MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Линейные операторы в евклидовом и унитарном пространствах

Теорема. Пусть $ {\cal A}{\colon}E\to E$ -- линейный оператор в евклидовом (унитарном) пространстве. Сопоставим ему билинейную (полуторалинейную) функцию $ f_{\cal A}{\colon}E\times E\to{\Bbb
R}({\Bbb C})$ , $ f_{\cal A}({\mathbf x},{\mathbf y})=\bigl({\mathbf
x},{\cal A}({\mathbf y})\bigr)$ . Это соответствие является биекцией между операторами и билинейными (полуторалинейными) функциями.

Рассмотрим билинейную (полуторалинейную) функцию $ g_{\cal
A}{\colon}E\times E\to{\Bbb R}({\Bbb C})$ , заданную формулой $ g_{\cal A}({\mathbf x},{\mathbf y})=\bigl({\cal A}({\mathbf
x}),{\mathbf y}\bigr)$ . Тогда матрица для функции $ g_{\cal A}$ в ортонормированном базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ -- это матрица $ g_{\cal A}({\mathbf e}_i,{\mathbf e}_j)=a^j_i$ , т.е. $ A^\top$ . Будем говорить, что функция $ g_{\cal A}$ определяет сопряженный оператор $ {\cal A}^*{\colon}E\to E$ . Более подробно

Определение. Сопряженным оператором к оператору $ {\cal A}{\colon}E\to E$ называется такой оператор $ {\cal A}^*{\colon}E\to E$ , который удовлетворяет равенству $ \bigl({\cal A}({\mathbf
x}),{\mathbf y}\bigr)=\bigl({\mathbf x},{\cal A}^*({\mathbf
y})\bigr)$ .

Определение. Оператор $ {\cal A}{\colon}E\to E$ называется самосопряженным или симметричным (эрмитовым), если $ {\cal A}^*={\cal A}$ , т.е. $ \bigl({\cal A}({\mathbf x}),{\mathbf
y}\bigr)=\bigl({\mathbf x},{\cal A}({\mathbf y})\bigr)$ . Оператор $ {\cal A}{\colon}E\to E$ называется кососимметричным ( косоэрмитовым), если $ {\cal A}^*=-{\cal A}$ , т.е. $ \bigl({\cal
A}({\mathbf x}),{\mathbf y}\bigr)=-\bigl({\mathbf x},{\cal
A}({\mathbf y})\bigr)$ . Оператор $ {\cal A}{\colon}E\to E$ называется ортогональным (унитарным для $ {\Bbb C}$ ), если $ \bigl({\cal A}({\mathbf x}),{\cal A}({\mathbf y})\bigr)=({\mathbf
x},{\mathbf y})$ .

Теорема. Пусть $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ -- ортонормальный базис в евклидовом (унитарном) пространстве $ E$ , и $ {\cal A}{\colon}E\to E$ -- линейный оператор. Оператор $ {\cal A}$ является самосопряженным (эрмитовым) тогда и только тогда, когда его матрица $ A$ в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ симметрична $ A=A^\top$ (эрмитова $ \overline A=A^\top$ ).

Теорема. Пусть $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ -- ортонормальный базис в евклидовом (унитарном) пространстве $ E$ , и $ {\cal A}{\colon}E\to E$ -- линейный оператор. Оператор $ {\cal A}$ является кососимметричным (косоэрмитовым) тогда и только тогда, когда его матрица $ A$ в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ кососимметрична $ -A=A^\top$ (косоэрмитова $ \overline
A=-A^\top$ ).

Лемма. Если $ U$ -- инвариантное подпространство для самосопряженного оператора $ {\cal A}{\colon}E\to E$ в евклидовом (унитарном) пространстве, то $ U^\perp$ тоже инвариантно относительно $ {\cal A}$ .

Лемма. Пусть $ {\cal A}{\colon}E\to E$ -- самосопряженный оператор на $ 2$ -мерном евклидовом пространстве. Тогда для $ {\cal A}$ существует собственный вектор.

Теорема. Для всякого самосопряженного оператора $ {\cal A}{\colon}E\to E$ в $ n$ -мерном евклидовом (унитарном) пространстве $ E$ существует ортонормальный базис, состоящий из собственных векторов оператора $ {\cal A}$ , т.е. в таком базисе матрица оператора диагональна. Матрица $ A$ оператора $ {\cal A}$ одна и та же во всех таких канонических базисах, с точностью до перестановки диагональных элементов. Верно и обратно.

Замечание. В унитарном пространстве $ E$ все собственные числа для самосопряженного оператора $ {\cal A}{\colon}E\to E$ вещественны, $ \lambda({\mathbf x},{\mathbf x})=\bigl({\cal A}({\mathbf
x}),{\mathbf x}\bigr...
...thbf x},{\cal A}({\mathbf
x})\bigr)=\overline\lambda ({\mathbf x},{\mathbf x})$ .

Если $ {\mathbf x},\,{\mathbf y}\in E$ ($ E$ -- евклидово или унитарное пространство) -- собственные векторы с разными собственными значениями $ \lambda,\,\mu$ для самосопряженного оператора $ {\cal A}{\colon}E\to E$ , то $ ({\mathbf x},{\mathbf y})=0$ , так как $ \lambda({\mathbf
x},{\mathbf y})=\bigl({\cal A}({\mathbf x}),{\mathbf y}\bigr)=
\bigl({\mathbf x},{\cal A}({\mathbf y})\bigr)=\mu({\mathbf
x},{\mathbf y})$ .

