Неприводимые и одномерные представления

Пусть $\Phi{\colon}G\to GL(V)$ -- конечномерное линейное представление.

Определение. Подпространство $U\subseteq V$ инвариантно относительно представления $\Phi$ , если оно инвариантно относительно всех операторов $\Phi(g)$ , $g\in G$ , т.е. $\Phi(g)(U)\subseteq U$ .

Определение. Представление $\Phi$ неприводимо, если ${\operatorname{dim}} V>0$ и в нет $\Phi$ -инвариантных подпространств кроме и $\{0\}$ . Представление $\Phi$ приводимо, если ${\operatorname{dim}} V>0$ и в есть $\Phi$ -инвариантное подпространство кроме и $\{0\}$ .

Двумерное представление $\Phi{\colon}S_3\to{\operatorname{GL}}(V)$ из примера 4) является неприводимым, так как $\Phi(g)$ , где $g=\left(\begin {array}{ccc}1&2&3\\ 3&1&2\end {array}\right)$ (поворот на ${2\pi}/3$ ), не имеет собственного вектора.

Пусть $\Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ -- приводимое представление, и -- $\Phi$ -инвариантное подпространство в . Представление $\Psi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(U)$ , $\Psi(g)=\Phi(g)\big\vert _U$ , называется подпредставлением для представления $\Phi$ .

Если $({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_k)$ -- базис в . Дополним его до базиса $({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ в . Тогда матрица оператора $\Phi(g)$ в базисе $({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ имеет вид

$\displaystyle A=\left(\begin {array}{cc} B & C\\ 0 & D \end {array}\right)$

или

$\displaystyle \Phi(g)_{({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)}=\left(\begin {arra... ...(g)_{({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_k)} & *\\ 0 & * \end {array}\right).$

Пусть $\Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ -- линейное представление, и $V=U\oplus W$ , где и -- инвариантные подпространства для этого представления. Тогда

$\displaystyle \Phi(g)_{({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)}=\left(\begin {arra... ... 0 & \Psi_2(g)_{({\mathbf e}_{k+1},\dots,{\mathbf e}_n)} \end {array}\right)$

и $\Phi$ есть сумма подпредставлений $\Psi_1(g)=\Phi(g)\big\vert _U$ и $\Psi_2(g)=\Phi(g)\big\vert _W$ .

Рассмотрим представление $\Phi{\colon}{\operatorname{GL}}(V)\to{\operatorname{GL}}(W)$ из примера 6). Тогда $W=U_1\oplus U_2$ , где -- матрицы с нулевым следом, а -- скалярные матрицы ( $A=(A-({\operatorname{Tr}} A)E)+({\operatorname{Tr}} A)E$ ) и представление $\Phi$ раскладывается в сумму двух подпредставлений.

Утверждение. Регулярное представление (пример 8)) можно разложить в сумму двух подпредставлений.

Определение. Представление $\Phi$ называется вполне приводимым, если для любого $\Phi$ -инвариантного подпространства $U\subseteq V$ имеется $\Phi$ -инвариантное прямое дополнение .

Теорема. Всякое конечномерное представление $\Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ конечной группы над полем ${\Bbb R}$ (над ${\Bbb C}$ ) является вполне приводимым и разлагается в прямую сумму неприводимых представлений.

Пример. Рассмотрим представление $\Phi{\colon}{\langle}a{\rangle}_\infty\to{\operatorname{GL}}(V)$ , где $\Phi(a^k)=A^k$ и $A=\left(\begin {array}{cc}1&1\\ 0&1\end {array}\right)$ . Представление $\Psi$ приводимо, так как ${\operatorname{Lin}}({\mathbf e}_1)$ одномерное инвариантное подпространство. Других инвариантных одномерных подпространств нет. К данному представлению применима теорема.

Если -- бесконечная группа, то теорема неверна.

Если $F={\Bbb Z}_p$ , то для представления $\Phi{\colon}{\langle}a{\rangle}_p\to{\operatorname{GL}}(V)$ , $\Phi(a^k)=A^k$ , где $A=\left(\begin {array}{cc}1&1\\ 0&1\end {array}\right)$ , существует одномерное инвариантное подпространство, но для него не существует инвариантного дополнения.

Лемма [Шура.] Пусть $\Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ -- конечномерное комплексное неприводимое представление группы , а оператор ${\cal A}$ перестановочен со всеми операторами $\Psi(g)$ , т.е. ${\cal A}\Psi(g)=\Psi(g){\cal A}$ для любого $g\in G$ . Тогда ${\cal A}$ является скалярным оператором.

Теорема. Всякое комплексное (конечномерное) неприводимое представление $\Phi{\colon}G\to{\operatorname{GL}}(V)$ абелевой группы одномерно.

Если -- абелева группа, то $\Phi{\colon}G\to{\Bbb C}^*={\Bbb C}\setminus\{0\}$ -- неприводимое ( -мерное) представление абелевой группы .

Лемма. Число одномерных комплексных представлений циклической группы порядка равно .

Пример. Пусть $G={\langle}a{\rangle}_3$ . Корни -ей степени из единицы -- это $1,\,{\varepsilon}_1=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2,\,{\varepsilon}_1=-\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}2$ . Получаем три одномерных комплексных представлений группы , т.е. $\Phi_1(e)=\Phi_1(a)=\Phi_1(a^2)=1$ , $\Phi_2(e)=1,\,\Phi_2(a)={\varepsilon}_1,\,\Phi_2(a^2)={\varepsilon}_2$ , $\Phi_3(e)=1,\,\Phi_3(a)={\varepsilon}_2,\,\Phi_3(a^2)={\varepsilon}_1$ .

Лемма. Пусть $G=G_1\times\ldots\times G_l$ -- прямое произведение групп, и -- абелева группа.

Любой гомоморфизм $\varphi{\colon}G\to H$ может быть записан в виде $\varphi(g)=\varphi_1(g_1)\ldots\varphi_l(g_l)$ , где $g=g_1\ldots g_l$ -- стандартное разложение элемента в прямое произведение, а $\varphi_i{\colon}G_i\to H$ -- гомоморфизм.

Для любых гомоморфизмов $\varphi_i$ сомножителей , $i=1,\dots,l$ , в формула $\varphi(g)=\varphi_1(g_1)\ldots\varphi_l(g_l)$ определяет гомоморфизм $\varphi{\colon}G\to H$ .

Теорема. Число попарно неизоморфных конечномерных неприводимых комплексных представлений конечной абелевой группы равно порядку этой группы.

Пример. Пусть $G={\langle}a{\rangle}_2\times{\langle}b{\rangle}_2=\{e,a,b,ab\}$ . имеется четыре неприводимых представления $\Phi_i{\colon}G\to{\Bbb C}^*$ , $i=1,\,2,\,3,\,4$ , группы , а именно $\Phi_1(e)=\Phi_1(a)=\Phi_1(b)=\Phi_1(ab)=1$ , $\Phi_2(e)=\Phi_2(a)=1,\,\Phi_2(b)=\Phi_2(ab)=-1$ , $\Phi_3(e)=\Phi_3(b)=1,\,\Phi_3(a)=\Phi_3(ab)=-1$ , $\Phi_4(e)=\Phi_4(ab)=1,\,\Phi_4(a)=\Phi_4(b)=-1$ .

Утверждение. Для всякой конечной неабелевой группы существует неприводимое комплексное представление размера больше .

Теорема. Число различных одномерных комплексных представлений конечной группы равно порядку факторгруппы .