MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Действие группы на множестве

Пусть $ G$ -- произвольная группа, а $ M$ -- произвольной множество.

Определение. Говорят, что группа $ G$ действует на $ M$ , если каждому элементу $ g$ группы $ G$ сопоставлено отображение $ \bar
g{\colon}M\to M$ , причем $ 1)$ $ \bar e={\operatorname{Id}}_m$ , т.е. $ \bar e(m)=m$ , $ 2)$ $ \bar g(\bar h(m))=\overline{gh}(m)$ . Вместо $ \bar g(m)$ часто пишут $ gm$ .

Замечание. $ 1)$ Поскольку $ g^{-1}(gm)=(g^{-1}g)m=em=m$ и $ g(g^{-1}m)=m$ , то для любого отображения $ \bar g$ существует отображение $ \bar g^{-1}$ . Получаем, что все отображения биективны, т.е. $ \bar g\in S_M$ . Если $ \vert M\vert=n$ , то $ \bar g\in S_n$ и $ g\mapsto\bar g$ -- это есть отображение $ G\to S_n$ . Условие $ 2)$ определения означает, что последнее отображение является гомоморфизмом.

Пример. $ 1)$ Группа $ {\operatorname{GL}}(n,F)$ действует на $ n$ -мерном векторном пространстве.

$ 2)$ Группа $ S_n$ действует на множестве $ S_n$ .

Рассмотрим некоторые конкретные действия.

$ 1)$ Действие левыми сдвигами. Пусть $ G$ -- группа с операцией $ \lq\lq \cdot\lq\lq $ и $ M=G$ . Тогда каждому элементу $ g$ ставится в соответствии отображение $ \bar g{\colon}G\to G$ , $ \bar g(a)=g\cdot
a$ . Все свойства определения выполняются.

$ 2)$ Действие сопряжениями. Пусть $ G$ -- группа с операцией $ \lq\lq \cdot\lq\lq $ и $ M=G$ . Тогда каждому элементу $ g$ ставится в соответствии отображение $ \bar g{\colon}G\to G$ , $ \bar g(a)=g\cdot
a\cdot g^{-1}$ . Все свойства определения выполняются.

Определение. Пусть группа $ G$ действует на $ M$ и $ a\in M$ -- произвольная точка. Тогда множество $ G(a)=\{ga\,\vert\,g\in G\}$ называется орбитой точки $ a$ .

Пример. $ 1)$ Для действия левыми сдвигами для любого элемента $ a\in G$ имеем $ G(a)=G$ (всего одна орбита).

$ 2)$ Для действия сопряжениями орбита $ G(a)=\{g\cdot a\cdot g^{-1}\,\vert\, g\in G\}$ точки $ a\in G$ -- это класс сопряженности $ Cl(a)$ .

Пусть группа $ G$ действует на множестве $ M$ , и $ a,\,a'\in M$ -- произвольные элементы. Будем писать $ a\stackrel{G}{\longrightarrow}a'$ , если существует такой элемент $ g\in G$ , что $ a'=ga$ , т.е. $ a'$ находится в орбите $ G(a)$ элемента $ a$ .

Утверждение. Отношение $ \lq\lq \stackrel{G}{\longrightarrow}\lq\lq $ является отношением эквивалентности. Классами эквивалентности являются орбиты.

Определение. Две подстановки $ \pi$ и $ \pi'$ из $ S_n$ имеют одинаковую цикловую структуру, если их разложения на независимые циклы имеют одинаковое число множителей (циклов) каждой дины.

Пример. Подстановки $ (12)(34)(567)$ и $ (165)(42)(37)$ разные, но имеют одинаковую цикловую структуру.

Теорема. Две подстановки $ \pi$ и $ \pi'$ из $ S_n$ сопряжены тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую цикловую структуру.

Если группа $ G$ абелева, то класс сопряженности $ Cl(a)$ элемента $ a$ , т.е. множество элементов сопряженных с $ a$ , состоит из одного элемента $ a$ , т.е. $ Cl(a)=\{a\}$ .

Определение. Центром $ Z$ группы $ G$ называется подмножество

$\displaystyle \{z\in G\,\vert\,zg=gz\,\forall\, g\in G\}.
$

Теорема. $ 1)$ Центр группы является подгруппой.

$ 2)$ Элемент $ z\in G$ принадлежит центру $ Z$ тогда и только тогда, когда $ Cl(z)=\{z\}$ .

$ 3)$ Центр $ z$ и любая подгруппа $ H\subset Z$ являются нормальными подгруппами в $ G$ .

Теорема. $ 1)$ $ Z(S_2)=S_2$ (группа порядка не больше $ 5$ всегда абелева), $ Z(S_n)=\{e\}$ при $ n>2$ .

$ 2)$ $ Z({\operatorname{GL}}(n,F))=\{\lambda E\,\vert\,\lambda\in
F\setminus\{0\}\}$ .

Пусть группа $ G$ действует на множестве $ M$ .