Следствие. Для всякой (эрмитовой) квадратичной функции $ q{\colon}E\to{\Bbb R}({\Bbb C})$ в $ n$ -мерном евклидовом (унитарном) пространстве $ E$ существует ортонормальный базис, в котором $ q({\mathbf x})=\lambda_1(x^1)^2+\ldots+\lambda_n(x^n)^2$ ( $ q({\mathbf x})=\lambda_1\vert x^1\vert^2+\ldots+\lambda_n\vert x^n\vert^2$ ). При этом, система $ (\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ не зависит от выбора базиса, с точностью до перестановок.

Пусть $ {\cal A}{\colon}E\to E$ -- ортогональный (унитарный) оператор в евклидовом (унитарном) пространстве $ E$ . Тогда $ \vert{\cal
A}({\mathbf x})\vert^2=\bigl({\cal A}({\mathbf x}),{\cal A}({\mathbf
x})\bigr)=({\mathbf x},{\mathbf x})=\vert{\mathbf x}\vert^2$ , т.е. $ \vert{\cal
A}({\mathbf x})\vert=\vert{\mathbf x}\vert$ . Если $ \lambda$ -- собственное значения, то $ \vert\lambda\vert=1$ , так как $ {\cal A}({\mathbf x})=\lambda{\mathbf x}$ .

Лемма. Ортогональный (унитарный) оператор невырожден.

Теорема.Следующие свойства линейного оператора $ {\cal A}{\colon}E\to E$ в $ n$ -мерном евклидовом (унитарном) пространстве равносильны.

$ 1)$ $ {\cal A}$ -- ортогональный (унитарный) оператор.

$ 2)$ В любом ортонормальном базисе матрица $ A$ оператора $ {\cal A}$ ортогональна (унитарна, т.е. $ \overline AA^\top=E$ ).

$ 3)$ В некотором ортонормальном базисе матрица $ A$ оператора $ {\cal A}$ ортогональна (унитарна).

$ 4)$ Оператор $ {\cal A}$ переводит любой ортонормальный базис в ортонормальный базис.

$ 5)$ Оператор $ {\cal A}$ переводит некоторый ортонормальный базис в ортонормальный базис.

Лемма. Если $ {\cal A}{\colon}E\to E$ -- ортогональный (унитарный) оператор в евклидовом (унитарном) пространстве, и $ U$ -- инвариантное для $ {\cal A}$ подпространство в $ E$ , то ортогональное дополнение $ U^\perp$ также является инвариантным подпространством для $ {\cal A}$ .

Лемма. Пусть $ {\cal A}{\colon}E\to E$ -- ортогональный оператор без собственных векторов в $ 2$ -мерном евклидовом пространстве. Тогда в ортонормальном базисе его матрица $ A$ имеет вид $ \left(\begin {array}{cc} \cos\varphi&-\sin\varphi\\
\sin\varphi&\cos\varphi\end {array}\right)$ .

Теорема. Для всякого ортогонального (унитарного) оператора $ {\cal A}{\colon}E\to E$ в $ n$ -мерном евклидовом (унитарном) пространстве существует ортонормальный базис $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ , в котором матрица оператора имеет вид:

$\displaystyle A=\left(\begin {array}{ccccccccccccc}
1&0&\ldots&0& 0&0&\ldots&0...
...& 0&0&\ldots&0& 0&0&\ldots&
\sin\varphi_k&\cos\varphi_k
\end {array}\right)
$

для евклидова случая и $ A={\operatorname{diag}}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ , где $ \vert\lambda_i\vert=1$ , для унитарного пространства.

Определение. Пусть $ {\cal A}{\colon}E\to E$ -- самосопряженный оператор в $ n$ -мерном евклидовом пространстве. Он определяет билинейную функцию $ f_{\cal A}{\colon}E\times E\to{\Bbb
R}$ , заданную формулой $ f_{\cal A}({\mathbf x},{\mathbf y})=\bigl({\mathbf
x},{\cal A}({\mathbf y})\bigr)$ . Оператор $ {\cal A}$ называется положительно определенным, если $ f({\mathbf
x},{\mathbf y})$ -- положительно определенная симметрическая функция, т.е. $ \bigl({\mathbf x},{\cal A}({\mathbf x})\bigr)>0$ для любого вектора $ {\mathbf 0}\ne{\mathbf x}\in E$ .

Лемма. Для всякого невырожденного оператора $ {\cal A}{\colon}E\to E$ в $ n$ -мерном евклидовом пространстве $ E$ произведение $ {\cal A}^*{\cal A}$ является положительно определенным самосопряженным оператором.

Лемма. Самосопряженный оператор $ {\cal A}{\colon}E\to E$ в $ n$ -мерном евклидовом пространстве $ E$ является положительно определенным тогда и только тогда, когда все собственные значения для $ {\cal A}$ положительны.

Лемма. Для всякого невырожденного положительно определенного самосопряженного оператора $ {\cal A}{\colon}E\to E$ в $ n$ -мерном евклидовом пространстве $ E$ существует такой невырожденный положительно определенный самосопряженный оператор $ {\cal
C}{\colon}E\to E$ , что $ {\cal C}^2={\cal A}$ .

Теорема.[о полярном разложении] Всякий невырожденный линейный оператор $ {\cal A}{\colon}E\to E$ в $ n$ -мерном евклидовом пространстве $ E$ может быть разложен в произведение $ {\cal A}={\cal
B}{\cal C}$ , где $ {\cal B}{\colon}E\to E$ -- ортогональный оператор, а $ {\cal
C}{\colon}E\to E$ -- самосопряженный положительно определенный оператор.