C}$ -- эрмитова функция. Тогда $ \overline{q({\mathbf x})}=\overline{f({\mathbf x},{\mathbf
x})}=f({\mathbf x},{\mathbf x})=q({\mathbf x})$ , т.е. $ q({\mathbf
x})$ -- вещественное число.

Теорема. Каждая эрмитова функция $ f{\colon}V\times
V\to{\Bbb C}$ имеет канонический базис.

Следствие. Каждая эрмитова квадратичная функция $ q{\colon}V\to{\Bbb C}$ имеет нормальный базис. Функция $ q$ в этом базисе имеет вид $ q({\mathbf x})=x^1\overline
x^1+\ldots+x^k\overline x^k-x^{k+1}\overline
x^{...
...vert^2+\ldots+\vert x^k\vert^2-\vert x^{k+1}\vert^2-\ldots-\vert x^{k+l}\vert^2$ .

Алгоритм Лагранжа. Пусть дана квадратичная форма $ q{\colon}V\to F$ , заданная в виде $ q({\mathbf x})=a_{ij}x^ix^j$ .

$ 1)$ Если $ a_{11}\ne0$ , то $ q({\mathbf
x})=a_{11}(x^1)^2+2a_{12}x^1x^2+\ldots+
2a_{1n}x^1x^n+r(x^2,\dots...
...{a_{12}}{a_{11}}x^2+\ldots+
\dfrac{a_{1n}}{a_{11}}x^n\Bigr)^2+s(x^2,\dots,x^n)$ . Делаем замену

\begin{displaymath}
\begin {array}{l} \widetilde
x^1=x^1+\dfrac{a_{12}}{a_{11}...
...e x^2=x^2,\\
\ldots\\
\widetilde x^n=x^n.
\end {array}
\end{displaymath}

Получаем $ q({\mathbf x})=a_{11}(\widetilde x^1)^2+s(\widetilde
x^2,\dots,\widetilde x^n)$ .

$ 2)$ Если $ a_{11}=0$ , а $ a_{ii}\ne0$ , то делаем замену с $ i$ -ой переменной.

$ 3)$ Если все $ a_{11}=\ldots=a_{nn}=0$ , то существует $ a_{ij}\ne0$ (иначе $ q\equiv0$ ). В этом случае делаем замену

\begin{displaymath}
\begin {array}{l}
x^i=\widetilde x^i+\widetilde x^j,\\
x...
...ilde x^j,\\
\widetilde x^k=x^k,\, k\ne i,j.
\end {array}
\end{displaymath}

Тогда $ 2a_{ij}x^ix^j=2a_{ij}\bigl((\widetilde x^i)^2+(\widetilde
x^j)^2\bigr)$ (здесь суммирования нет).

Определение. Симметрическая билинейная функция $ f{\colon}V\times V\to{\Bbb R}$ на вещественном пространстве $ V$ называется положительно определенной, если $ f({\mathbf
x},{\mathbf x})>0$ для любого ненулевого вектора $ {\mathbf
0}\ne{\mathbf x}\in V$ .

Квадратичная функция $ q{\colon}V\to{\Bbb R}$ над полем вещественных чисел $ {\Bbb R}$ называется положительно определенной, если $ q({\mathbf x})>0$ для любого ненулевого вектора $ {\mathbf
0}\ne{\mathbf x}\in V$ .

Замечание. Если мы привели форму $ q$ к нормальному виду $ q({\mathbf
x})=(x^1)^2+\ldots+(x^k)^2-(x^{k+1})^2-\ldots-(x^{k+l})^2$ , то для ее положительности надо чтобы $ k=n$ . Если $ k<n$ и $ l=0$ , то форма будет неотрицательно определенной (на векторе $ (0,\ldots,0,1)$ значение формы $ q$ равно нулю).

Лемма. Пусть $ q{\colon}V\to{\Bbb R}$ -- вещественная квадратичная функция на $ V$ , а $ U_1$ и $ U_2$ -- подпространства в $ V$ такие, что $ q\vert _{U_1}$ -- положительно определенная квадратичная функция на $ U_1$ , $ q\vert _{U_2}$ -- неположительно определенная квадратичная функция на $ U_2$ , т.е. $ q({\mathbf x})\leqslant0$ для любого вектора $ {\mathbf x}\in U_2$ . Тогда $ {\operatorname{dim}} U_1+{\operatorname{dim}} U_2\leqslant
{\operatorname{dim}} V$ .

Теорема.[Закон инерции] Если квадратичная функция $ q{\colon}V\to{\Bbb R}$ на $ n$ -мерном вещественном пространстве $ V$ в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ имеет нормальный вид $ q({\mathbf
x})=(x^1)^2+\ldots+(x^k)^2-(x^{k+1})^2-\ldots-(x^{k+l})^2$ , а в базисе $ (\widetilde{\mathbf e}_1,\dots,\widetilde{\mathbf e}_n)$ имеет нормальный вид $ q({\mathbf x})=(\widetilde
x^1)^2+\ldots+(\widetilde x^s)^2-(\widetilde
x^{s+1})^2-\ldots-(\widetilde x^{s+t})^2$ , то $ k=s$ и $ l=t$ , причем $ k+l={\operatorname{rank}} q$ .

Определение. Число $ k$ называется положительным индексом инерции квадратичной функции $ q{\colon}V\to{\Bbb R}$ . Число $ l$ называется отрицательным индексом инерции квадратичной функции $ q{\colon}V\to{\Bbb R}$ . Пара $ (k,l)$ или разность $ k-l$ называются сигнатурой квадратичной функции $ q{\colon}V\to{\Bbb R}$ .

Теорема.[Критерий Сильвестра] Пусть $ A=(a_{ij})_{n\times n}$ -- матрица квадратичной функции $ q{\colon}V\to{\Bbb R}$ в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ вещественного $ n$ -мерного пространства $ V$ . Квадратичная функция $ q$ является положительно определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры матрицы $ A$ положительны, т.е. $ \Delta_i>0$ , $ i=1,\dots,n$ , где

$\displaystyle \Delta_i=\left\vert\begin {array}{ccc}
a_{11}&\ldots&a_{1i}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{i1}&\ldots&a_{ii}
\end {array}\right\vert.
$