MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Группы и алгебры Ли

Пусть $ A$ -- ассоциативная алгебра над полем $ F$ . Рассмотрим кольцевой коммутатор $ [a,b]=ab-ba$ .

Лемма. Операция коммутирования $ [\,,\,]$ в алгебре $ A$ билинейна и удовлетворяет тождествам:

$ 1)$ $ [a,a]=0$ (тождество антикоммутативности),

$ 2)$ $ [[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=0$ (тождество Якоби).

Из условия $ 1)$ следует, что $ 0=[a+b,a+b]=[a,a]+[a,b]+[b,a]+[b,b]$ , т.е. $ [a,b]=-[b,a]$ .

Определение. Алгеброй Ли над полем $ F$ называется алгебра с билинейной операцией $ [\,,\,]$ , удовлетворяющей тождествам антикоммутативности и Якоби.

Определение. Подалгеброй Ли называется подалгебра, замкнутая относительно операции $ [\,,\,]$ .

Пример. Алгебра $ {\Bbb R}^3$ с векторным умножением является простой алгеброй Ли.

Определение. $ k$ -мерным дифференцируемым вещественным многообразием называется подмножество $ M\subseteq{\Bbb R}^n$ , которое в некоторой окрестности каждой своей точки $ x_0\in M$ выделяется некоторой системой уравнений $ f_i(x^1,\dots,x^n)=0$ , $ i=1,\dots,n-k$ , где $ f_i$ являются дифференцируемыми в окрестности точки $ x_0=(x^1_0,\dots,x^n_0)$ функциями и $ {\operatorname{rank}}\left(\dfrac{\partial f_i}{\partial
x^j}\right)\Big\vert _{x_0}=n-k$ .

Определение. Касательное пространство $ T_{x_0}M$ к многообразию $ M$ в точке $ x_0$ задается системой $ df_i=\sum_j\dfrac{\partial f_i}{\partial x^j}dx^j=0$ , $ i=1,\dots,n-k$ , где $ (dx^1,\dots,dx^n)$ -- переменный вектор.

Утверждение. Касательное пространство $ T_{x_0}M$ состоит из касательных векторов к кривым в $ M$ , проходящих через точку $ x_0$ .

Определение. Линейной группой Ли $ G$ называется подгруппа $ G\subseteq{\operatorname{GL}}(n,{\Bbb R})$ , которая является также дифференцируемым многообразием в пространстве $ {\operatorname{M}}(n,{\Bbb R})$ всех матриц $ (n\times n)$ .

Пусть $ X_0\in G$ -- произвольный элемент группы Ли. Рассмотрим отображение $ f{\colon}G\to G$ , заданное $ f(A)=X_0A$ . Отображение $ f$ является гомоморфизмом. Если $ U_E$ -- окрестность единицы в $ G$ , то $ f(U)=X_0U$ -- является окрестностью точки $ X_0$ . При отображении $ f$ кривая переходит в кривую, касательный вектор в касательный, т.е. $ T_{X_0}G=X_0T_EG$ .

Пусть $ A=(a_{ij}(t))$ -- невырожденная матрица. Тогда $ A'=(a_{ij}'(t))$ и $ (A+B)'=A'+B'$ , $ (\lambda A)'=\lambda A'$ , $ (AB)'=A'B+AB'$ , $ (A^{-1})'=-A^{-1}A'A^{-1}$ .

Теорема. Если $ G$ -- линейная группа Ли, то ее касательное пространство $ T_EG$ в единице является алгеброй Ли. Точнее, $ T_EG$ -- является подалгеброй в алгебре Ли $ {\operatorname{M}}(n,{\Bbb R})$ относительно кольцевого коммутатора.

Пример. $ 1)$ Пусть $ G=\{E\}$ . Тогда $ G$ является многообразием нулевой размерности, оно выделяется системой из $ n^2$ уравнений $ x_{ij}=\delta_{ij}$ .

$ 2)$ Пусть $ G={\operatorname{GL}}(n,{\Bbb R})$ и $ X_0\in G$ , т.е. $ \det X_0\ne0$ . Так как определитель является непрерывной функцией, то существует достаточно маленькая окрестность точки $ X_0$ , которая целиком лежит в $ G$ . Следовательно, группа $ G$ выделяется с помощью пустой системы и $ {\operatorname{dim}} G=n^2$ . Легко проверить, что $ L(G)=T_EG={\operatorname{M}}(n,{\Bbb R})$ .

