MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Основные понятия

Определение. Линейным пространством или векторным пространством $ V$ над полем $ F$ называется множество с двумя операциями:

-- сложение $ \lq\lq +''{\colon}V\times V\to V$ , где $ \lq\lq +''({\mathbf x},{\mathbf y})={\mathbf x}+{\mathbf y}$ ;

-- умножение на скаляр $ \lq\lq \cdot''{\colon}F\times V\to V$ , где $ \lq\lq \cdot''(\alpha,{\mathbf x})=\alpha{\mathbf x}$ ,
для которых выполнены условия:

$ 1)$ коммутативность сложения: $ {\mathbf x}+{\mathbf y}={\mathbf
y}+{\mathbf x}$ для любых $ {\mathbf x},{\mathbf y}\in V$ ,

$ 2)$ ассоциативность сложения: $ ({\mathbf x}+{\mathbf y})+{\mathbf
z}={\mathbf x}+({\mathbf y}+{\mathbf z})$ для любых $ {\mathbf
x},\,{\mathbf y},\,{\mathbf z}\in V$ ,

$ 3)$ существования нейтрального элемента $ {\mathbf 0}$ : $ {\mathbf
x}+{\mathbf 0}={\mathbf x}$ для любого $ {\mathbf x}\in V$ ,

$ 4)$ существования противоположного элемента $ -{\mathbf x}$ : $ {\mathbf x}+(-{\mathbf x})={\mathbf 0}$ для любого $ {\mathbf x}\in V$ ,

$ 5)$ $ \alpha(\beta{\mathbf x})=(\alpha\beta){\mathbf x}$ для любых $ \alpha,\beta\in F$ и $ {\mathbf x}\in V$ ,

$ 6)$ $ 1{\mathbf x}={\mathbf x}$ для любого $ {\mathbf x}\in V$ ,

$ 7)$ $ (\alpha+\beta){\mathbf x}=\alpha{\mathbf x}+\beta{\mathbf x}$ для любых $ \alpha,\beta\in F$ и $ {\mathbf x}\in V$ ,

$ 8)$ $ \alpha({\mathbf x}+{\mathbf y})=\alpha{\mathbf
x}+\alpha{\mathbf y}$ для любых $ {\mathbf x},{\mathbf y}\in V$ и $ \alpha\in F$ .

Следствие. $ 1)$ Нейтральный элемент единственен.

$ 2)$ Противоположный элемент единственен.

$ 3)$ $ 0{\mathbf x}={\mathbf 0}$ .

$ 4)$ $ \alpha{\mathbf 0}={\mathbf 0}$ .

$ 5)$ $ -\alpha{\mathbf x}=-(\alpha {\mathbf x})=\alpha(-{\mathbf
x})$ .

$ 6)$ $ \alpha{\mathbf x}={\mathbf 0}$ тогда и только тогда, когда $ \alpha=0$ или $ {\mathbf x}={\mathbf 0}$ .

Определение. Пусть дана система векторов $ ({\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_m)$ , где $ {\mathbf a}_i\in V$ . Линейная комбинация векторов системы -- это выражение вида $ \alpha_1{\mathbf a}_1+\ldots+\alpha_m{\mathbf a}_m$ , где $ \alpha_i\in F$ . Линейная комбинация $ \alpha_1{\mathbf a}_1+\ldots+\alpha_m{\mathbf a}_m$ называется тривиальной, если $ \alpha_1=\ldots=\alpha_m=0$ . Система векторов $ ({\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_m)$ называется линейно зависимой, если существует такая нетривиальная линейная комбинация $ \alpha_1{\mathbf a}_1+\ldots+\alpha_m{\mathbf a}_m$ , что $ \alpha_1{\mathbf
a}_1+\ldots+\alpha_m{\mathbf a}_m={\mathbf 0}$ . Система векторов $ ({\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_m)$ называется линейно независимой, если из равенства $ \alpha_1{\mathbf
a}_1+\ldots+\alpha_m{\mathbf a}_m={\mathbf 0}$ следует, что $ \alpha_1=\ldots=\alpha_m=0$ .

