MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Корневые подпространства линейных операторов и нильпотентные

Определение. Пусть $ {\cal A}{\colon}V\to V$ -- линейный оператор конечномерного пространства $ V$ , $ \lambda$ -- его собственное значение. Вектор $ {\mathbf x}$ называется корневым вектором оператора $ {\cal A}$ , если $ ({\cal A}-\lambda{\cal
E})^k{\mathbf x}={\mathbf 0}$ для некоторого $ k\geqslant 0$ . Минимальный показатель $ k$ для данного вектора $ {\mathbf x}$ называется высотой вектора $ {\mathbf x}$ .

Теорема. Множество $ V(\lambda)$ всех корневых векторов линейного оператора $ {\cal A}{\colon}V\to V$ , отвечающих собственному значению $ \lambda$ , является подпространством в $ V$ , которое инвариантно относительно $ {\cal A}$ .

Лемма. Пусть $ f_i(t)$ , $ i=1,\dots,m$ , -- такие многочлены, что $ \bigl(f_1(t),\dots,f_m(t)\bigr)=1$ (их наибольший общий делитель равен $ 1$ ). Пусть $ {\cal A}{\colon}V\to V$ -- линейный оператор в $ n$ -мерном векторном пространстве $ V$ , $ {\cal
A}_i=f_i({\cal A})$ , $ V_i={\operatorname{Im}}{\cal A}_i$ , $ i=1,\dots,m$ . Тогда $ V=V_1+\ldots+V_m$ .

Теорема. Если характеристический многочлен $ \chi_{\cal A}(t)$ линейного оператора $ {\cal A}$ разлагается на линейные множители, т.е. $ \chi_{\cal
A}(t)=\pm(t-\lambda_1)^{l_1}\dots(t-\lambda_m)^{l_m}$ , то $ V=V(\lambda_1)\oplus\ldots\oplus V(\lambda_m)$ .

Определение. Оператор $ {\cal B}{\colon}V\to V$ называется нильпотентным, если $ {\cal B}^k={\cal O}$ для некоторого $ k\geqslant 1$ .

Теорема. Пусть $ V(\lambda)$ -- корневое подпространство оператора $ {\cal A}{\colon}V\to V$ . Рассмотрим оператор $ {\cal
B}{\colon}V(\lambda)\to V(\lambda)$ , заданный по формуле $ {\cal
B}=({\cal A}-\lambda{\cal E})\vert _{V(\lambda)}$ . Тогда

$ 1)$ для всякого корневого вектора $ {\mathbf x}\in V(\lambda)$ высоты $ k$ оператора $ {\cal A}$ векторы $ \bigl({\mathbf x},({\cal
A}-\lambda{\cal E})({\mathbf x}),\dots,({\cal A}-\la...
...bigl({\mathbf x},{\cal B}({\mathbf
x}),\dots,{\cal B}^{k-1}({\mathbf x})\bigr)$ линейно независимы;

$ 2)$ оператор $ {\cal B}$ является нильпотентным.

Определение. Пусть $ {\cal B}{\colon}V\to V$ -- нильпотентный оператор на линейном пространстве $ V$ и $ {\mathbf a}\in V$ . Циклическим подпространством оператора $ {\cal B}$ , порожденным вектором $ a$ , называется подпространство $ {\operatorname{Lin}}\bigl({\mathbf a},{\cal B}({\mathbf a}),{\cal
B}^2({\mathbf a}),\dots\bigr)$ .

Замечание. Подпространство $ {\operatorname{Lin}}\bigl({\mathbf a},{\cal B}({\mathbf a}),{\cal
B}^2({\mathbf a}),\dots\bigr)$ инвариантно относительно $ {\cal B}$ , так как $ {\cal
B}\bigl(\alpha_i{\cal B}^i({\mathbf a})\bigr)=\alpha_i{\cal
B}^{i+1}({...
...n}}\bigl({\mathbf a},{\cal
B}({\mathbf a}),{\cal B}^2({\mathbf a}),\dots\bigr)$ .

Теорема. Если $ V$ -- циклическое пространство для нильпотентного оператора $ {\cal B}{\colon}V\to V$ , то в некотором базисе оператор $ {\cal B}$ имеет матрицу

$\displaystyle B=\left(\begin {array}{cccccc}
0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0\\
1 &...
... 0 & 0 & \dots & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 0\\
\end {array}\right).
$

Теорема. Если $ {\cal B}{\colon}V\to V$ -- нильпотентный оператор на $ n$ -мерном пространстве $ V$ , то пространство $ V$ разлагается в прямую сумму нескольких циклических подпространств для оператора $ {\cal B}$ .