MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Линейные представления групп

Пусть $ V$ -- линейное пространство над полем $ F$ , и $ {\operatorname{GL}}(V)$ -- группа всех невырожденных линейных операторов на $ V$ . Рассмотрим произвольную группу $ G$ .

Определение. Линейное представление группы $ G$ над полем $ F$ -- это гомоморфизм $ \Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ , т.е. для любого $ g\in G$ образ $ \Phi(g)$ является линейным невырожденным оператором.

Замечание. Так как $ \Phi(gh)=\Phi(g)\Phi(h)$ , то $ \Phi$ -- это действие группы $ G$ на линейном пространстве $ V$ . Таким образом, линейное представление группы -- это линейное действие группы на некотором линейном пространстве.

Определение. Размерность (степень) линейного представления $ \Phi$ -- это размерность $ {\operatorname{dim}} V$ . Ядро представления $ \Phi$ -- это ядро $ {\operatorname{Ker}}\Phi$ гомоморфизма $ \Phi$ .

Если $ {\operatorname{Ker}}\Phi=\{e\}$ , то представление называется точным (в этом случае $ G\cong{\operatorname{Im}}\Phi\subseteq
{\operatorname{GL}}(V)$ ).

Пример. $ 1)$ Пусть $ G={\langle}a{\rangle}_\infty\cong{\Bbb
Z}_+$ , и $ {\cal A}\in{\operatorname{GL}}(V)$ . Определим $ \Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ , положив $ \Phi(a^k)={\cal
A}^k$ , $ k\in{\Bbb Z}$ (это отображение действительно является гомоморфизмом). Таким образом, задано линейное представление.

$ 2)$ Пусть $ G={\Bbb R}_+$ , и $ V$ -- пространство непрерывных функций $ f{\colon}{\Bbb R}\to{\Bbb R}$ . Определим $ \Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ , положив $ \Phi(t)=s(t)$ , где $ s(t)$ -- линейный оператор сдвига, т.е. $ s(t)f$ -- это функция, принимающая в каждой точке $ x$ значение $ \bigl(s(t)f\bigr)(x)=f(x+t)$ . Это отображение является гомоморфизмом, так как $ \bigl(s(t_1)s(t_2)f\bigr)(x)=f(x+t_1+t_2)=\bigl(s(t_1+t_2)f\bigr)(x)$ . Таким образом, задано бесконечномерное точное линейное представление.

$ 3)$ Пусть $ G={\Bbb R}_+$ , и $ U={\operatorname{Lin}}(\cos x,\sin x)$ -- подпространство пространства $ V$ непрерывных функций $ f{\colon}{\Bbb R}\to{\Bbb R}$ . Определим $ \Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(U)$ , положив $ \Phi(t)=s(t)\big\vert _U$ , где $ s(t)$ из $ 2)$ . Таким образом, задано двумерное линейное представление с ядром $ {\operatorname{Ker}}\Phi=\{2\pi k,\, k\in{\Bbb Z}\}$ .

$ 4)$ Пусть $ G=S_3$ , и $ V$ -- двумерное пространство над $ {\Bbb R}$ . Определим $ \Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ , положив $ \Phi(\sigma)\in D_3\subseteq{\operatorname{GL}}(V)$ -- движение треугольника с вершинами $ 123$ , где $ D_3$ -- группа Диэдра. Это отображение является гомоморфизмом, и $ S_3\cong
{\operatorname{Im}}\Phi=D_3$ . Таким образом, задано двумерное точное линейное представление.

$ 5)$ Если $ G$ подгруппа в $ {\operatorname{GL}}(V)$ , то $ \Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ определим как тождественное отображение.

$ 6)$ Пусть $ G={\operatorname{GL}}(V)$ , где $ V$ -- $ n$ -мерное векторное пространство над $ F$ , и $ W$ -- пространство всех линейных операторов на $ V$ ( $ {\operatorname{dim}} W=n^2$ ). Построим отображение $ \Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(W)$ , определив оператор $ \Phi({\cal A})\in{\operatorname{GL}}(W)$ равенством $ \Phi({\cal A})({\cal X})={\cal A}{\cal X}{\cal A}^{-1}$ , где $ {\cal
A}\in G={\operatorname{GL}}(V)$ и $ {\cal X}\in W$ . Это отображение действительно является гомоморфизмом, $ \Phi({\cal A}{\cal
B})=\Phi({\cal A})\Phi({\cal B})$ и $ \Phi({\cal E})$ -- тождественный оператор на $ W$ .