$ 3)$ Пусть $ G={\operatorname{SL}}(n,{\Bbb R})\subset
{\operatorname{GL}}(n,{\Bbb R})$ . Группа $ G$ выделяется одним уравнением $ \det X=1$ , причем $ \dfrac{\partial(\det X)}{\partial
x_{ij}}=X_{ij}$ -- алгебраическое дополнение и $ {\operatorname{rank}}\left(\dfrac{\partial(\det X)}{\partial
x_{ij}}\right)=1$ . Следовательно, $ G$ является $ (n^2-1)$ -мерным дифференцируемым многообразием. Касательное пространство $ L(G)=T_EG$ задается системой $ 0=d(\det X)=\sum_{ij}
X_{ij}\big\vert _Edx_{ij}=\sum_idx_{ii}={\operatorname{Tr}}(dX)$ . Таким образом, $ L(G)$ -- алгебра Ли всех матриц с нулевым следом.

$ 4)$ Пусть $ G={\operatorname{O}}(n,{\Bbb R})\subset
{\operatorname{GL}}(n,{\Bbb R})$ . Группа $ G$ выделяется системой $ X^\top X=E$ из $ \dfrac{n^2+n}{2}$ уравнений. Касательное пространство $ L(G)=T_EG$ задается системой $ 0=d(XX^\top)\big\vert _E=\Bigl((dX)X^\top+X(dX)^\top\Bigr)\big\vert _E=dX+(dX)^\top$ . Таким образом, $ L(G)$ -- алгебра Ли всех кососимметричных матриц и $ {\operatorname{dim}} L(G)=\dfrac{n^2-n}{2}$ . Следовательно, ранг матрицы Якоби системы $ XX^\top=E$ равен $ \dfrac{n^2+n}{2}$ и $ G$ является $ \dfrac{n^2-n}{2}$ -мерным дифференцируемым многообразием.

$ 5)$ Пусть $ G={\operatorname{T}}(n,{\Bbb R})$ -- группа невырожденных верхнетреугольных матриц. Группа $ G$ выделяется системой $ x_{ij}=0$ при $ i>j$ из $ \dfrac{n^2-n}{2}$ уравнений. Ранг матрицы Якоби этой системы равен $ \dfrac{n^2-n}{2}$ и $ G$ является $ \dfrac{n^2+n}{2}$ -мерным дифференцируемым многообразием. Касательное пространство $ L(G)=T_EG$ задается системой $ 0=dx_{ij}$ при $ i>j$ . Таким образом, $ L(G)$ -- алгебра Ли всех верхнетреугольных матриц.

Следствие. Если $ G_1\subset G_2$ , $ G_2$ -- группы Ли в $ {\operatorname{GL}}(n,{\Bbb R})$ . Тогда $ L(G_1)$ -- подалгебра Ли в $ L(G_2)$ . Если $ G_1\lhd G_2$ , то $ L(G_1)\lhd L(G_2)$ .

Определение. Пусть $ A\in{\operatorname{M}}(n,{\Bbb R})$ . Тогда нормой матрицы $ A$ называется функция $ \Vert A\Vert=\max_i\sum_{k=1}^n\vert a_{ik}\vert$ .

Замечание. Норма матрицы $ \Vert A\Vert$ действительно является нормой, т.е. удовлетворяет условиям нормы: $ 1)$ $ \Vert A\Vert=0$ тогда и только тогда, когда $ A=0$ ; $ 2)$ $ \Vert\lambda A\Vert=\lambda\Vert A\Vert$ ; $ 3)$ $ \Vert A+B\Vert\leqslant\Vert A\Vert+\Vert B\Vert$ .

