MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Абелевы группы

Определение. Конечно-порожденная (абелева) группа -- это (абелева) группа, имеющая конечную систему порождающих.

Пусть $ G$ -- конечно-порожденная абелева группа операцией сложения (в этом разделе рассматриваем только аддитивные группы), и $ S=\{s_1,\dots,s_n\}$ -- система порождающих. Тогда любой элемент $ g\in G$ имеет вид $ g=k_1s_1+\ldots+k_ns_n$ , $ k_i\in{\Bbb Z}$ .

Определение. Система $ (a_1,\dots,a_n)$ называется базисом абелевой группы $ A$ , если каждый элемент $ a\in A$ имеет единственную запись $ a=k_1a_1+\ldots+k_na_n$ , $ k_i\in Z$ .

Пример. В группе $ {\langle}a{\rangle}_n\cong{\Bbb Z}_n$ нет базиса, так как $ k_i$ в разложении можно заменить на $ k_i+n$ .

Определение. Абелева группа, в которой есть базис из $ n$ элементов, называется свободной абелевой группой ранга $ n$ .

Пример. $ 1)$ Группа $ {\Bbb Z}$ является свободной абелевой группой ранга $ 1$ .

$ 2)$ Группа $ {\Bbb Z}^n$ является свободной абелевой группой ранга $ n$ .

Теорема. Абелева группа $ A$ является свободной абелевой группой с базисом $ (a_1,\dots,a_n)$ тогда и только тогда, когда $ A\cong{\langle}a_1{\rangle}_\infty\oplus\dots\oplus{\langle}a_n{\rangle}_\infty$ .

Теорема. $ 1)$ Всякая абелева группа $ G$ с конечным числом $ n$ порождающих изоморфна факторгруппе свободной абелевой группы $ A$ ранга $ n$ .

$ 2)$ Свободные абелевы группы одинаковых рангов изоморфны.

$ 3)$ Различные базисы свободной абелевой группы содержат одинаковое число элементов.

Теорема. Всякая подгруппа $ B$ свободной абелевой группы $ A$ ранга $ n$ является свободной абелевой группой ранга $ m\leqslant n$ . Нулевая группа тоже свободная абелева группа $ ранга $0$\/$ .

Пусть $ A$ -- свободная абелева группа с базисом $ (a_1,\dots,a_n)$ , и подгруппа $ B\subseteq A$ имеет базис $ (b_1,\dots,b_m)$ , $ m\leqslant n$ . Тогда $ b_i=\alpha_{i1}a_1+\ldots+\alpha_{ni}a_n$ , $ i=1,\dots,m$ , и целочисленная матрица $ (\alpha_{ij})$ называется матрицей соотношений для подгруппы $ B$ (для факторгруппы $ A/B$ ). Считаем, что матрица $ (\alpha_{ij})$ является квадратной (дополняем нулями).

Пусть $ (a_1,\dots,a_n)$ -- система порождающих (базис). Рассмотрим три типа элементарных преобразований базиса.

$ 1$ -ое элементарное преобразование: элементы $ a_i$ и $ a_j$ меняются местами (получаем новый базис $ (a_1,\dots,a_j,\dots,a_i,\dots,a_n)$ ).

$ 2$ -ое элементарное преобразование: замена $ a_i$ на $ -a_i$ (получаем новый базис
$ (a_1,\dots,-a_i,\dots,a_n)$ ).

$ 3$ -ое элементарное преобразование: замена $ a_i$ на $ a_i+ka_j$ , $ k\in{\Bbb Z}$ , (получаем новый базис
$ (a_1,\dots,a_i+ka_j,\dots,a_n)$ ). На самом деле достаточно для $ k\pm1$ или $ k=1$ в связи со $ 2$ -ым элементарным преобразованием.

Лемма. Если $ (a_1,\dots,a_n)$ -- система порождающих абелевой группы $ A$ (базис в свободной абелевой группе $ A$ ), а система $ (a_1',\dots,a'_n)$ получена из нее с помощью нескольких элементарных преобразований, то $ (a_1',\dots,a'_n)$ -- система порождающих абелевой группы $ A$ (базис в свободной абелевой группе $ A$ ).

Лемма. Пусть $ B$ -- подгруппа свободной абелевой группы $ A$ ранга $ n$ , а $ (\alpha_{ij})$ -- матрица соотношений для $ B$ относительно базиса $ (a_1,\dots,a_n)$ группы $ A$ и системы порождающих $ (b_1,\dots,b_n)$ подгруппы $ B$ . Тогда при элементарных преобразований системы $ (b_1,\dots,b_n)$ происходят элементарные преобразования над столбцами $ (\alpha_{ij})$ , а при элементарных преобразований над базисом $ (a_1,\dots,a_n)$ происходят элементарные преобразования над строками $ (\alpha_{ij})$ .

Лемма. Всякая целочисленная $ n\times n$ матрица может быть приведена к диагональному виду с помощью нескольких целочисленных элементарных преобразований над строками и столбцами.

Теорема. Всякая абелева группа с конечным числом порождающих может быть разложена в прямую сумму конечного множества прямых слагаемых, каждое из которых является бесконечной циклической группой или циклической группой,порядок которой есть степень простого числа.

Определение. Циклическая группа порядка $ p^k$ , где $ p$ простое, называется примарной циклической группой.

Следствие. Всякая конечная абелева группа $ G$ является прямой суммой конечного числа примарных циклических групп.

Определение. Пусть $ G$ -- абелева группа. Определим множество $ G(p^k)$ равенством $ G(p^k)=\{x\in G\,\vert\,p^kx=0\}$ .

Лемма. $ 1)$ Множество $ G(p^k)$ является подгруппой в $ G$ .

$ 2)$ Если $ p$ не делит $ \vert G\vert$ , то $ G(p^k)=\{0\}$

$ 3)$ Если $ G=A_1\oplus\ldots\oplus A_l$ , то $ G(p^k)=A_1(p^k)\oplus\ldots\oplus A_l(p^k)$ .

$ 4)$ Если $ G$ -- циклическая группа порядка $ p^n$ , то порядок подгруппы $ G(p^k)$ равен $ \vert G(p^k)\vert=\min(p^k,p^n)$ .

Теорема. Для любых двух разложений конечной абелевой группы $ G$ в прямую сумму примарных циклических групп и для любого примарного числа $ p^m$ числа прямых слагаемых порядка $ p^m$ одинаковы.