Группы и подгруппы

Определение. Множество

с бинарной операцией $\cdot{\colon}G\times G\to G$ называется группой, если:

1) эта операция ассоциативна, т.е. $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$ для любых $a,\,b,\,c\in G$ ;

2) существует нейтральный элемент (ноль или единица), т.е. такой элемент , что $e\cdot a=a\cdot e=a$ для любого $a\in G$ ;

3) для любого элемента $a\in G$ существует такой элемент , что $a\cdot b=b\cdot a=e$ .

Определение. Порядок группы -- это количество элементов в группе. Обозначение $\vert G\vert$ .

Определение. Группа называется абелевой, если для любых двух элементов $a,\,b\in G$ справедливо равенство $a\cdot b=b\cdot a$ .

Замечание. 1) Элемент из пункта называется обратным или противоположным к элементу и обозначается $a^{-1}$ .

2) Легко проверяется единственность , обратного элемента и ассоциативность умножения любого числа множителей.

Для любого элемента определяется его степень , полагая

$\displaystyle a^n=\left\{\begin {array}{lc} \underbrace{a\cdot\ldots\cdot a}_n, & n>0\\ e, & n=0\\ (a^{-1})^n,& n<0. \end {array}\right.$

Верны равенства: $a^i\cdot a^j=a^{i+j}$ , $(a^i)^j=a^{ij}$ .

Уравнение вида $a\cdot x=b$ , где $a,\,b\in G$ , всегда имеет единственное решение $x=a^{-1}\cdot b$ .

Уравнение вида $y\cdot a=b$ , где $a,\,b\in G$ , всегда имеет единственное решение $x=b\cdot a^{-1}$ .

Замечание. Группа с операцией $\lq\lq \cdot\lq\lq$ часто называется мультипликативной, а сама операция опускается, т.е. $a\cdot b=ab$ .

Определение. Аддитивная группа -- эта группа с операцией $\lq\lq +\lq\lq$ , нейтральный элемент обозначается 0 , а противоположный через .

Определение. Подмножество $H\subset G$ группы называется подгруппой, если

1)множество содержит единицу $e\in H$ ;

2) из условия $h\in H$ следует, что $h^{-1}\in H$ ;

3) из условий $h_1,\,h_2\in H$ следует, что $h_1\cdot h_2\in H$ .

Пример. Множество целых чисел ${\Bbb Z}$ , множество рациональных чисел ${\Bbb Q}$ , множество вещественных чисел ${\Bbb R}$ и множество комплексных чисел ${\Bbb C}$ являются группами относительно операции сложения $\lq\lq +\lq\lq$ , причем ${\Bbb Z}\subset{\Bbb Q}\subset{\Bbb R}\subset{\Bbb C}$ .

Множество ${\Bbb Q}^*={\Bbb Q}\setminus\{0\}$ , ${\Bbb R}^*={\Bbb R}\setminus\{0\}$ , ${\Bbb C}^*={\Bbb C}\setminus\{0\}$ являются группами относительно операции умножения $\lq\lq \cdot\lq\lq$ , причем ${\Bbb Q}^*\subset{\Bbb R}^*\subset{\Bbb C}^*$ .

Множество четных подстановок на символов является подгруппой группы подстановок на символов.

Пусть -- поле. Тогда множество ${\operatorname{GL}}(n,K)$ невырожденных матриц является группой относительно операции умножение матриц, а подмножество
${\operatorname{SL}}(n,K)=\{A\in {\operatorname{GL}}(n,k)\,\vert\,\det A=1\}\subset {\operatorname{GL}}(n,K)$ является подгруппой.

Множество ортогональных матриц ${\operatorname{O}}(n,{\Bbb R})$ и множество унитарных матриц ${\operatorname{U}}(n,{\Bbb C})$ являются группами.

Группа комплексных корней -ой степени из единицы.

Группа ${\Bbb Z}_n$ вычетов по модулю с операцией сложения.

Группа диэдра (группа движений плоскости, переводящих правильный -угольник в себя). Порядок $\vert D_n\vert=2n$ . При группа не абелева.

Определение. Пусть и -- две группы с операциями $\circ$ и соответственно. Отображение $\varphi{\colon}G_1\to G_2$ называется гомоморфизмом, если $\varphi(a\circ b)=\varphi(a)*\varphi(b)$ для любых элементов $a,\,b\in G_1$ . Биективный гомоморфизм называется изоморфизмом.

Замечание. Если $\varphi$ является изоморфизмом, то $\varphi^{-1}$ тоже.

Свойства гомоморфизма.

Единица $e_1\in G_1$ группы при гомоморфизме $\varphi$ переходит в единицу $e_2\in G_2$ группы , т.е. $\varphi(e_1)=e_2$ .

Образ обратного элемента $a^{-1}$ группы при гомоморфизме $\varphi$ является обратным к образу, т.е. $\varphi(a^{-1})=(\varphi(a))^{-1}$ .

Образ ${\operatorname{Im}}\varphi=\{\varphi(g)\,\vert\,g\in G_1\}$ гомоморфизма $\varphi$ является подгруппой в . Докажем это утверждение, т.е. проверим выполнение условий из определения подгруппы.

Образ ${\operatorname{Im}}\varphi$ содержит единицу $e_2=\varphi(e_1)$ .

Если $\varphi(a)\in{\operatorname{Im}}\varphi$ , то $(\varphi(a))^{-1}=\varphi(a^{-1})\in{\operatorname{Im}}\varphi$ .

Если $\varphi(a),\,\varphi(b)\in{\operatorname{Im}}\varphi$ , то $\varphi(a)*\varphi(b)=\varphi(a\circ b)\in{\operatorname{Im}}\varphi$ . Таким образом, все условия выполнены, и ${\operatorname{Im}}\varphi$ действительно подгруппа .

Теорема [Теорема Кэли.] Всякая группа порядка изоморфна некоторой подгруппе группы подстановок .