Пусть $ C=AB$ . Тогда $ \Vert C\Vert\leqslant\Vert A\Vert\Vert B\Vert$ . Действительно, для любого $ i$ имеем

$\displaystyle \sum_{j=1}^n\vert c_{ij}\vert=\sum_{j=1}^n\left\vert\sum_{k=1}^na...
...m_{k=1}^n\vert a_{ik}\vert\vert b_{kj}\vert\leqslant\Vert A\Vert\Vert B\Vert.
$

Рассмотрим ряд $ \sum_{i=0}^\infty c_iA^i$ . Этот ряд сходится по элементно, если сходится ряд $ \sum_{i=0}^\infty\vert c_i\vert\Vert A^i\Vert$ , так как $ \vert a_{ij}\vert<\Vert A\Vert$ .

Определим экспоненту $ \exp A$ матрицы $ A$ , положив $ \exp A=E+A+\dfrac{A^2}{2!}+\dfrac{A^3}{3!}+\ldots$ Ряд $ \sum_i\dfrac{\Vert A\Vert^i}{i!}$ сходится при любых значениях нормы, следовательно ряд, определяющий $ \exp$ , сходится.

Если матрицы $ A$ и $ B$ коммутируют, то $ \exp(A+B)=\exp A+\exp B$ . Так как $ \exp\bigl((t+s)A\bigr)=\exp(sA)\exp(tA)$ , то отображение $ f{\colon}{\Bbb R}\to{\operatorname{GL}}(n,{\Bbb R})$ , $ f(t)=\exp(tA)$ , является гомоморфизмом групп и $ \{\exp(tA)\}_{t\in{\Bbb R}}$ -- однопараметрическая подгруппа в $ {\operatorname{GL}}(n,{\Bbb R})$ .

Определим функцию $ \log(E+A)=\sum_{i=1}^\infty(-1)^{i+1}\dfrac{A^i}{i}$ . При $ \Vert A\Vert<1$ , ряд определяющий $ \log$ сходится и при достаточно малых $ \Vert A\Vert$ справедливы равенства $ \exp(\log(E+A))=E+A$ и $ \log(\exp A)=A$ .

Теорема. При $ A\ne0$ однопараметрическая группа $ \{\exp(tA)\}_{t\in{\Bbb R}}$ является одномерной подгруппой Ли в $ {\operatorname{GL}}(n,{\Bbb R})$ .

Теорема. Если $ G$ -- группа Ли ненулевой размерности, а $ L(G)$ -- ее касательная алгебра Ли, то для любой матрицы $ A\in
L(G)$ , $ A\ne0$ , подгруппа $ \{\exp(tA)\}_{t\in{\Bbb R}}$ является подгруппой в $ G$ .

Следствие. Пусть $ G$ -- $ k$ -мерная группа Ли ($ k>0$ ), $ L(G)$ -- ее касательная алгебра Ли. Тогда в $ G$ и $ L(G)$ существуют окрестности $ V$ и $ U$ единицы и нуля соответственно такие, что отображение $ \exp{\colon}U\to V$ и $ \log{\colon}V\to U$ являются взаимно обратными.

Определение. Группа Ли $ G$ называется связной, если для любых точек $ A,\,B\in G$ существует кривая (непрерывная функция) $ x(t)\subseteq G$ такая, что $ x(0)=A$ и $ x(1)=B$ .

Теорема. Связная группа Ли порождается любой окрестностью единицы.

Следствие. Всякая связная группа Ли определяется своей касательной алгеброй Ли.

Пример. Рассмотрим группы $ {\operatorname{SO}}(n,{\Bbb R})$ и $ {\operatorname{O}}(n,{\Bbb R})$ . Они имеют одинаковые алгебры Ли, но сами не равны. Группа $ {\operatorname{O}}(n,{\Bbb R})$ не является связной, а группа $ {\operatorname{SO}}(n,{\Bbb R})$ связна. Поскольку любая точка вида

$\displaystyle \left(\begin {array}{cccccccccc}
\cos\varphi_1 & -\sin\varphi_1 ...
...s & 0 & 0 & 0 &\dots&1
\end {array}\right)\in{\operatorname{SO}}(n,{\Bbb R})
$

соединяется с $ E$ кривой

$\displaystyle \left(\begin {array}{cccccccccc}
\cos t\varphi_1 & -\sin t\varph...
... & 0 & 0 & 0 &\dots&1
\end {array}\right)\in{\operatorname{SO}}(n,{\Bbb R}).
$