Определение. Стационарная подгруппа (или группа изотропии) $ St(a)$ точки $ a\in M$ -- это подмножество $ \{g\in
G\,\vert\,ga=a\}$ .

Проверим, что $ St(a)$ действительно является подгруппой в $ G$ : $ a)$ $ e\in St(a)$ , так как $ ea=a$ ; $ b)$ если $ g\in St(a)$ , то $ g^{-1}\in St(a)$ , так как из $ ga=a$ следует $ a=g^{-1}a$ ; $ c)$ если $ g,\,h\in St(a)$ , то $ gh\in St(a)$ , так как $ (gh)a=ga=a$ .

Теорема. Существует биективное соответствие между множеством левых смежных классов группы $ G$ по подгруппе $ St(a)$ и множеством (орбитой) $ G(a)$ , в частности $ \vert G(a)\vert=\vert G:St(a)\vert$ и $ \vert G(a)\vert$ -- делитель порядка группы $ G$ (если $ G$ конечна).

Если мы рассмотрим действие группы $ G$ на себе посредством сопряжениями, то $ G(a)=Cl(a)$ и $ St(a)=\{g\in G\,\vert\, ga=ag\}$ , т.е. $ St(a)$ -- это централизатор $ C_G(a)$ элемента $ a\in G$ .

Следствие. Число элементов группы $ G$ , сопряженных с фиксированным $ a\in G$ , равно индексу $ \vert C:C_G(a)\vert$ централизатора $ C_G(a)$ . В частности, число элементов в одном классе сопряженности делит порядок конечной группы.

Определение. Конечная группа $ G$ называется $ p$ -группой, если $ \vert G\vert=p^k$ , где $ p$ -- простое число.

Лемма. Всякая конечная группа $ G$ разлагается в объединение попарно непересекающихся подмножеств, т.е.

$\displaystyle G=Z \cup C_1 \cup C_2\cup\ldots\cup C_l,
$

где $ Z$ -- центр, а $ C_1,\dots,C_l$ -- классы сопряженности, состоящие более чем из одного элемента каждый.

Теорема. $ 1)$ Пусть $ G$ -- $ p$ -группа, т.е. группа порядка $ p^{k}$ , где $ p$ -- простое число. Тогда центр $ Z$ группы $ G$ содержит более одного элемента.

$ 2)$ Всякая группа порядка $ p^2$ абелева.

Лемма. Если порядок $ n$ конечной абелевой группы $ G$ делится на простое $ p$ , то в $ G$ есть элемент (и подгруппа) порядка $ p$ .

Лемма. Пусть $ N$ -- нормальная подгруппа в группе $ G$ . Тогда любая подгруппа $ K$ в факторгруппе $ G/N$ имеет вид $ K=H/N$ для некоторой подгруппы $ H$ .

Теорема [первая теорема Силова.] Если порядок $ n$ конечной группы $ G$ делится на $ p^k$ , где $ p$ -- простое число, то в $ G$ есть подгруппа порядка $ p^k$ .

Пример. Пусть $ \vert G\vert=12$ . Тогда в $ G$ есть подгруппы порядка $ 2,\,3,\,4$ .

Определение. Если $ \vert G\vert=p^km$ , где $ m$ не делится на $ p$ , то подгруппа порядка $ p^k$ называется силовской $ p$ -подгруппой.

Определение. Пусть $ H$ -- подгруппа в $ G$ и $ x\in G$ . Тогда множество $ xHx^{-1}=\{xhx^{-1}\,\vert\,h\in H\}$ называется сопряженной с $ H$ подгруппой.

Проверим, что $ xHx^{-1}$ является подгруппой: $ a)$ $ e\in xHx^{-1}$ ; $ b)$ если $ xhx^{-1}\in xHx^{-1}$ , то $ (xhx^{-1})^{-1}=xh^{-1}x^{-1}\in xHx^{-1}$ ; $ c)$ если $ xh_1x^{-1},\,xh_2x^{-1}\in xHx^{-1}$ , то $ xh_1x^{-1}xh_2x^{-1}=xh_1h_2x^{-1}\in xHx^{-1}$ .

Так как соответствие $ h\mapsto xhx^{-1}$ биективно, то $ \vert xHx^{-1}\vert=\vert H\vert$ .

Теорема [Силов.] Любые две силовские $ p$ -подгруппы конечной группы $ G$ сопряжены между собой.

Теорема [Силов.] Любая $ p$ -подгруппа конечной группы $ G$ содержится в некоторой силовской $ p$ -подгруппы.

Теорема [Силов.] Число $ N_p$ различных силовских $ p$ -подгрупп конечной группы $ G$ делит порядок группы $ G$ и $ N_p$ имеет вид $ tp+1$ для некоторого $ t$ , т.е. $ N_p$ сравнимо с $ 1$ по модулю $ p$ .

Утверждение. Доказать, что любая группа порядка $ 15$ является циклической.