MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Линейные отображения и операторы

Определение. Пусть $ V$ и $ W$ -- два линейных пространства над полем $ F$ . Отображение $ {\cal A}{\colon}V\to W$ называется линейным, если $ {\cal A}(\alpha{\mathbf x}+\beta{\mathbf
y})=\alpha{\cal A}({\mathbf x})+\beta{\cal A}({\mathbf y})$ для любых $ {\mathbf x},\,{\mathbf y}\in V$ и $ \alpha,\,\beta\in F$ .

Замечание. Если $ W=F$ , то получим определение линейной функции.

Если $ W=V$ , то линейное отображение $ {\cal A}$ называется линейным оператором.

Пример.

$ 1)$ Нулевой оператор: $ {\cal A}({\mathbf x})={\mathbf 0}$ для любого $ {\mathbf x}\in V$ .

$ 2)$ Тождественный оператор: $ {\cal A}({\mathbf x})={\mathbf x}$ для любого $ {\mathbf x}\in V$ .

$ 3)$ Пусть $ \lambda\in F$ . Положим $ {\cal A}({\mathbf
x})=\lambda{\mathbf x}$ . Тогда $ {\cal A}$ -- линейный оператор.

$ 4)$ Определим $ {\cal A}{\colon}F^m\to F^n$ формулой $ {\cal
A}(x_1,\dots,x_m)=(x_1,\dots,x_m,0,\dots,0)$ при $ m\leqslant n$ и $ {\cal A}(x_1,\dots,x_m)=(x_1,\dots,x_n)$ при $ m>n$ .

$ 5)$ Пусть $ V$ -- пространство вещественных многочленов. Определим $ {\cal A}{\colon}V\to V$ формулой $ {\cal A}(f)=f'$ .

$ 6)$ Пусть $ V=V_1\oplus V_2$ . Определим $ {\cal A}{\colon}V\to V_1$ формулой $ {\cal A}({\mathbf v})={\mathbf v}_1$ , где $ {\mathbf
v}={\mathbf v}_1+{\mathbf v}_2$ .

Определение. Ядром $ {\operatorname{Ker}}{\cal A}$ линейного отображения $ {\cal A}{\colon}V\to W$ называется множество $ {\operatorname{Ker}}{\cal A}=\{{\mathbf v}\in V\vert{\cal A}({\mathbf
v})={\mathbf 0}\}$ .

Образом $ {\operatorname{Im}}{\cal A}$ линейного отображения $ {\cal A}{\colon}V\to W$ называется множество $ {\operatorname{Im}}{\cal A}=\{{\cal A}({\mathbf v})\vert{\mathbf v}\in
V\}=\{{\mathbf y}\in W\vert\,$существует  такой$ \,{\mathbf x}\in
V,\,$что$ \,{\mathbf y}={\cal A}({\mathbf x})\}$ .

Утверждение. Ядро $ {\operatorname{Ker}}{\cal A}$ и образ $ {\operatorname{Im}}{\cal A}$ являются подпространствами в $ V$ .

Теорема. Пусть $ {\cal A}{\colon}V\to W$ -- линейное отображение конечномерного пространства $ V$ в пространство $ W$ . Тогда $ {\operatorname{dim}}{\operatorname{Ker}}{\cal
A}+{\operatorname{dim}}{\operatorname{Im}}{\cal
A}={\operatorname{dim}} V$ .

Теорема. Пусть $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ -- базис пространства $ V$ над полем $ F$ . Тогда для любых векторов $ {\mathbf
f}_i\in W$ , $ i=1,\dots,n$ , линейного пространства $ W$ над $ F$ существует, причем единственное, линейное отображение $ {\cal A}$ со свойством $ {\cal A}({\mathbf e}_i)={\mathbf f}_i$ .

Определение. Матрицей $ A$ линейного оператора $ {\cal A}{\colon}V\to V$ в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ линейного пространства называется квадратная матрица $ A=(a^i_j)_{n\times n}$ порядка $ n$ , столбцы которой составлены из координат образов $ {\cal A}({\mathbf e}_i)$ базисных векторов $ {\mathbf e}_i$ в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ , т.е.

$\displaystyle \bigl({\cal A}({\mathbf e}_1),\dots,{\cal A}({\mathbf
e}_n)\bigr)=({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)A.
$

Следствие. Пусть $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ -- базис пространства $ V$ . Тогда для любой квадратной матрицы порядка $ n$ существует, причем единственный, линейный оператор $ {\cal A}$ с матрицей $ A$ в этом базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ .

Теорема. Пусть $ A$ -- матрица линейного оператора $ {\cal A}{\colon}V\to V$ в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ . Тогда для любого вектора $ {\mathbf x}\in V$ столбец координат $ Y$ его образа $ {\mathbf y}={\cal A}({\mathbf x})$ в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ находится по формуле $ Y=AX$ , где $ X$ -- столбец координат вектора $ {\mathbf x}$ .

