MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Подпространства линейного пространства

Определение. Непустое подмножество $ U$ линейного пространства $ V$ называется подпространством, если $ \alpha{\mathbf
x}+\beta{\mathbf y}\in U$ для любых векторов $ {\mathbf x},\,{\mathbf
y}\in V$ и $ \alpha,\,\beta\in F$ .

Замечание. В любом пространстве содержится нулевое подпространство $ {\langle}{\mathbf 0}{\rangle}$ (самое маленькое). Пространство $ V$ самое большое. Если $ {\mathbf x}\in U$ , то $ -{\mathbf x}\in U$ и $ {\mathbf 0}\in U$ . Если $ {\mathbf a}_i\in U$ и $ \alpha^i\in F$ , то $ \alpha^i{\mathbf a}_i\in U$ .

Теорема. Пусть $ U_1$ и $ U_2$ подпространства конечномерного пространства $ V$ , причем $ U_1\subset U_2$ . Тогда $ {\operatorname{dim}} U_1\leqslant{\operatorname{dim}} U_2$ и из равенства размерностей следует равенство подпространств $ U_1=U_2$ .

Определение. Пусть $ {\mathbf a}_i\in V$ , $ i=1,\dots,m$ . Линейной оболочкой $ {\operatorname{Lin}}({\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_m)$ системы $ ({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf
a}_m)$ называется множество значений всевозможных линейных комбинаций $ \alpha^i{\mathbf a}_i$ , где $ \alpha_i\in F$ . Линейная оболочка пустого множества -- это нулевое подпространство.

Теорема. $ 1)$ Линейная оболочка $ {\operatorname{Lin}}({\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_m)$ является подпространством пространства $ V$ .

$ 2)$ Всякое подпространство $ U$ конечномерного линейного пространства $ V$ является линейной оболочкой некоторой системы $ ({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf
a}_m)$ , $ m\leqslant{\operatorname{dim}} V=n$ .

Определение. Две системы векторов $ ({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf
a}_m)$ и $ ({\mathbf b}_1,\dots,{\mathbf b}_l)$ называются эквивалентными, если каждый вектор второй системы линейно выражается через вектора первой системы и наоборот.

Определение. Рангом $ {\operatorname{rank}}({\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_m)$ системы $ ({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf
a}_m)$ называется число векторов максимальной линейно независимой подсистемы.

Теорема. $ 1)$ Если две системы $ ({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf
a}_m)$ и $ ({\mathbf b}_1,\dots,{\mathbf b}_l)$ эквивалентны, то $ {\operatorname{Lin}}({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf
a}_m)={\operatorname{Lin}}({\mathbf b}_1,\dots,{\mathbf b}_l)$ .

$ 2)$ $ {\operatorname{dim}}{\operatorname{Lin}}({\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_m)={\operatorname{rank}}({\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_m)$ .

$ 3)$ Если $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ -- базис в пространстве $ V$ , то $ {\operatorname{rank}}({\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_m)$ равен рангу матрицы, столбцами которой являются столбцы координат векторов $ ({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf
a}_m)$ в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ .

Пусть $ V_i\subset V$ , $ 1\leqslant i\leqslant m$ , -- подпространства линейного пространства $ V$ . Тогда их пересечение $ V_1\cap
V_2\cap\dots\cap V_m$ является подпространством в $ V$ . Действительно, оно непусто (есть нулевой элемент); если $ {\mathbf
x},\,{\mathbf y}\in V_1\cap V_2\cap\dots\cap V_m$ , то $ {\mathbf
x},\,{\mathbf y}\in V_i$ для любого $ i$ , и, следовательно, при любых $ \alpha,\,\beta\in F$ имеем $ \alpha{\mathbf x}+\beta{\mathbf y}\in
V_i$ , т.е. $ \alpha{\mathbf x}+\beta{\mathbf y}\in V_1\cap
V_2\cap\dots\cap V_m$ .

Рассмотрим множество $ W=V_1+\ldots+V_m=\{{\mathbf
v}_1+\ldots+{\mathbf v}_m\,\vert\,{\mathbf v}_i\in V_i\}$ . Множество $ W$ является подпространство в $ V$ . Действительно, оно непусто (есть нулевой элемент); если $ {\mathbf x},\,{\mathbf y}\in W$ , то $ {\mathbf x}={\mathbf v}_1+\ldots+{\mathbf v}_m,\,{\mathbf
y}={\mathbf v}'_1+\ldots+{\mathbf v}'_m$ , и, следовательно, при любых $ \alpha,\,\beta\in F$ имеем $ \alpha{\mathbf x}+\beta{\mathbf
y}=(\alpha{\mathbf v}_1+\beta{\mathbf v}'_1)+\ldots+(\alpha{\mathbf
v}_m+\beta{\mathbf v}'_m)\in W$ .

Теорема. Пусть $ V_1$ и $ V_2$ -- подпространства конечномерного пространства $ V$ . Тогда $ {\operatorname{dim}}(V_1+V_2)+{\operatorname{dim}}(V_1\cap
V_2)={\operatorname{dim}} V_1+{\operatorname{dim}} V_2$ .

Определение. Линейное пространство $ V$ является прямой суммой своих подпространств $ V_1,\dots,V_m$ , если каждый вектор $ {\mathbf v}\in V$ допускает, причем единственное, разложение в сумму $ {\mathbf v}={\mathbf v}_1+\ldots+{\mathbf v}_m$ , где $ {\mathbf v}_i\in V_i$ . Вектора $ {\mathbf v}_i$ называются проекциями вектора $ {\mathbf v}$ на подпространство $ V_i$ вдоль подпространств $ V_1,\dots,V_{i-1},V_{i+1},\dots,V_m$ . Пишут $ V=V_1\oplus\ldots\oplus V_m$ .

Теорема. Пусть $ V$ -- конечномерное пространство и $ V=V_1+\ldots+V_m$ , где $ V_i$ -- подпространства в $ V$ . Тогда следующие свойства равносильны:

$ 1)$ $ V=V_1\oplus\ldots\oplus V_m$ ;

$ 2)$ для любых базисов $ ({\mathbf e}^i_1,\dots,{\mathbf e}^i_{n_i})$ пространства $ V_i$ , $ i=1,\dots,m$ , система $ ({\mathbf
e}^1_1,\dots,{\mathbf e}^1_{n_1},\dots,{\mathbf
e}^m_1,\dots,{\mathbf e}^m_{n_m})$ является базисом в $ V$ ;

$ 3)$ для некоторых базисов $ ({\mathbf e}^i_1,\dots,{\mathbf e}^i_{n_i})$ пространства $ V_i$ , $ i=1,\dots,m$ , система
$ ({\mathbf
e}^1_1,\dots,{\mathbf e}^1_{n_1},\dots,{\mathbf
e}^m_1,\dots,{\mathbf e}^m_{n_m})$ является базисом в $ V$ ;

$ 4)$ $ {\operatorname{dim}} V={\operatorname{dim}}
V_1+\ldots+{\operatorname{dim}} V_m$ ;

$ 5)$ для любого $ i=1,\dots,m$ выполнено $ V_i\cap\widehat
V_i=\{{\mathbf 0}\}$ , где $ \widehat
V_i=V_1+\ldots+V_{i-1}+V_{i+1}+\ldots+V_m$ .