MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Неприводимые и одномерные представления

Пусть $ \Phi{\colon}G\to GL(V)$ -- конечномерное линейное представление.

Определение. Подпространство $ U\subseteq V$ инвариантно относительно представления $ \Phi$ , если оно инвариантно относительно всех операторов $ \Phi(g)$ , $ g\in G$ , т.е. $ \Phi(g)(U)\subseteq U$ .

Определение. Представление $ \Phi$ неприводимо, если $ {\operatorname{dim}} V>0$ и в $ V$ нет $ \Phi$ -инвариантных подпространств кроме $ V$ и $ \{0\}$ . Представление $ \Phi$ приводимо, если $ {\operatorname{dim}} V>0$ и в $ V$ есть $ \Phi$ -инвариантное подпространство кроме $ V$ и $ \{0\}$ .

Двумерное представление $ \Phi{\colon}S_3\to{\operatorname{GL}}(V)$ из примера 4) является неприводимым, так как $ \Phi(g)$ , где $ g=\left(\begin {array}{ccc}1&2&3\\ 3&1&2\end {array}\right)$ (поворот на $ {2\pi}/3$ ), не имеет собственного вектора.

Пусть $ \Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ -- приводимое представление, и $ U$ -- $ \Phi$ -инвариантное подпространство в $ V$ . Представление $ \Psi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(U)$ , $ \Psi(g)=\Phi(g)\big\vert _U$ , называется подпредставлением для представления $ \Phi$ .

Если $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_k)$ -- базис в $ U$ . Дополним его до базиса $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ в $ V$ . Тогда матрица $ A$ оператора $ \Phi(g)$ в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ имеет вид

$\displaystyle A=\left(\begin {array}{cc}
B & C\\
0 & D
\end {array}\right)
$

или

$\displaystyle \Phi(g)_{({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)}=\left(\begin
{arra...
...(g)_{({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_k)} & *\\
0 & *
\end {array}\right).
$

Пусть $ \Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ -- линейное представление, и $ V=U\oplus W$ , где $ U$ и $ W$ -- инвариантные подпространства для этого представления. Тогда

$\displaystyle \Phi(g)_{({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)}=\left(\begin
{arra...
...
0 & \Psi_2(g)_{({\mathbf e}_{k+1},\dots,{\mathbf e}_n)}
\end {array}\right)
$

и $ \Phi$ есть сумма подпредставлений $ \Psi_1(g)=\Phi(g)\big\vert _U$ и $ \Psi_2(g)=\Phi(g)\big\vert _W$ .

Рассмотрим представление $ \Phi{\colon}{\operatorname{GL}}(V)\to{\operatorname{GL}}(W)$ из примера 6). Тогда $ W=U_1\oplus U_2$ , где $ U_1$ -- матрицы с нулевым следом, а $ U_2$ -- скалярные матрицы ( $ A=(A-({\operatorname{Tr}}
A)E)+({\operatorname{Tr}} A)E$ ) и представление $ \Phi$ раскладывается в сумму двух подпредставлений.

Утверждение. Регулярное представление (пример 8)) можно разложить в сумму двух подпредставлений.

Определение. Представление $ \Phi$ называется вполне приводимым, если для любого $ \Phi$ -инвариантного подпространства $ U\subseteq V$ имеется $ \Phi$ -инвариантное прямое дополнение $ W$ .

Теорема. Всякое конечномерное представление $ \Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ конечной группы $ G$ над полем $ {\Bbb R}$ (над $ {\Bbb C}$ ) является вполне приводимым и разлагается в прямую сумму неприводимых представлений.

Пример. Рассмотрим представление $ \Phi{\colon}{\langle}a{\rangle}_\infty\to{\operatorname{GL}}(V)$ , где $ \Phi(a^k)=A^k$ и $ A=\left(\begin {array}{cc}1&1\\ 0&1\end
{array}\right)$ . Представление $ \Psi$ приводимо, так как $ {\operatorname{Lin}}({\mathbf e}_1)$ одномерное инвариантное подпространство. Других инвариантных одномерных подпространств нет. К данному представлению применима теорема.

