MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Смежные классы и факторгруппы

Определение. Пусть $ H\subseteq G$ -- подгруппа группы $ G$ . Левым смежным классом группы $ G$ по подгруппе $ H$ называется множество $ gH=\{gh\,\vert\, h\in H\}$ , где $ g\in G$ -- некоторый элемент. Всякий элемент из $ gH$ называется представителем этого смежного класса.

Аналогично определяется правый смежный класс.

$ 1)$ Правый смежный класс не совпадает с левым.

$ 2)$ $ eH=H$ .

$ 3)$ $ gH=H\Longleftrightarrow g\in H$ .

$ 4)$ Число элементов в $ gH$ равно $ \vert H\vert$ .

$ 5)$ Если два левых смежных класса $ g_1H$ и $ g_2H$ имеют общий элемент, то $ g_1H=g_2H$ .

$ 6)$ $ g_1H=g_2H\Longleftrightarrow g_1^{-1}g_2\in H$ .

Теорема [Лагранж.] Порядок конечной группы $ G$ делится на порядок любой ее подгруппы $ H$ .

Из теоремы Лагранжа следует, что число $ \vert G:H\vert$ , определяемое равенство $ \vert G\vert=\vert H\vert\cdot\vert G:H\vert$ , является целым, и оно называется индексом подгруппы $ H$ в группе $ G$ .

Следствие. Порядок любого элемента $ a$ конечной группы $ G$ делит порядок всей группы $ G$ .

Следствие. Группа простого порядка $ p$ является циклической, а каждый ее не единичный элемент может быть выбран в качестве порождающего.

Теорема [Малая теорема Ферма.] Пусть $ p$ -- простое число. Тогда для любого целого числа $ a\in{\Bbb Z}$ имеет место $ a^p\equiv
a\pmod p$ .

Определение. Подгруппа $ H$ группы $ G$ называется нормальной (пишут $ H\lhd G$ ), если $ xH=Hx$ для любого $ x\in G$ .

Утверждение. Если $ \vert G:H\vert=2$ , то $ H$ нормальна в $ G$ .

Определение. Два элемента $ a,\,b\in G$ группы $ G$ называются сопряженными в $ G$ , если существует такой элемент $ x\in G$ , что $ b=xax^{-1}$ .

Утверждение. В группе $ GL(n,{\Bbb C})$ элементы сопряжены тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые жордановые нормальные формы.

Замечание. Сопряженность есть отношение эквивалентности (отношение сопряженности рефлексивно, симметрично и транзитивно). Группа $ G$ разбивается на классы сопряженных элементов.

Теорема. Подгруппа $ H$ группы $ G$ является нормальной тогда и только тогда, когда для всякого элемента $ h\in H$ все сопряженные с ним элементы вида $ xhx^{-1}$ , где $ x\in G$ , также содержатся в $ H$ .

Определение. Инъективный гомоморфизм называется мономорфизмом, а сюръективный -- эпиморфизмом. Ядро гомоморфизма $ \varphi{\colon}G_1\to G_2$ -- это множество $ {\operatorname{Ker}}\varphi=\{g\in G_1\,\vert\, \varphi(g)=e_2\in
G_2\}$ .

Теорема. $ 1)$ Ядро $ {\operatorname{Ker}}\varphi$ гомоморфизма $ \varphi{\colon}G_1\to G_2$ является нормальной подгруппой в $ G_1$ .

$ 2)$ Гомоморфизм $ \varphi$ является мономорфизмом тогда и только тогда, когда $ {\operatorname{Ker}}\varphi=\{e_1\}$ .

Пусть $ G$ -- произвольная группа, а $ N\lhd G$ . Определим умножение смежных классов $ g_1N$ и $ g_2 N$ , положив по определению $ (g_1N)(g_2N)=(g_1g_2)N$ . Проверим корректность этого определения. Пусть $ g_1N=g'N$ и $ g_2N=g''N$ . Тогда $ (g'g'')N=(g_1n_1g_2n_2)N=g_1g_2(g_2^{-1}n_1g_2)n_2N=g_1g_2N$ (в силу нормальности $ N$ ).

