MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Прямые произведения (и прямые суммы)

Определение. Пусть $ G_1,\dots,G_k$ -- произвольные группы. Тогда их прямое произведение $ G_1\times\ldots\times G_k$ -- это множество строк $ (g_1,\dots,g_k)$ , где $ g_i\in G_i$ , с операцией умножения $ (g_1,\dots,g_k)(g'_1,\dots,g'_k)=(g_1g'_1,\dots,g_kg'_k)$ .

Множество $ G_1\times\ldots\times G_k$ с такой операцией умножения является группой, причем единица это $ (e,\dots,e)$ , а $ (g_1,\dots,g_k)^{-1}=(g_1^{-1},\dots,g_k^{-1})$ .

Теорема. $ 1)$ Если $ G_1,\dots,G_k$ -- конечные группы, то $ \vert G_1\times\ldots\times G_k\vert=\vert G_1\vert\ldots\vert G_k\vert$ .

$ 2)$ Если $ g=(g_1,\dots,g_k)\in G_1\times\ldots\times G_k$ , то порядок элемента $ g$ равен наименьшему общему кратному порядков элементов $ g_1,\dots,g_k$ .

$ 3)$ Группа $ G_1\times\ldots\times G_k$ является абелевой тогда и только тогда, когда все группы $ G_1,\dots,G_k$ абелевы.

Определение. Говорят, что группа $ G$ разлагается в прямую сумму своих подгрупп $ A_,\dots,A_k$ , если

$ 1)$ $ A_i\lhd G$ , $ i=1,\dots,k$ ;

$ 2)$ каждый элемент $ g\in G$ однозначно записывается в виде $ g=g_1\dots g_k$ , где $ g_i\in A_i$ .

Замечание. $ 1)$ $ A_i\cap A_j=\{e\}$ при $ i\ne j$ . Иначе есть $ g\in A_i\cap A_j$ и $ g=e\dots g\dots e$ допускает два разложения ($ g$ на $ i$ -ом месте и на $ j$ -ом).

$ 2)$ Если $ g\in A_i$ и $ h\in A_j$ , $ i\ne j$ , то $ gh=hg$ . Действительно, $ [g,h]\in A_i\cap A_j=\{e\}$ .

Теорема. $ 1)$ Если $ G$ разлагается в прямое произведение групп $ G_1,\dots,G_k$ согласно первому определению, то $ G$ разлагается в прямое произведение своих подгрупп $ A_1,\dots,A_k$ , где $ A_i\cong
G_i$ (второе определение).

$ 2)$ Если группа $ G$ разлагается в прямое произведение своих подгрупп $ G_1,\dots,G_k$ , то группа $ G$ изоморфна прямому произведению этих групп.

Утверждение. $ 1)$ $ {\operatorname{O}}(3)={\operatorname{SO}}(3)\times\{\pm E\}$ .

$ 2)$ Группа $ V_4$ разложима в прямое произведение.

Замечание. Если в группе $ G$ операция сложения $ \lq\lq +\lq\lq $ , то прямая сумма обозначается через $ \lq\lq \oplus\lq\lq $ .

Теорема. Пусть $ G_i\lhd G$ , $ i=1,\dots,k$ , -- нормальные подгруппы в группе $ G$ . Тогда их произведение $ G_1\dots G_k$ является прямым, т.е. $ G_1\dots G_k\cong G_1\times\dots\times G_k$ , тогда и только тогда, когда $ G_i\cap G_1\dots\widehat{G_i}\dots
G_k=\{e\}$ для любого $ i=1,\dots,k$ .

Замечание. Тривиальное разложение группы $ G$ -- это $ G=G\times\{e\}\times\dots\times\{e\}$ . Группа $ G$ неразложима, если нет других разложений кроме тривиального.

Теорема. Каждая конечная абелева группа разлагается в прямое произведение своих силовских подгрупп $ возможно тривиальное, если $G$\ является $p$-группой\/$ .

Следствие. Всякая конечная циклическая группа $ G$ разлагается в прямое произведение своих циклических $ p$ -подгрупп $ по одной для
каждого простого $p$\ делящего $n$\/$ .

Пример. $ {\Bbb Z}_8\ncong {\Bbb Z}_4\times{\Bbb Z}_2$ .

Рассмотрим эпиморфизм $ \varphi{\colon}A\times B\to A$ , $ \varphi(ab)=a$ . Тогда $ {\operatorname{Ker}}\varphi=B$ и $ A\times
B/B\cong A$ .

Теорема. Пусть $ G=G_1\times\dots\times G_k$ и $ N_i\lhd G_i$ , $ i=1,\dots,k$ , -- нормальные подгруппы в $ G_i$ . Обозначим $ N=N_1\dots N_k$ . Тогда $ N=N_1\times\dots\times N_k$ , $ N\lhd G$ и $ G/N=(G_1/N_1)\times\dots\times(G_k/N_k)$ .