Группы и алгебры Ли

Пусть

-- ассоциативная алгебра над полем

. Рассмотрим кольцевой коммутатор

Лемма. Операция коммутирования $[\,,\,]$ в алгебре билинейна и удовлетворяет тождествам:

(тождество антикоммутативности),

(тождество Якоби).

Из условия следует, что , т.е. .

Определение. Алгеброй Ли над полем называется алгебра с билинейной операцией $[\,,\,]$ , удовлетворяющей тождествам антикоммутативности и Якоби.

Определение. Подалгеброй Ли называется подалгебра, замкнутая относительно операции $[\,,\,]$ .

Пример. Алгебра ${\Bbb R}^3$ с векторным умножением является простой алгеброй Ли.

Определение. -мерным дифференцируемым вещественным многообразием называется подмножество $M\subseteq{\Bbb R}^n$ , которое в некоторой окрестности каждой своей точки $x_0\in M$ выделяется некоторой системой уравнений $f_i(x^1,\dots,x^n)=0$ , $i=1,\dots,n-k$ , где являются дифференцируемыми в окрестности точки $x_0=(x^1_0,\dots,x^n_0)$ функциями и ${\operatorname{rank}}\left(\dfrac{\partial f_i}{\partial x^j}\right)\Big\vert _{x_0}=n-k$ .

Определение. Касательное пространство $T_{x_0}M$ к многообразию в точке задается системой $df_i=\sum_j\dfrac{\partial f_i}{\partial x^j}dx^j=0$ , $i=1,\dots,n-k$ , где $(dx^1,\dots,dx^n)$ -- переменный вектор.

Утверждение. Касательное пространство $T_{x_0}M$ состоит из касательных векторов к кривым в , проходящих через точку .

Определение. Линейной группой Ли называется подгруппа $G\subseteq{\operatorname{GL}}(n,{\Bbb R})$ , которая является также дифференцируемым многообразием в пространстве ${\operatorname{M}}(n,{\Bbb R})$ всех матриц $(n\times n)$ .

Пусть $X_0\in G$ -- произвольный элемент группы Ли. Рассмотрим отображение $f{\colon}G\to G$ , заданное . Отображение является гомоморфизмом. Если -- окрестность единицы в , то -- является окрестностью точки . При отображении кривая переходит в кривую, касательный вектор в касательный, т.е. $T_{X_0}G=X_0T_EG$ .

Пусть $A=(a_{ij}(t))$ -- невырожденная матрица. Тогда $A'=(a_{ij}'(t))$ и , $(\lambda A)'=\lambda A'$ , , $(A^{-1})'=-A^{-1}A'A^{-1}$ .

Теорема. Если -- линейная группа Ли, то ее касательное пространство в единице является алгеброй Ли. Точнее, -- является подалгеброй в алгебре Ли ${\operatorname{M}}(n,{\Bbb R})$ относительно кольцевого коммутатора.

Пример. Пусть $G=\{E\}$ . Тогда является многообразием нулевой размерности, оно выделяется системой из уравнений $x_{ij}=\delta_{ij}$ .

Пусть $G={\operatorname{GL}}(n,{\Bbb R})$ и $X_0\in G$ , т.е. $\det X_0\ne0$ . Так как определитель является непрерывной функцией, то существует достаточно маленькая окрестность точки , которая целиком лежит в . Следовательно, группа выделяется с помощью пустой системы и ${\operatorname{dim}} G=n^2$ . Легко проверить, что $L(G)=T_EG={\operatorname{M}}(n,{\Bbb R})$ .

Пусть $G={\operatorname{SL}}(n,{\Bbb R})\subset {\operatorname{GL}}(n,{\Bbb R})$ . Группа выделяется одним уравнением $\det X=1$ , причем $\dfrac{\partial(\det X)}{\partial x_{ij}}=X_{ij}$ -- алгебраическое дополнение и ${\operatorname{rank}}\left(\dfrac{\partial(\det X)}{\partial x_{ij}}\right)=1$ . Следовательно, является -мерным дифференцируемым многообразием. Касательное пространство задается системой $0=d(\det X)=\sum_{ij} X_{ij}\big\vert _Edx_{ij}=\sum_idx_{ii}={\operatorname{Tr}}(dX)$ . Таким образом, -- алгебра Ли всех матриц с нулевым следом.

Пусть $G={\operatorname{O}}(n,{\Bbb R})\subset {\operatorname{GL}}(n,{\Bbb R})$ . Группа выделяется системой $X^\top X=E$ из $\dfrac{n^2+n}{2}$ уравнений. Касательное пространство задается системой $0=d(XX^\top)\big\vert _E=\Bigl((dX)X^\top+X(dX)^\top\Bigr)\big\vert _E=dX+(dX)^\top$ . Таким образом, -- алгебра Ли всех кососимметричных матриц и ${\operatorname{dim}} L(G)=\dfrac{n^2-n}{2}$ . Следовательно, ранг матрицы Якоби системы $XX^\top=E$ равен $\dfrac{n^2+n}{2}$ и является $\dfrac{n^2-n}{2}$ -мерным дифференцируемым многообразием.