Найдем $ {\operatorname{Ker}}\Phi$ . Имеем

$\displaystyle {\operatorname{Ker}}\Phi=\{{\cal A}\in
 {\operatorname{GL}}(V),\,...
...V),\,\vert\,{\cal A}{\cal X}{\cal A}^{-1}={\cal
 X},\,\forall
 {\cal X}\in W\}=$    
$\displaystyle =\{{\cal A}\in {\operatorname{GL}}(V),\,\vert\,{\cal A}{\cal X}={\cal
 X}{\cal A},\,\forall {\cal X}\in W\}\ne\{{\cal E}\}.$    

Таким образом, задано неточное линейное представление.

$ 7)$ Пусть $ G=S_n$ , и $ V$ -- $ n$ -мерное линейное пространство с базисом $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ . Определим $ \Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ , задав $ \Phi(\sigma)\in
{\operatorname{GL}}(V)$ , где $ \sigma\in S_n$ , на базисных векторах равенством $ \Phi(\sigma)({\mathbf e}_i)={\mathbf e}_{\sigma(i)}$ . Очевидно, что $ \Phi(\sigma\pi)=\Phi(\sigma)\Phi(\pi)$ . Таким образом, задано точное линейное представление.

$ 8)$ Пусть $ G$ -- любая конечная группа порядка $ n$ . По теореме Кэли существует вложение $ G$ в $ S_n$ . Используя пункт $ 7)$ получаем регулярное представление $ \rho{\colon}G\to
S_n\to{\operatorname{GL}}(V)$ группы $ G$ . Опишем его. Так как $ \vert G\vert=n$ , то занумеруем векторы базиса с помощью элементов из $ G$ , т.е. $ \{{\mathbf e}_g\}$ , $ g\in G$ , -- базис. Тогда $ \rho{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ определяется как $ \rho(h)({\mathbf e}_g)={\mathbf e}_{hg}$ . Легко проверяется, что $ \rho$ -- гомоморфизм и $ {\operatorname{Ker}}\rho=\{e\}$ , т.е. регулярное представление точно.

$ 9)$ Пусть $ G$ -- произвольная группа, и $ V$ -- любое пространство. Определим $ \Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ равенством $ \Phi(g)={\cal E}$ для любого $ g\in G$ . Это тривиальное представление.

Замечание. Если $ {\operatorname{dim}} V=n$ , то, используя изоморфизм $ {\operatorname{GL}}(V)\cong{\operatorname{GL}}(n,F)$ , мы получим гомоморфизм $ \Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(n,F)$ .

Пусть даны два представления $ \Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ и $ \Psi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(W)$ группы $ G$ .

Определение. Говорят, что два представления $ \Phi$ и $ \Psi$ одной группы $ G$ изоморфны (эквивалентны), если существует изоморфизм $ \alpha{\colon}V\to W$ такой, что $ \alpha\Phi(g)=\Psi(g)\alpha$ , для любого $ g\in G$ , т.е. диаграмма

$\displaystyle \begin {CD}
V @ >\Phi(g)>> V \\
@V\alpha VV @ V\alpha VV\\
W @ >\Psi(g)>> W \\
\end {CD}
$

коммутативна для любого $ g\in G$ .

Пусть $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ -- базис в $ V$ , $ ({\mathbf e}'_1,\dots,{\mathbf e}'_n)$ -- базис в $ W$ , где $ {\mathbf e}'_k=\alpha({\mathbf e}_k)$ . Пусть $ A$ -- матрица оператора $ \Psi(g)$ в базисе $ ({\mathbf e}'_1,\dots,{\mathbf e}'_n)$ , т.е. $ \Psi(g)({\mathbf e}'_j)=a^i_j{\mathbf e}'_i$ . Тогда $ \Phi(g)({\mathbf
e}_j)=\bigl(\alpha^{-1}\Psi(g)\alpha\bigr)({\mathbf e}_j)=
\alpha^{-1}(a^i_j{\mathbf e}'_i)=a^i_j{\mathbf e}_i$ . Таким образом, если два представления изоморфны, то можно выбрать базисы, в котором $ \Phi(g)$ и $ \Psi(g)$ имеют одинаковую матрицу.

Определение. Пусть $ F={\Bbb R}$ или $ {\Bbb C}$ , и $ V$ -- евклидово или унитарное пространство. Представление $ \Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ группы $ G$ называется ортогональным (унитарным), если все операторы $ \Phi(g)$ ортогональны (унитарны).

Теорема. Пусть $ V$ -- евклидово (унитарное) пространство. Всякое конечномерное представление $ \Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ конечной группы $ G$ над $ {\Bbb R}$ (над $ {\Bbb C}$ ) изоморфно некоторому ортогональному (унитарному) представлению $ \Psi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ .