Смежные классы и факторгруппы

Определение. Пусть $H\subseteq G$ -- подгруппа группы

. Левым смежным классом группы

по подгруппе

называется множество $gH=\{gh\,\vert\, h\in H\}$ , где $g\in G$ -- некоторый элемент. Всякий элемент из

называется представителем этого смежного класса.

Аналогично определяется правый смежный класс.

Правый смежный класс не совпадает с левым.

$gH=H\Longleftrightarrow g\in H$ .

Число элементов в равно $\vert H\vert$ .

Если два левых смежных класса и имеют общий элемент, то .

$g_1H=g_2H\Longleftrightarrow g_1^{-1}g_2\in H$ .

Теорема [Лагранж.] Порядок конечной группы делится на порядок любой ее подгруппы .

Из теоремы Лагранжа следует, что число $\vert G:H\vert$ , определяемое равенство $\vert G\vert=\vert H\vert\cdot\vert G:H\vert$ , является целым, и оно называется индексом подгруппы в группе .

Следствие. Порядок любого элемента конечной группы делит порядок всей группы .

Следствие. Группа простого порядка является циклической, а каждый ее не единичный элемент может быть выбран в качестве порождающего.

Теорема [Малая теорема Ферма.] Пусть -- простое число. Тогда для любого целого числа $a\in{\Bbb Z}$ имеет место $a^p\equiv a\pmod p$ .

Определение. Подгруппа группы называется нормальной (пишут $H\lhd G$ ), если для любого $x\in G$ .

Утверждение. Если $\vert G:H\vert=2$ , то нормальна в .

Определение. Два элемента $a,\,b\in G$ группы называются сопряженными в , если существует такой элемент $x\in G$ , что $b=xax^{-1}$ .

Утверждение. В группе $GL(n,{\Bbb C})$ элементы сопряжены тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые жордановые нормальные формы.

Замечание. Сопряженность есть отношение эквивалентности (отношение сопряженности рефлексивно, симметрично и транзитивно). Группа разбивается на классы сопряженных элементов.

Теорема. Подгруппа группы является нормальной тогда и только тогда, когда для всякого элемента $h\in H$ все сопряженные с ним элементы вида $xhx^{-1}$ , где $x\in G$ , также содержатся в .

Определение. Инъективный гомоморфизм называется мономорфизмом, а сюръективный -- эпиморфизмом. Ядро гомоморфизма $\varphi{\colon}G_1\to G_2$ -- это множество ${\operatorname{Ker}}\varphi=\{g\in G_1\,\vert\, \varphi(g)=e_2\in G_2\}$ .

Теорема. Ядро ${\operatorname{Ker}}\varphi$ гомоморфизма $\varphi{\colon}G_1\to G_2$ является нормальной подгруппой в .

Гомоморфизм $\varphi$ является мономорфизмом тогда и только тогда, когда ${\operatorname{Ker}}\varphi=\{e_1\}$ .

Пусть -- произвольная группа, а $N\lhd G$ . Определим умножение смежных классов и , положив по определению . Проверим корректность этого определения. Пусть и . Тогда $(g'g'')N=(g_1n_1g_2n_2)N=g_1g_2(g_2^{-1}n_1g_2)n_2N=g_1g_2N$ (в силу нормальности ).

Теорема. Множество всех смежных классов группы по нормальной подгруппе является группой относительно введенной выше операции умножения смежных классов. Эта группа называется факторгруппой группы по нормальной подгруппе и обозначается .

Замечание. Порядок $\vert G/N\vert=\vert G:N\vert=\vert G\vert/\vert N\vert$ .

Пример. Рассмотрим группу ${\Bbb Z}$ целых чисел с операцией сложения. Эта группа коммутативна, следовательно, любая ее подгруппа нормальна. Рассмотрим подгруппу $n{\Bbb Z}=\{0,\pm n,\pm2n,\dots\}\lhd{\Bbb Z}$ . Тогда ${\Bbb Z}/n{\Bbb Z}=\{g+n{\Bbb Z}\,\vert\,g\in{\Bbb Z}\}\cong{\Bbb Z}_n$ .

Рассмотрим отображение $\varepsilon{\colon}G\to G/N$ , где $\varepsilon(g)=gN$ . Это отображение является эпиморфизмом, так как ${\varepsilon}(g_1g_2)=g_1g_2N=g_1Ng_2N={\varepsilon}(g_1){\varepsilon}(g_2)$ , и называется естественным гомоморфизмом. Найдем ядро ${\operatorname{Ker}}{\varepsilon}$ естественного гомоморфизма ${\varepsilon}$ . Имеем

$\displaystyle {\operatorname{Ker}}{\varepsilon}=\{g\in G\,\vert\,{\varepsilon}(g)=N\}=\{g\in G\,\vert\,gN=N\}=N.$

Теорема. Пусть $\varphi:G\to K$ -- эпиморфизм группы на . Пусть ${\operatorname{Ker}}\varphi=N$ . Тогда $G/N\cong K$ . Более того существует изоморфизм $\alpha{\colon}G/N\to K$ такой, что $\alpha{\varepsilon}=\varphi$ .

Следствие. Для любого гомоморфизма $\varphi{\colon}G\to H$ справедливо $G/{\operatorname{Ker}}\varphi\cong{\operatorname{Im}}\varphi$ .

Пример. Рассмотрим группу невырожденных матриц ${\operatorname{GL}}(n,F)$ и гомоморфизм $\varphi:{\operatorname{GL}}(n,F)\to F^*=F\setminus\{0\}$ , $\varphi(A)=\det A$ . Тогда $\varphi$ является эпиморфизмом, ${\operatorname{Ker}}\varphi={\operatorname{SL}}(n,F)\lhd {\operatorname{GL}}(n,F)$ и ${\operatorname{GL}}(n,F)/{\operatorname{SL}}(n,F)\cong F^*$ .

Рассмотрим группу перестановок и гомоморфизм $\varphi{\colon}S_n\to\{\pm1\}$ , $\varphi(g)={\varepsilon}_g$ . Тогда $\varphi$ является эпиморфизмом, ${\operatorname{Ker}}\varphi=A_n\lhd S_n$ и $S_n/A_n\cong\{\pm1\}$ .

Рассмотрим группу целых чисел ${\Bbb Z}$ и гомоморфизм $\varphi{\colon}{\Bbb Z}\to U_n$ , $\varphi(l)=\xi^l$ , где $\xi$ -- первообразный корень степени из . Тогда $\varphi$ является эпиморфизмом, ${\operatorname{Ker}}\varphi=n{\Bbb Z}$ и ${\Bbb Z}_n={\Bbb Z}/n{\Bbb Z}\cong U_n$ .

Теорема. Пусть $N,\,H$ -- подгруппы в группе , причем $N\lhd G$ . Тогда

является подгруппой в .

$H\cap N$ является нормальной подгруппой в .

$H/(H\cap N)\cong HN/N$ .