Пусть $G={\operatorname{T}}(n,{\Bbb R})$ -- группа невырожденных верхнетреугольных матриц. Группа выделяется системой $x_{ij}=0$ при из $\dfrac{n^2-n}{2}$ уравнений. Ранг матрицы Якоби этой системы равен $\dfrac{n^2-n}{2}$ и является $\dfrac{n^2+n}{2}$ -мерным дифференцируемым многообразием. Касательное пространство задается системой $0=dx_{ij}$ при . Таким образом, -- алгебра Ли всех верхнетреугольных матриц.

Следствие. Если $G_1\subset G_2$ , -- группы Ли в ${\operatorname{GL}}(n,{\Bbb R})$ . Тогда -- подалгебра Ли в . Если $G_1\lhd G_2$ , то $L(G_1)\lhd L(G_2)$ .

Определение. Пусть $A\in{\operatorname{M}}(n,{\Bbb R})$ . Тогда нормой матрицы называется функция $\Vert A\Vert=\max_i\sum_{k=1}^n\vert a_{ik}\vert$ .

Замечание. Норма матрицы $\Vert A\Vert$ действительно является нормой, т.е. удовлетворяет условиям нормы: $\Vert A\Vert=0$ тогда и только тогда, когда ; $\Vert\lambda A\Vert=\lambda\Vert A\Vert$ ; $\Vert A+B\Vert\leqslant\Vert A\Vert+\Vert B\Vert$ .

Пусть . Тогда $\Vert C\Vert\leqslant\Vert A\Vert\Vert B\Vert$ . Действительно, для любого имеем

$\displaystyle \sum_{j=1}^n\vert c_{ij}\vert=\sum_{j=1}^n\left\vert\sum_{k=1}^na... ...m_{k=1}^n\vert a_{ik}\vert\vert b_{kj}\vert\leqslant\Vert A\Vert\Vert B\Vert.$

Рассмотрим ряд $\sum_{i=0}^\infty c_iA^i$ . Этот ряд сходится по элементно, если сходится ряд $\sum_{i=0}^\infty\vert c_i\vert\Vert A^i\Vert$ , так как $\vert a_{ij}\vert<\Vert A\Vert$ .

Определим экспоненту $\exp A$ матрицы , положив $\exp A=E+A+\dfrac{A^2}{2!}+\dfrac{A^3}{3!}+\ldots$ Ряд $\sum_i\dfrac{\Vert A\Vert^i}{i!}$ сходится при любых значениях нормы, следовательно ряд, определяющий $\exp$ , сходится.

Если матрицы и коммутируют, то $\exp(A+B)=\exp A+\exp B$ . Так как $\exp\bigl((t+s)A\bigr)=\exp(sA)\exp(tA)$ , то отображение $f{\colon}{\Bbb R}\to{\operatorname{GL}}(n,{\Bbb R})$ , $f(t)=\exp(tA)$ , является гомоморфизмом групп и $\{\exp(tA)\}_{t\in{\Bbb R}}$ -- однопараметрическая подгруппа в ${\operatorname{GL}}(n,{\Bbb R})$ .

Определим функцию $\log(E+A)=\sum_{i=1}^\infty(-1)^{i+1}\dfrac{A^i}{i}$ . При $\Vert A\Vert<1$ , ряд определяющий $\log$ сходится и при достаточно малых $\Vert A\Vert$ справедливы равенства $\exp(\log(E+A))=E+A$ и $\log(\exp A)=A$ .

Теорема. При $A\ne0$ однопараметрическая группа $\{\exp(tA)\}_{t\in{\Bbb R}}$ является одномерной подгруппой Ли в ${\operatorname{GL}}(n,{\Bbb R})$ .

Теорема. Если -- группа Ли ненулевой размерности, а -- ее касательная алгебра Ли, то для любой матрицы $A\in L(G)$ , $A\ne0$ , подгруппа $\{\exp(tA)\}_{t\in{\Bbb R}}$ является подгруппой в .

Следствие. Пусть -- -мерная группа Ли ( ), -- ее касательная алгебра Ли. Тогда в и существуют окрестности и единицы и нуля соответственно такие, что отображение $\exp{\colon}U\to V$ и $\log{\colon}V\to U$ являются взаимно обратными.

Определение. Группа Ли называется связной, если для любых точек $A,\,B\in G$ существует кривая (непрерывная функция) $x(t)\subseteq G$ такая, что и .

Теорема. Связная группа Ли порождается любой окрестностью единицы.

Следствие. Всякая связная группа Ли определяется своей касательной алгеброй Ли.

Пример. Рассмотрим группы ${\operatorname{SO}}(n,{\Bbb R})$ и ${\operatorname{O}}(n,{\Bbb R})$ . Они имеют одинаковые алгебры Ли, но сами не равны. Группа ${\operatorname{O}}(n,{\Bbb R})$ не является связной, а группа ${\operatorname{SO}}(n,{\Bbb R})$ связна. Поскольку любая точка вида

$\displaystyle \left(\begin {array}{cccccccccc} \cos\varphi_1 & -\sin\varphi_1 ... ...s & 0 & 0 & 0 &\dots&1 \end {array}\right)\in{\operatorname{SO}}(n,{\Bbb R})$

соединяется с

кривой

$\displaystyle \left(\begin {array}{cccccccccc} \cos t\varphi_1 & -\sin t\varph... ... & 0 & 0 & 0 &\dots&1 \end {array}\right)\in{\operatorname{SO}}(n,{\Bbb R}).$