MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Циклические группы и подгруппы и их свойства

Определение. Пусть $ G$ -- группа и $ g\in G$ . Порядок $ \vert g\vert$ элемента $ g$ -- это наименьшее целое положительное число $ m$ такое, что $ g^m=e$ . Если такого $ m$ не существует, что по определению $ g$ имеет бесконечный порядок. Группа $ G$ циклическая, если она состоит из всех степеней некоторого одного элемента, т.е. $ G=\{a^i\,\vert\,i\in{\Bbb Z}\}={\langle}a{\rangle}$ . Элемент $ a$ называется порождающим.

Пример. $ 1)$ Группа $ U_n$ является циклической, а произвольный первообразный корень является порождающим элементом.

$ 2)$ Группа $ {\Bbb Z}_n$ является циклической с порождающими ее элементами $ \pm1$ .

Утверждение [Свойства циклических групп.]

$ 1)$ Если $ G$ -- бесконечная циклическая группа с порождающим $ a$ , то все степени $ a^i$ различны для $ i\in{\Bbb Z}$ .

Если $ G$ -- циклическая группа конечного порядка $ n$ с порождающим $ a$ , то $ \{e,a,a^2,\dots,a^{n-1}\}$ -- это список всех различных элементов в $ G$ .

$ 2)$ Элемент $ b=a^k$ В циклической группе $ G={\langle}a{\rangle}_n$ является порождающим тогда и только тогда, когда $ (k,n)=1$ .

$ 3)$ Две циклические группы изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые порядки.

$ 4)$ Всякая подгруппа $ H$ циклической группы $ G={\langle}a{\rangle}$ является циклической группой. Если $ H\ne{\langle}e{\rangle}$ , то в качестве порождающего для $ H$ можно выбрать $ a^l$ , где $ l$ -- наименьшее положительное целое число со свойством $ a^l\in H$ .

$ 5)$ Если в $ 4)$ $ \vert G\vert=n$ , то показатель $ l$ делит $ n$ .

$ 6)$ Если $ \vert G\vert=n$ в $ 4)$ , то $ l=\vert G\vert/\vert H\vert$ .

$ 7)$ Для каждого делителя $ d$ порядка $ n$ циклической группы $ G$ существует единственная подгруппа $ H$ порядка $ d$ .

$ 8)$ Пусть $ G$ -- циклическая группа порядка $ n=p^m$ для некоторого простого $ p$ . Тогда для любых двух подгрупп $ A$ и $ B$ в $ G$ или $ A\subseteq B$ или $ B\subseteq A$ .

Определение. Пусть $ S\subset G$ -- произвольное подмножество в группе $ G$ . Множество $ S$ называется системой порождающих группы $ G$ , если любой элемент $ g\in G$ может быть записан в виде $ g=s_1^{\varepsilon_1}s_2^{\varepsilon_2}\ldots
s_m^{\varepsilon_m}$ , где $ s_i\in S$ и $ \varepsilon_i=\pm1$ , $ i=1,\dots,m$ .

Пример. $ 1)$ Системой порождающих группы $ S_n$ является множество всех транспозиций.

$ 2)$ Доказать, что подстановки $ (12)$ и $ (12\ldots n)$ составляют систему порождающих в $ S_n$ .

$ 3)$ В группе четных подстановок $ A_n$ при $ n\geqslant3$ можно выбрать систему порождающих, состоящую из всех циклов $ (ijk)$ длины $ 3$ .