MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Матрица перехода

Координаты вектора $ {\mathbf x}$ в базисе $ {\mathbf E}=({\mathbf
e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ -- это коэффициенты разложения вектора $ {\mathbf x}$ по базису $ {\mathbf x}={\mathbf E}
X=x^i{\mathbf e}_i$ , где $ X=\left(\begin {array}{c} x^1 \\ \vdots \\
x^n\end {array}\right)$ .

Пусть даны два базиса $ {\mathbf E}=({\mathbf
e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ и $ {\mathbf E}'=({\mathbf e}'_1,\dots,{\mathbf e}'_n)$ , причем $ {\mathbf e}'_i=c^j_i{\mathbf e}_j$ , $ i=1,\dots,n$ , $ c^j_i\in
F$ .

Определение. Матрица

$\displaystyle C=\left(\begin {array}{ccc}
c^1_1 & \dots & c^1_n\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
c^n_1 & \dots & c^n_n
\end {array}\right),
$

$ j$ -ый столбец которой составлен из координат вектора $ {\mathbf
e}'_j$ в базисе $ {\mathbf E}$ , называется матрицей перехода от базиса $ {\mathbf E}$ к $ {\mathbf E}'$ . Имеем $ {\mathbf E}'={\mathbf
E} C$ .

Лемма. Пусть $ {\mathbf E}$ -- базис, а $ A$ и $ B$ -- матрицы размера $ n\times m$ над полем $ F$ , причем $ {\mathbf E} A={\mathbf E}
B$ . Тогда $ A=B$ .

Теорема. $ 1)$ Матрица перехода $ C$ от базиса $ {\mathbf E}$ к $ {\mathbf E}'$ невырождена.

$ 2)$ Для любого базиса $ {\mathbf E}$ и любой невырожденной квадратной матрицы $ C$ порядка $ n$ существует и при том единственный базис $ {\mathbf E}'$ с матрицей перехода $ C$ , т.е. $ {\mathbf E}'={\mathbf
E} C$ .

Теорема. Если $ C$ -- матрица перехода от базиса $ {\mathbf E}$ к $ {\mathbf E}'$ , то для любого вектора $ {\mathbf x}\in V$ справедливо равенство $ X=CX'$ , где $ X$ и $ X'$ -- столбцы координат вектора $ {\mathbf x}$ в базисах $ {\mathbf E}$ и $ {\mathbf E}'$ соответственно, т.е. $ {\mathbf x}={\mathbf E} X={\mathbf E}'X'$ .

Определение. Биекция $ f$ линейного пространства $ V$ над полем $ F$ на линейное пространство $ V'$ над полем $ F$ называется изоморфизмом линейных пространств, если $ f(\alpha{\mathbf
x}+\beta{\mathbf y})=\alpha f({\mathbf x})+\beta f({\mathbf y})$ для любых векторов $ {\mathbf x},\,{\mathbf y}\in V$ и $ \alpha,\,\beta\in
F$ .

Следствие. Справедливы равенства $ f({\mathbf 0})={\mathbf 0}$ , $ f(-{\mathbf x})=-f({\mathbf x})$ и $ f(\alpha^i{\mathbf
a}_i)=\alpha^if({\mathbf a}_i)$ . Если система $ ({\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_n)$ линейна независима, то система $ \bigl(f({\mathbf a}_1),\dots,f({\mathbf a}_n)\bigr)$ тоже линейна независима. Отображение $ f^{-1}{\colon}V'\to V$ -- изоморфизм.

Определение. Два линейных пространства называются изоморфными, если существует изоморфизм одного пространства на другое.

Теорема. Два конечномерных пространства над полем $ F$ изоморфны тогда и только тогда, когда $ {\operatorname{dim}}
V={\operatorname{dim}} V'$ .

Следствие. Любое $ n$ -мерное векторное пространство $ V$ изоморфно $ F^n$ . Отображение $ f{\colon}V\to F^n$ определено так: $ f(x^i{\mathbf e}_i)=(x^1,\dots,x^n)$ .