Прямые произведения (и прямые суммы)

Определение. Пусть $G_1,\dots,G_k$ -- произвольные группы. Тогда их прямое произведение $G_1\times\ldots\times G_k$ -- это множество строк $(g_1,\dots,g_k)$ , где $g_i\in G_i$ , с операцией умножения $(g_1,\dots,g_k)(g'_1,\dots,g'_k)=(g_1g'_1,\dots,g_kg'_k)$ .

Множество $G_1\times\ldots\times G_k$ с такой операцией умножения является группой, причем единица это $(e,\dots,e)$ , а $(g_1,\dots,g_k)^{-1}=(g_1^{-1},\dots,g_k^{-1})$ .

Теорема. Если $G_1,\dots,G_k$ -- конечные группы, то $\vert G_1\times\ldots\times G_k\vert=\vert G_1\vert\ldots\vert G_k\vert$ .

Если $g=(g_1,\dots,g_k)\in G_1\times\ldots\times G_k$ , то порядок элемента равен наименьшему общему кратному порядков элементов $g_1,\dots,g_k$ .

Группа $G_1\times\ldots\times G_k$ является абелевой тогда и только тогда, когда все группы $G_1,\dots,G_k$ абелевы.

Определение. Говорят, что группа разлагается в прямую сумму своих подгрупп $A_,\dots,A_k$ , если

$A_i\lhd G$ , $i=1,\dots,k$ ;

каждый элемент $g\in G$ однозначно записывается в виде $g=g_1\dots g_k$ , где $g_i\in A_i$ .

Замечание. $A_i\cap A_j=\{e\}$ при $i\ne j$ . Иначе есть $g\in A_i\cap A_j$ и $g=e\dots g\dots e$ допускает два разложения ( на -ом месте и на -ом).

Если $g\in A_i$ и $h\in A_j$ , $i\ne j$ , то . Действительно, $[g,h]\in A_i\cap A_j=\{e\}$ .

Теорема. Если разлагается в прямое произведение групп $G_1,\dots,G_k$ согласно первому определению, то разлагается в прямое произведение своих подгрупп $A_1,\dots,A_k$ , где $A_i\cong G_i$ (второе определение).

Если группа разлагается в прямое произведение своих подгрупп $G_1,\dots,G_k$ , то группа изоморфна прямому произведению этих групп.

Утверждение. ${\operatorname{O}}(3)={\operatorname{SO}}(3)\times\{\pm E\}$ .

Группа разложима в прямое произведение.

Замечание. Если в группе операция сложения $\lq\lq +\lq\lq$ , то прямая сумма обозначается через $\lq\lq \oplus\lq\lq$ .

Теорема. Пусть $G_i\lhd G$ , $i=1,\dots,k$ , -- нормальные подгруппы в группе . Тогда их произведение $G_1\dots G_k$ является прямым, т.е. $G_1\dots G_k\cong G_1\times\dots\times G_k$ , тогда и только тогда, когда $G_i\cap G_1\dots\widehat{G_i}\dots G_k=\{e\}$ для любого $i=1,\dots,k$ .

Замечание. Тривиальное разложение группы -- это $G=G\times\{e\}\times\dots\times\{e\}$ . Группа неразложима, если нет других разложений кроме тривиального.

Теорема. Каждая конечная абелева группа разлагается в прямое произведение своих силовских подгрупп $возможно тривиальное, если $G$\ является $p$-группой\/$ .

Следствие. Всякая конечная циклическая группа разлагается в прямое произведение своих циклических -подгрупп $по одной для каждого простого $p$\ делящего $n$\/$ .

Пример. ${\Bbb Z}_8\ncong {\Bbb Z}_4\times{\Bbb Z}_2$ .

Рассмотрим эпиморфизм $\varphi{\colon}A\times B\to A$ , $\varphi(ab)=a$ . Тогда ${\operatorname{Ker}}\varphi=B$ и $A\times B/B\cong A$ .

Теорема. Пусть $G=G_1\times\dots\times G_k$ и $N_i\lhd G_i$ , $i=1,\dots,k$ , -- нормальные подгруппы в . Обозначим $N=N_1\dots N_k$ . Тогда $N=N_1\times\dots\times N_k$ , $N\lhd G$ и $G/N=(G_1/N_1)\times\dots\times(G_k/N_k)$ .