MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Группы и подгруппы

Определение. Множество $ G$ с бинарной операцией $ \cdot{\colon}G\times G\to G$ называется группой, если:

1) эта операция ассоциативна, т.е. $ (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot
c)$ для любых $ a,\,b,\,c\in G$ ;

2) существует нейтральный элемент (ноль или единица), т.е. такой элемент $ e$ , что $ e\cdot a=a\cdot e=a$ для любого $ a\in G$ ;

3) для любого элемента $ a\in G$ существует такой элемент $ b$ , что $ a\cdot b=b\cdot a=e$ .

Определение. Порядок группы $ G$ -- это количество элементов в группе. Обозначение $ \vert G\vert$ .

Определение. Группа $ G$ называется абелевой, если для любых двух элементов $ a,\,b\in G$ справедливо равенство $ a\cdot
b=b\cdot a$ .

Замечание. 1) Элемент $ b$ из пункта $ 3)$ называется обратным или противоположным к элементу $ a$ и обозначается $ a^{-1}$ .

2) Легко проверяется единственность $ e$ , обратного элемента и ассоциативность умножения любого числа множителей.

$ 3)$ Для любого элемента $ a$ определяется его степень $ a^n$ , полагая

$\displaystyle a^n=\left\{\begin {array}{lc}
\underbrace{a\cdot\ldots\cdot a}_n, & n>0\\
e, & n=0\\
(a^{-1})^n,& n<0.
\end {array}\right.
$

Верны равенства: $ a^i\cdot a^j=a^{i+j}$ , $ (a^i)^j=a^{ij}$ .

$ 4)$ Уравнение вида $ a\cdot x=b$ , где $ a,\,b\in G$ , всегда имеет единственное решение $ x=a^{-1}\cdot b$ .

$ 5)$ Уравнение вида $ y\cdot a=b$ , где $ a,\,b\in G$ , всегда имеет единственное решение $ x=b\cdot a^{-1}$ .

Замечание. Группа с операцией $ \lq\lq \cdot\lq\lq $ часто называется мультипликативной, а сама операция опускается, т.е. $ a\cdot
b=ab$ .

Определение. Аддитивная группа -- эта группа с операцией $ \lq\lq +\lq\lq $ , нейтральный элемент обозначается 0 , а противоположный через $ -a$ .

Определение. Подмножество $ H\subset G$ группы $ G$ называется подгруппой, если

1)множество $ H$ содержит единицу $ e\in H$ ;

2) из условия $ h\in H$ следует, что $ h^{-1}\in H$ ;

3) из условий $ h_1,\,h_2\in H$ следует, что $ h_1\cdot h_2\in H$ .

Пример. $ 1)$ Множество целых чисел $ {\Bbb Z}$ , множество рациональных чисел $ {\Bbb Q}$ , множество вещественных чисел $ {\Bbb
R}$ и множество комплексных чисел $ {\Bbb C}$ являются группами относительно операции сложения $ \lq\lq +\lq\lq $ , причем $ {\Bbb Z}\subset{\Bbb
Q}\subset{\Bbb R}\subset{\Bbb C}$ .

$ 2)$ Множество $ {\Bbb Q}^*={\Bbb Q}\setminus\{0\}$ , $ {\Bbb
R}^*={\Bbb R}\setminus\{0\}$ , $ {\Bbb C}^*={\Bbb C}\setminus\{0\}$ являются группами относительно операции умножения $ \lq\lq \cdot\lq\lq $ , причем $ {\Bbb Q}^*\subset{\Bbb R}^*\subset{\Bbb C}^*$ .

$ 3)$ Множество четных подстановок $ A_n$ на $ n$ символов является подгруппой группы $ S_n$ подстановок на $ n$ символов.

$ 4)$ Пусть $ K$ -- поле. Тогда множество $ {\operatorname{GL}}(n,K)$ невырожденных матриц является группой относительно операции умножение матриц, а подмножество
$ {\operatorname{SL}}(n,K)=\{A\in
{\operatorname{GL}}(n,k)\,\vert\,\det A=1\}\subset
{\operatorname{GL}}(n,K)$ является подгруппой.

$ 5)$ Множество ортогональных матриц $ {\operatorname{O}}(n,{\Bbb R})$ и множество унитарных матриц $ {\operatorname{U}}(n,{\Bbb C})$ являются группами.

$ 6)$ Группа $ U_n$ комплексных корней $ n$ -ой степени из единицы.

$ 7)$ Группа $ {\Bbb Z}_n$ вычетов по модулю $ n$ с операцией сложения.

$ 8)$ Группа диэдра $ D_n$ (группа движений плоскости, переводящих правильный $ n$ -угольник в себя). Порядок $ \vert D_n\vert=2n$ . При $ n>2$ группа $ D_n$ не абелева.

Определение. Пусть $ G_1$ и $ G_2$ -- две группы с операциями $ \circ$ и $ *$ соответственно. Отображение $ \varphi{\colon}G_1\to
G_2$ называется гомоморфизмом, если $ \varphi(a\circ
b)=\varphi(a)*\varphi(b)$ для любых элементов $ a,\,b\in G_1$ . Биективный гомоморфизм называется изоморфизмом.

Замечание. Если $ \varphi$ является изоморфизмом, то $ \varphi^{-1}$ тоже.

Свойства гомоморфизма.

$ 1)$ Единица $ e_1\in G_1$ группы $ G_1$ при гомоморфизме $ \varphi$ переходит в единицу $ e_2\in G_2$ группы $ G_2$ , т.е. $ \varphi(e_1)=e_2$ .

$ 2)$ Образ обратного элемента $ a^{-1}$ группы $ G_1$ при гомоморфизме $ \varphi$ является обратным к образу, т.е. $ \varphi(a^{-1})=(\varphi(a))^{-1}$ .

$ 3)$ Образ $ {\operatorname{Im}}\varphi=\{\varphi(g)\,\vert\,g\in G_1\}$ гомоморфизма $ \varphi$ является подгруппой в $ G_2$ . Докажем это утверждение, т.е. проверим выполнение условий из определения подгруппы.

$ a)$ Образ $ {\operatorname{Im}}\varphi$ содержит единицу $ e_2=\varphi(e_1)$ .

$ b)$ Если $ \varphi(a)\in{\operatorname{Im}}\varphi$ , то $ (\varphi(a))^{-1}=\varphi(a^{-1})\in{\operatorname{Im}}\varphi$ .

$ c)$ Если $ \varphi(a),\,\varphi(b)\in{\operatorname{Im}}\varphi$ , то $ \varphi(a)*\varphi(b)=\varphi(a\circ
b)\in{\operatorname{Im}}\varphi$ . Таким образом, все условия выполнены, и $ {\operatorname{Im}}\varphi$ действительно подгруппа $ G_2$ .

Теорема [Теорема Кэли.] Всякая группа $ G$ порядка $ n$ изоморфна некоторой подгруппе группы подстановок $ S_n$ .