Утверждение.[Свойства линейной зависимости] $ 1)$ Система $ ({\mathbf a})$ , состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда $ {\mathbf a}={\mathbf 0}$ .

$ 2)$ Если $ m>1$ , то система $ ({\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_m)$ линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через остальные.

$ 3)$ Если подсистема $ ({\mathbf a}_{i_1},\dots,{\mathbf a}_{i_k})$ системы $ ({\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_m)$ линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

$ 4)$ Система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

$ 5)$ Если система $ ({\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_m)$ линейно независима, а система $ ({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf a}_m,{\mathbf
b})$ линейно зависима, то вектор $ {\mathbf b}$ линейно выражается через вектора $ {\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf a}_m$ .

Лемма.[Основная лемма о линейной зависимости и независимости системы] Пусть система векторов $ ({\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_m)$ линейно независима, а каждый ее вектор линейно выражается через векторы системы $ ({\mathbf b}_1,\dots,{\mathbf b}_k)$ . Тогда $ m\leqslant k$ .

Определение. Система $ ({\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_m)$ называется максимальной линейно независимой системой в линейном пространстве $ V$ , если любое расширение $ ({\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_m,{\mathbf a})$ этой системы линейно зависимо.

Следствие. Если $ ({\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_m)$ и $ ({\mathbf b}_1,\dots,{\mathbf b}_k)$ две максимальные линейно независимые системы в $ V$ , то $ m=k$ .

Определение. Пространство $ V$ называется $ n$ -мерным ( $ {\operatorname{dim}} V=n$ ), если в $ V$ есть максимальная линейно независимая система, состоящая из $ n$ векторов. Если такой подсистемы нет ни для какого $ n\leqslant 0$ , то $ {\operatorname{dim}} V=\infty$ . Если $ V=\{{\mathbf 0}\}$ , то по определению $ {\operatorname{dim}} V=0$

Определение. Система векторов $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf
e}_n)$ называется базисом линейного пространства $ V$ , если каждый вектор $ x\in V$ единственным образом записывается в виде линейной комбинации $ x=x^i{\mathbf e}_i$ , $ x^i\in F$ .

Предложение. Система векторов $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf
e}_n)$ является базисом в пространстве $ V$ тогда и только тогда, когда $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf
e}_n)$ является максимальной линейно независимой системой в $ V$ .

Предложение. Пусть $ V$ -- $ n$ -мерное векторное пространство, $ n<\infty$ . Тогда в $ V$ существует хотя бы один базис. Более того, каждая линейно независимая система $ ({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf
a}_k)$ может быть дополнена до некоторого базиса $ ({\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_k,{\mathbf a}_{k+1},\dots,{\mathbf a}_n)$ .

Предложение. Система $ ({\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_m)$ является базисом в $ n$ -мерном векторном пространстве $ V$ тогда и только тогда, когда эта система линейно независима и $ m=n$ .

Предложение. Система $ ({\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_m)$ является базисом в $ n$ -мерном векторном пространстве $ V$ тогда и только тогда, когда $ m=n$ и каждый вектор $ x\in V$ линейно выражается через эти векторы.

Рассмотрим арифметическое пространство $ F^n$ , состоящее из множества строк $ (a_1,\dots,a_n)$ , $ a_i\in F$ . Вектора $ {\mathbf
e}_i=(0,\dots,0,1,0,\dots,0)$ (на $ i$ месте стоит $ 1$ ) -- образуют базис.

Следствие. В пространстве $ F^n$ система $ {\mathbf
a}_i=(a^1_i,\dots,a^n_i)$ , $ i=1,\dots,n$ , является базисом тогда и только тогда, когда

$\displaystyle \left\vert\begin {array}{ccc}
a^1_1 & \dots & a^n_1\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a^1_n & \dots & a^n_n
\end {array}\right\vert\ne0.
$