Линейные представления групп

Пусть

-- линейное пространство над полем

, и ${\operatorname{GL}}(V)$ -- группа всех невырожденных линейных операторов на

. Рассмотрим произвольную группу

Определение. Линейное представление группы над полем -- это гомоморфизм $\Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ , т.е. для любого $g\in G$ образ $\Phi(g)$ является линейным невырожденным оператором.

Замечание. Так как $\Phi(gh)=\Phi(g)\Phi(h)$ , то $\Phi$ -- это действие группы на линейном пространстве . Таким образом, линейное представление группы -- это линейное действие группы на некотором линейном пространстве.

Определение. Размерность (степень) линейного представления $\Phi$ -- это размерность ${\operatorname{dim}} V$ . Ядро представления $\Phi$ -- это ядро ${\operatorname{Ker}}\Phi$ гомоморфизма $\Phi$ .

Если ${\operatorname{Ker}}\Phi=\{e\}$ , то представление называется точным (в этом случае $G\cong{\operatorname{Im}}\Phi\subseteq {\operatorname{GL}}(V)$ ).

Пример. Пусть $G={\langle}a{\rangle}_\infty\cong{\Bbb Z}_+$ , и ${\cal A}\in{\operatorname{GL}}(V)$ . Определим $\Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ , положив $\Phi(a^k)={\cal A}^k$ , $k\in{\Bbb Z}$ (это отображение действительно является гомоморфизмом). Таким образом, задано линейное представление.

Пусть $G={\Bbb R}_+$ , и -- пространство непрерывных функций $f{\colon}{\Bbb R}\to{\Bbb R}$ . Определим $\Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ , положив $\Phi(t)=s(t)$ , где -- линейный оператор сдвига, т.е. -- это функция, принимающая в каждой точке значение $\bigl(s(t)f\bigr)(x)=f(x+t)$ . Это отображение является гомоморфизмом, так как $\bigl(s(t_1)s(t_2)f\bigr)(x)=f(x+t_1+t_2)=\bigl(s(t_1+t_2)f\bigr)(x)$ . Таким образом, задано бесконечномерное точное линейное представление.

Пусть $G={\Bbb R}_+$ , и $U={\operatorname{Lin}}(\cos x,\sin x)$ -- подпространство пространства непрерывных функций $f{\colon}{\Bbb R}\to{\Bbb R}$ . Определим $\Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(U)$ , положив $\Phi(t)=s(t)\big\vert _U$ , где из . Таким образом, задано двумерное линейное представление с ядром ${\operatorname{Ker}}\Phi=\{2\pi k,\, k\in{\Bbb Z}\}$ .

Пусть , и -- двумерное пространство над ${\Bbb R}$ . Определим $\Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ , положив $\Phi(\sigma)\in D_3\subseteq{\operatorname{GL}}(V)$ -- движение треугольника с вершинами , где -- группа Диэдра. Это отображение является гомоморфизмом, и $S_3\cong {\operatorname{Im}}\Phi=D_3$ . Таким образом, задано двумерное точное линейное представление.

Если подгруппа в ${\operatorname{GL}}(V)$ , то $\Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ определим как тождественное отображение.

Пусть $G={\operatorname{GL}}(V)$ , где -- -мерное векторное пространство над , и -- пространство всех линейных операторов на ( ${\operatorname{dim}} W=n^2$ ). Построим отображение $\Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(W)$ , определив оператор $\Phi({\cal A})\in{\operatorname{GL}}(W)$ равенством $\Phi({\cal A})({\cal X})={\cal A}{\cal X}{\cal A}^{-1}$ , где ${\cal A}\in G={\operatorname{GL}}(V)$ и ${\cal X}\in W$ . Это отображение действительно является гомоморфизмом, $\Phi({\cal A}{\cal B})=\Phi({\cal A})\Phi({\cal B})$ и $\Phi({\cal E})$ -- тождественный оператор на .