Если $ G$ -- бесконечная группа, то теорема неверна.

Если $ F={\Bbb Z}_p$ , то для представления $ \Phi{\colon}{\langle}a{\rangle}_p\to{\operatorname{GL}}(V)$ , $ \Phi(a^k)=A^k$ , где $ A=\left(\begin {array}{cc}1&1\\ 0&1\end
{array}\right)$ , существует одномерное инвариантное подпространство, но для него не существует инвариантного дополнения.

Лемма [Шура.] Пусть $ \Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ -- конечномерное комплексное неприводимое представление группы $ G$ , а оператор $ {\cal A}$ перестановочен со всеми операторами $ \Psi(g)$ , т.е. $ {\cal A}\Psi(g)=\Psi(g){\cal A}$ для любого $ g\in G$ . Тогда $ {\cal A}$ является скалярным оператором.

Теорема. Всякое комплексное (конечномерное) неприводимое представление $ \Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ абелевой группы $ G$ одномерно.

Если $ G$ -- абелева группа, то $ \Phi{\colon}G\to{\Bbb C}^*={\Bbb
C}\setminus\{0\}$ -- неприводимое ($ 1$ -мерное) представление абелевой группы $ G$ .

Лемма. Число одномерных комплексных представлений циклической группы $ G$ порядка $ n$ равно $ n$ .

Пример. Пусть $ G={\langle}a{\rangle}_3$ . Корни $ 3$ -ей степени из единицы -- это $ 1,\,{\varepsilon}_1=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2,\,{\varepsilon}_1=-\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}2$ . Получаем три одномерных комплексных представлений группы $ G$ , т.е. $ \Phi_1(e)=\Phi_1(a)=\Phi_1(a^2)=1$ , $ \Phi_2(e)=1,\,\Phi_2(a)={\varepsilon}_1,\,\Phi_2(a^2)={\varepsilon}_2$ , $ \Phi_3(e)=1,\,\Phi_3(a)={\varepsilon}_2,\,\Phi_3(a^2)={\varepsilon}_1$ .

Лемма. Пусть $ G=G_1\times\ldots\times G_l$ -- прямое произведение групп, и $ H$ -- абелева группа.

$ 1)$ Любой гомоморфизм $ \varphi{\colon}G\to H$ может быть записан в виде $ \varphi(g)=\varphi_1(g_1)\ldots\varphi_l(g_l)$ , где $ g=g_1\ldots g_l$ -- стандартное разложение элемента $ g$ в прямое произведение, а $ \varphi_i{\colon}G_i\to H$ -- гомоморфизм.

$ 2)$ Для любых гомоморфизмов $ \varphi_i$ сомножителей $ G_i$ , $ i=1,\dots,l$ , в $ H$ формула $ \varphi(g)=\varphi_1(g_1)\ldots\varphi_l(g_l)$ определяет гомоморфизм $ \varphi{\colon}G\to H$ .

Теорема. Число попарно неизоморфных конечномерных неприводимых комплексных представлений конечной абелевой группы $ G$ равно порядку $ n$ этой группы.

Пример. Пусть $ G={\langle}a{\rangle}_2\times{\langle}b{\rangle}_2=\{e,a,b,ab\}$ . имеется четыре неприводимых представления $ \Phi_i{\colon}G\to{\Bbb
C}^*$ , $ i=1,\,2,\,3,\,4$ , группы $ G$ , а именно $ \Phi_1(e)=\Phi_1(a)=\Phi_1(b)=\Phi_1(ab)=1$ , $ \Phi_2(e)=\Phi_2(a)=1,\,\Phi_2(b)=\Phi_2(ab)=-1$ , $ \Phi_3(e)=\Phi_3(b)=1,\,\Phi_3(a)=\Phi_3(ab)=-1$ , $ \Phi_4(e)=\Phi_4(ab)=1,\,\Phi_4(a)=\Phi_4(b)=-1$ .

Утверждение. Для всякой конечной неабелевой группы существует неприводимое комплексное представление размера больше $ 1$ .

Теорема. Число различных одномерных комплексных представлений конечной группы $ G$ равно порядку факторгруппы $ G/[G,G]$ .