Лемма. Пусть $ A$ и $ B$ -- матрицы размера $ m\times n$ . Если для любого столбца $ X$ высоты $ n$ справедливо равенство $ AX=BX$ , то $ A=B$ .

Теорема. Пусть $ A$ и $ A'$ -- матрицы линейного оператора $ {\cal A}{\colon}V\to V$ в базисах $ {\mathbf E}$ и $ {\mathbf E}'$ соответственно. Тогда $ A'=C^{-1}AC$ , где $ C$ -- матрица перехода от базиса $ {\mathbf E}$ к $ {\mathbf E}'$ .

Определение. Определителем $ \det{\cal A}$ линейного оператора $ {\cal A}$ называется определитель матрицы оператора в каком-то базисе. Оператор называется вырожденным, если $ \det{\cal A}=0$ .

Лемма. Определитель $ \det{\cal A}$ оператора $ {\cal A}$ не зависит от выбора базиса.

Определение. Рангом $ {\operatorname{rank}}{\cal A}$ линейного оператора $ {\cal A}$ называется ранг $ {\operatorname{rank}} A$ его матрицы в каком-то базисе.

Замечание. $ {\operatorname{dim}}{\operatorname{Im}}{\cal
A}={\operatorname{dim}}{\operato...
...athbf
e}_1),\dots,{\cal A}({\mathbf e}_n)\bigr)={\operatorname{rank}}{\cal
A}$ .

Лемма. При умножении матрицы $ A$ справа или слева на невырожденную матрицу ранг $ {\operatorname{rank}} A$ матрицы $ A$ не меняется.

Из этой леммы получаем

Теорема. Ранг $ {\operatorname{rank}}{\cal A}$ оператора $ {\cal A}$ не зависит от выбора базиса.

Лемма. Пусть $ {\cal A}{\colon}V\to V$ и $ {\cal B}{\colon}V\to
V$ -- два линейных оператора. Тогда отображение

$ 1)$ $ {\cal A}{\cal B}{\colon}V\to V$ , определенное по формуле $ {\cal A}{\cal B}({\mathbf x})={\cal A}({\cal B}({\mathbf x}))$ для любого вектора $ {\mathbf x}\in V$ , является линейным оператором;

$ 2)$ $ {\cal A}+{\cal B}{\colon}V\to V$ , определенное по формуле $ ({\cal A}+{\cal B})({\mathbf x})={\cal A}({\mathbf x})+{\cal
B}({\mathbf x})$ для любого вектора $ {\mathbf x}\in V$ , является линейным оператором;

$ 3)$ $ \lambda{\cal A}{\colon}V\to V$ , $ \lambda\in F$ , определенное по формуле $ (\lambda{\cal A})({\mathbf x})=\lambda{\cal A}({\mathbf
x})$ для любого вектора $ {\mathbf x}\in V$ , является линейным оператором.

Верно равенство $ \lambda({\cal A}{\cal B})=(\lambda{\cal A}){\cal
B}={\cal A}(\lambda{\cal B})$ .

Теорема. Пусть $ {\cal A}{\colon}V\to V$ и $ {\cal B}{\colon}V\to
V$ -- два линейных оператора c матрицами $ A$ и $ B$ соответственно в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ . Тогда

$ 1)$ матрицей оператора $ {\cal A}{\cal B}{\colon}V\to V$ в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ является матрица $ AB$ ;

$ 2)$ матрицей оператора $ {\cal A}+{\cal B}{\colon}V\to V$ в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ является матрица $ A+B$ ;

$ 3)$ матрицей оператора $ \lambda{\cal A}{\colon}V\to V$ , $ \lambda\in F$ , в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ является матрица $ \lambda A$ .

Определение. Оператор $ {\cal B}{\colon}V\to
V$ является обратным для $ {\cal A}{\colon}V\to V$ , если $ {\cal A}{\cal B}={\cal
B}{\cal A}={\cal E}$ , где $ {\cal E}$ -- тождественный оператор.

Определение. Оператор называется невырожденным, если его матрица в некотором базисе невырождена.

Теорема. Следующие свойства линейного оператора $ {\cal A}{\colon}V\to V$ на $ n$ -мерном линейном пространстве равносильны.

$ 1)$ Оператор $ {\cal A}$ невырожден.

$ 2)$ Оператор $ {\cal A}$ обратим.

$ 3)$ Для всякого базиса $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ в $ V$ образы $ {\cal A}({\mathbf e}_1),\dots,{\cal A}({\mathbf e}_n)$ составляют базис в $ V$ .

$ 4)$ Для некоторого базиса $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ в $ V$ образы $ {\cal A}({\mathbf e}_1),\dots,{\cal A}({\mathbf e}_n)$ составляют базис в $ V$ .

$ 5)$ Оператор $ {\cal A}$ сюръективен.

$ 6)$ Ядро $ {\operatorname{Ker}}{\cal A}$ тривиально, т.е. $ {\operatorname{Ker}}{\cal A}=\{{\mathbf 0}\}$ .

$ 7)$ Оператор $ {\cal A}$ инъективен.