Действие группы на множестве

Пусть

-- произвольная группа, а

-- произвольной множество.

Определение. Говорят, что группа действует на , если каждому элементу группы сопоставлено отображение $\bar g{\colon}M\to M$ , причем $\bar e={\operatorname{Id}}_m$ , т.е. $\bar e(m)=m$ , $\bar g(\bar h(m))=\overline{gh}(m)$ . Вместо $\bar g(m)$ часто пишут .

Замечание. Поскольку $g^{-1}(gm)=(g^{-1}g)m=em=m$ и $g(g^{-1}m)=m$ , то для любого отображения $\bar g$ существует отображение $\bar g^{-1}$ . Получаем, что все отображения биективны, т.е. $\bar g\in S_M$ . Если $\vert M\vert=n$ , то $\bar g\in S_n$ и $g\mapsto\bar g$ -- это есть отображение $G\to S_n$ . Условие определения означает, что последнее отображение является гомоморфизмом.

Пример. Группа ${\operatorname{GL}}(n,F)$ действует на -мерном векторном пространстве.

Группа действует на множестве .

Рассмотрим некоторые конкретные действия.

Действие левыми сдвигами. Пусть -- группа с операцией $\lq\lq \cdot\lq\lq$ и . Тогда каждому элементу ставится в соответствии отображение $\bar g{\colon}G\to G$ , $\bar g(a)=g\cdot a$ . Все свойства определения выполняются.

Действие сопряжениями. Пусть -- группа с операцией $\lq\lq \cdot\lq\lq$ и . Тогда каждому элементу ставится в соответствии отображение $\bar g{\colon}G\to G$ , $\bar g(a)=g\cdot a\cdot g^{-1}$ . Все свойства определения выполняются.

Определение. Пусть группа действует на и $a\in M$ -- произвольная точка. Тогда множество $G(a)=\{ga\,\vert\,g\in G\}$ называется орбитой точки .

Пример. Для действия левыми сдвигами для любого элемента $a\in G$ имеем (всего одна орбита).

Для действия сопряжениями орбита $G(a)=\{g\cdot a\cdot g^{-1}\,\vert\, g\in G\}$ точки $a\in G$ -- это класс сопряженности .

Пусть группа действует на множестве , и $a,\,a'\in M$ -- произвольные элементы. Будем писать $a\stackrel{G}{\longrightarrow}a'$ , если существует такой элемент $g\in G$ , что , т.е. находится в орбите элемента .

Утверждение. Отношение $\lq\lq \stackrel{G}{\longrightarrow}\lq\lq$ является отношением эквивалентности. Классами эквивалентности являются орбиты.

Определение. Две подстановки $\pi$ и $\pi'$ из имеют одинаковую цикловую структуру, если их разложения на независимые циклы имеют одинаковое число множителей (циклов) каждой дины.

Пример. Подстановки и разные, но имеют одинаковую цикловую структуру.

Теорема. Две подстановки $\pi$ и $\pi'$ из сопряжены тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую цикловую структуру.

Если группа абелева, то класс сопряженности элемента , т.е. множество элементов сопряженных с , состоит из одного элемента , т.е. $Cl(a)=\{a\}$ .

Определение. Центром группы называется подмножество

$\displaystyle \{z\in G\,\vert\,zg=gz\,\forall\, g\in G\}.$

Теорема. Центр группы является подгруппой.

Элемент $z\in G$ принадлежит центру тогда и только тогда, когда $Cl(z)=\{z\}$ .

Центр и любая подгруппа $H\subset Z$ являются нормальными подгруппами в .

Теорема. (группа порядка не больше всегда абелева), $Z(S_n)=\{e\}$ при .

$Z({\operatorname{GL}}(n,F))=\{\lambda E\,\vert\,\lambda\in F\setminus\{0\}\}$ .

Пусть группа действует на множестве .

Определение. Стационарная подгруппа (или группа изотропии) точки $a\in M$ -- это подмножество $\{g\in G\,\vert\,ga=a\}$ .

Проверим, что действительно является подгруппой в : $e\in St(a)$ , так как ; если $g\in St(a)$ , то $g^{-1}\in St(a)$ , так как из следует $a=g^{-1}a$ ; если $g,\,h\in St(a)$ , то $gh\in St(a)$ , так как .

Теорема. Существует биективное соответствие между множеством левых смежных классов группы по подгруппе и множеством (орбитой) , в частности $\vert G(a)\vert=\vert G:St(a)\vert$ и $\vert G(a)\vert$ -- делитель порядка группы (если конечна).

Если мы рассмотрим действие группы на себе посредством сопряжениями, то и $St(a)=\{g\in G\,\vert\, ga=ag\}$ , т.е. -- это централизатор элемента $a\in G$ .

Следствие. Число элементов группы , сопряженных с фиксированным $a\in G$ , равно индексу $\vert C:C_G(a)\vert$ централизатора . В частности, число элементов в одном классе сопряженности делит порядок конечной группы.

Определение. Конечная группа называется -группой, если $\vert G\vert=p^k$ , где -- простое число.

Лемма. Всякая конечная группа разлагается в объединение попарно непересекающихся подмножеств, т.е.

$\displaystyle G=Z \cup C_1 \cup C_2\cup\ldots\cup C_l,$

где

-- центр, а $C_1,\dots,C_l$ -- классы сопряженности, состоящие более чем из одного элемента каждый.

Теорема. Пусть -- -группа, т.е. группа порядка $p^{k}$ , где -- простое число. Тогда центр группы содержит более одного элемента.

Всякая группа порядка абелева.

Лемма. Если порядок конечной абелевой группы делится на простое , то в есть элемент (и подгруппа) порядка .

Лемма. Пусть -- нормальная подгруппа в группе . Тогда любая подгруппа в факторгруппе имеет вид для некоторой подгруппы .

Теорема [первая теорема Силова.] Если порядок конечной группы делится на , где -- простое число, то в есть подгруппа порядка .

Пример. Пусть $\vert G\vert=12$ . Тогда в есть подгруппы порядка $2,\,3,\,4$ .

Определение. Если $\vert G\vert=p^km$ , где не делится на , то подгруппа порядка называется силовской -подгруппой.

Определение. Пусть -- подгруппа в и $x\in G$ . Тогда множество $xHx^{-1}=\{xhx^{-1}\,\vert\,h\in H\}$ называется сопряженной с подгруппой.

Проверим, что $xHx^{-1}$ является подгруппой: $e\in xHx^{-1}$ ; если $xhx^{-1}\in xHx^{-1}$ , то $(xhx^{-1})^{-1}=xh^{-1}x^{-1}\in xHx^{-1}$ ; если $xh_1x^{-1},\,xh_2x^{-1}\in xHx^{-1}$ , то $xh_1x^{-1}xh_2x^{-1}=xh_1h_2x^{-1}\in xHx^{-1}$ .

Так как соответствие $h\mapsto xhx^{-1}$ биективно, то $\vert xHx^{-1}\vert=\vert H\vert$ .

Теорема [Силов.] Любые две силовские -подгруппы конечной группы сопряжены между собой.

Теорема [Силов.] Любая -подгруппа конечной группы содержится в некоторой силовской -подгруппы.

Теорема [Силов.] Число различных силовских -подгрупп конечной группы делит порядок группы и имеет вид для некоторого , т.е. сравнимо с по модулю .

Утверждение. Доказать, что любая группа порядка является циклической.