Теорема. Множество всех смежных классов группы $ G$ по нормальной подгруппе $ N$ является группой относительно введенной выше операции умножения смежных классов. Эта группа называется факторгруппой группы $ G$ по нормальной подгруппе $ N$ и обозначается $ G/N$ .

Замечание. Порядок $ \vert G/N\vert=\vert G:N\vert=\vert G\vert/\vert N\vert$ .

Пример. Рассмотрим группу $ {\Bbb Z}$ целых чисел с операцией сложения. Эта группа коммутативна, следовательно, любая ее подгруппа нормальна. Рассмотрим подгруппу $ n{\Bbb Z}=\{0,\pm
n,\pm2n,\dots\}\lhd{\Bbb Z}$ . Тогда $ {\Bbb Z}/n{\Bbb Z}=\{g+n{\Bbb
Z}\,\vert\,g\in{\Bbb Z}\}\cong{\Bbb Z}_n$ .

Рассмотрим отображение $ \varepsilon{\colon}G\to G/N$ , где $ \varepsilon(g)=gN$ . Это отображение является эпиморфизмом, так как $ {\varepsilon}(g_1g_2)=g_1g_2N=g_1Ng_2N={\varepsilon}(g_1){\varepsilon}(g_2)$ , и называется естественным гомоморфизмом. Найдем ядро $ {\operatorname{Ker}}{\varepsilon}$ естественного гомоморфизма $ {\varepsilon}$ . Имеем

$\displaystyle {\operatorname{Ker}}{\varepsilon}=\{g\in
G\,\vert\,{\varepsilon}(g)=N\}=\{g\in G\,\vert\,gN=N\}=N.
$

Теорема. Пусть $ \varphi:G\to K$ -- эпиморфизм группы $ G$ на $ K$ . Пусть $ {\operatorname{Ker}}\varphi=N$ . Тогда $ G/N\cong K$ . Более того существует изоморфизм $ \alpha{\colon}G/N\to K$ такой, что $ \alpha{\varepsilon}=\varphi$ .

Следствие. Для любого гомоморфизма $ \varphi{\colon}G\to H$ справедливо $ G/{\operatorname{Ker}}\varphi\cong{\operatorname{Im}}\varphi$ .

Пример. $ 1)$ Рассмотрим группу невырожденных матриц $ {\operatorname{GL}}(n,F)$ и гомоморфизм $ \varphi:{\operatorname{GL}}(n,F)\to F^*=F\setminus\{0\}$ , $ \varphi(A)=\det A$ . Тогда $ \varphi$ является эпиморфизмом, $ {\operatorname{Ker}}\varphi={\operatorname{SL}}(n,F)\lhd
{\operatorname{GL}}(n,F)$ и $ {\operatorname{GL}}(n,F)/{\operatorname{SL}}(n,F)\cong F^*$ .

$ 2)$ Рассмотрим группу перестановок $ S_n$ и гомоморфизм $ \varphi{\colon}S_n\to\{\pm1\}$ , $ \varphi(g)={\varepsilon}_g$ . Тогда $ \varphi$ является эпиморфизмом, $ {\operatorname{Ker}}\varphi=A_n\lhd S_n$ и $ S_n/A_n\cong\{\pm1\}$ .

$ 3)$ Рассмотрим группу целых чисел $ {\Bbb Z}$ и гомоморфизм $ \varphi{\colon}{\Bbb Z}\to U_n$ , $ \varphi(l)=\xi^l$ , где $ \xi$ -- первообразный корень степени $ n$ из $ 1$ . Тогда $ \varphi$ является эпиморфизмом, $ {\operatorname{Ker}}\varphi=n{\Bbb Z}$ и $ {\Bbb
Z}_n={\Bbb Z}/n{\Bbb Z}\cong U_n$ .

Теорема. Пусть $ N,\,H$ -- подгруппы в группе $ G$ , причем $ N\lhd G$ . Тогда

$ 1)$ $ HN=NH$ является подгруппой в $ G$ .

$ 2)$ $ H\cap N$ является нормальной подгруппой в $ H$ .

$ 3)$ $ H/(H\cap N)\cong HN/N$ .