Найдем ${\operatorname{Ker}}\Phi$ . Имеем

$\displaystyle {\operatorname{Ker}}\Phi=\{{\cal A}\in {\operatorname{GL}}(V),\,... ...V),\,\vert\,{\cal A}{\cal X}{\cal A}^{-1}={\cal X},\,\forall {\cal X}\in W\}=$
$\displaystyle =\{{\cal A}\in {\operatorname{GL}}(V),\,\vert\,{\cal A}{\cal X}={\cal X}{\cal A},\,\forall {\cal X}\in W\}\ne\{{\cal E}\}.$

Таким образом, задано неточное линейное представление.

Пусть , и -- -мерное линейное пространство с базисом $({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ . Определим $\Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ , задав $\Phi(\sigma)\in {\operatorname{GL}}(V)$ , где $\sigma\in S_n$ , на базисных векторах равенством $\Phi(\sigma)({\mathbf e}_i)={\mathbf e}_{\sigma(i)}$ . Очевидно, что $\Phi(\sigma\pi)=\Phi(\sigma)\Phi(\pi)$ . Таким образом, задано точное линейное представление.

Пусть -- любая конечная группа порядка . По теореме Кэли существует вложение в . Используя пункт получаем регулярное представление $\rho{\colon}G\to S_n\to{\operatorname{GL}}(V)$ группы . Опишем его. Так как $\vert G\vert=n$ , то занумеруем векторы базиса с помощью элементов из , т.е. $\{{\mathbf e}_g\}$ , $g\in G$ , -- базис. Тогда $\rho{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ определяется как $\rho(h)({\mathbf e}_g)={\mathbf e}_{hg}$ . Легко проверяется, что $\rho$ -- гомоморфизм и ${\operatorname{Ker}}\rho=\{e\}$ , т.е. регулярное представление точно.

Пусть -- произвольная группа, и -- любое пространство. Определим $\Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ равенством $\Phi(g)={\cal E}$ для любого $g\in G$ . Это тривиальное представление.

Замечание. Если ${\operatorname{dim}} V=n$ , то, используя изоморфизм ${\operatorname{GL}}(V)\cong{\operatorname{GL}}(n,F)$ , мы получим гомоморфизм $\Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(n,F)$ .

Пусть даны два представления $\Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ и $\Psi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(W)$ группы .

Определение. Говорят, что два представления $\Phi$ и $\Psi$ одной группы изоморфны (эквивалентны), если существует изоморфизм $\alpha{\colon}V\to W$ такой, что $\alpha\Phi(g)=\Psi(g)\alpha$ , для любого $g\in G$ , т.е. диаграмма

$\displaystyle \begin {CD} V @ >\Phi(g)>> V \\ @V\alpha VV @ V\alpha VV\\ W @ >\Psi(g)>> W \\ \end {CD}$

коммутативна для любого $g\in G$ .

Пусть $({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ -- базис в , $({\mathbf e}'_1,\dots,{\mathbf e}'_n)$ -- базис в , где ${\mathbf e}'_k=\alpha({\mathbf e}_k)$ . Пусть -- матрица оператора $\Psi(g)$ в базисе $({\mathbf e}'_1,\dots,{\mathbf e}'_n)$ , т.е. $\Psi(g)({\mathbf e}'_j)=a^i_j{\mathbf e}'_i$ . Тогда $\Phi(g)({\mathbf e}_j)=\bigl(\alpha^{-1}\Psi(g)\alpha\bigr)({\mathbf e}_j)= \alpha^{-1}(a^i_j{\mathbf e}'_i)=a^i_j{\mathbf e}_i$ . Таким образом, если два представления изоморфны, то можно выбрать базисы, в котором $\Phi(g)$ и $\Psi(g)$ имеют одинаковую матрицу.

Определение. Пусть $F={\Bbb R}$ или ${\Bbb C}$ , и -- евклидово или унитарное пространство. Представление $\Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ группы называется ортогональным (унитарным), если все операторы $\Phi(g)$ ортогональны (унитарны).

Теорема. Пусть -- евклидово (унитарное) пространство. Всякое конечномерное представление $\Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ конечной группы над ${\Bbb R}$ (над ${\Bbb C}$ ) изоморфно некоторому ортогональному (унитарному) представлению $\Psi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ .