MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Кольца и алгебры

Определение. Пусть $ A$ -- произвольное множество, на котором определены две бинарные операции: сложение $ \lq\lq +\lq\lq {\colon}G\times
G\to G$ и умножение $ \lq\lq \cdot\lq\lq {\colon}G\times G\to G$ . Множество $ A$ называется кольцом, если

1) относительно сложения $ A$ является абелевой группой;

2) операция умножения дистрибутивна, т.е. для любых $ a,\,b,\,c\in
A$ справедливы равенства $ a(b+c)=ab+ac$ и $ (b+c)a=ba+ca$ .

Определение. $ 1)$ Если операция умножения ассоциативна, т.е. для любых $ a,\,b,\,c\in
A$ справедливо равенство $ (ab)c=a(bc)$ , то кольцо называется ассоциативным.

$ 2)$ Если операция умножения коммутативна, т.е. для любых $ a,\,b,\in A$ справедливо равенство $ ab=ba$ , то кольцо называется коммутативным.

$ 3)$ Если существует единица, т.е. такой элемент $ 1$ , что для любого $ a\in A$ справедливо равенство $ 1a=a1=a$ , то кольцо называется кольцом с единицей.

$ 4)$ Коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный, называется полем.

Определение. Пусть $ A$ -- кольцо и линейное пространство над полем $ F$ . Тогда $ A$ называется алгеброй, если $ \lambda(ab)=(\lambda a)b=a(\lambda b)$ для любых $ \lambda\in F$ и $ a,\,b\in A$ .

Пример. $ 1)$ Алгебра квадратных матриц над полем.

$ 2)$ Алгебра многочленов над полем $ F\subset K$ . Тогда $ K$ -- алгебра над $ F$ . Число $ [K:F]$ называется степенью расширения (т.е. это размерность $ K$ над $ F$ ).

Определение. Пусть $ A,\,B$ -- кольца. Тогда отображение $ \varphi{\colon}A\to B$ называется гомоморфизмом колец, если $ \varphi$ является гомоморфизмом абелевых групп и $ \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$ . Если $ \varphi$ биективно, то $ \varphi$ называется изоморфизмом.

Определение. Пусть $ A,\,B$ -- алгебры. Тогда отображение $ \varphi{\colon}A\to B$ называется гомоморфизмом алгебр, если $ \varphi$ является гомоморфизмом колец и линейным отображением. Если $ \varphi$ биективно, то $ \varphi$ называется изоморфизмом.

Пример. Пусть $ F[x]$ -- кольцо многочленов от одной переменной. Выберем $ a\in F$ и зададим гомоморфизм $ \varphi{\colon}F[x]\to F$ , положив $ \varphi(f)=f(a)\in F$ .

Пусть $ F$ -- подполе в $ K$ , и пусть $ a\in K$ . Тогда продолжим $ \varphi{\colon}F[x]\to F$ до $ \varphi{\colon}F[x]\to K$ , положив $ \varphi(f)=f(a)$ .

Например, если $ F={\Bbb R}$ , $ K={\Bbb C}$ и $ a=i$ . Тогда $ \varphi{\colon}{\Bbb R}[x]\to{\Bbb C}$ и $ \varphi(a+bx)=a+bi$ . Гомоморфизм $ \varphi$ является эпиморфизмом.

Определение. Ядро $ {\operatorname{Ker}}\varphi$ гомоморфизма колец $ \varphi{\colon}A\to B$ -- это ядро аддитивной группы, т.е. $ {\operatorname{Ker}}\varphi=\{x\in
A\,\vert\,\varphi(x)=0\}$ .

Определение. Подмножество $ A'$ кольца $ A$ называется подкольцом, если $ A'$ является подгруппой в аддитивной группе кольца $ A$ и из условия $ a_1,\,a_2\in A'$ следует $ a_1a_2\in A'$ .

Определение. Подмножество $ A'$ алгебры $ A$ называется подалгеброй, если $ A'$ является подкольцом в кольце алгебры $ A$ и из условия $ a\in A'$ следует $ \lambda a\in A'$ для любого $ \lambda\in F$ .

Определение. Подмножество $ F'$ поля $ F$ называется подполем, если $ F'$ является подкольцом с единицей в кольце поля $ F$ и из условия $ a\in F'\setminus\{0\}$ следует $ a^{-1}\in F'$ .

Определение. Подмножество $ I\subseteq A$ кольца $ A$ называется идеалом, если
$ 1)$ $ I$ является подгруппой в аддитивной группе кольца $ A$ ;
$ 2)$ для любых $ a\in I$ и $ x\in A$ имеет место $ a)$ $ ax\in I$ (правый идеал) или $ b)$ $ xa\in I$ (левый идеал).

Определение. Идеал порожденный одним элементом называется главным.

Пример. $ 1)$ Рассмотрим кольцо $ {\Bbb Z}$ . Тогда $ n{\Bbb
Z}\subset Z$ -- идеал.

$ 2)$ Пусть $ (f)$ -- множество многочленов делящихся на $ f\in F[x]$ . Тогда $ (f)\subset F[x]$ -- идеал.

Утверждение. В кольце матриц $ M(n,F)$ множество

$\displaystyle I=\left\{\left(\begin {array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_...
...ts & \vdots\\
0 & 0 & \dots & 0
\end {array}\right),\, a_{1i}\in F\right\}
$

является правым идеалом и не является левым.

Теорема. Пусть $ \varphi{\colon}A\to B$ -- гомоморфизм колец. Тогда ядро $ {\operatorname{Ker}}\varphi$ является идеалом в $ A$ , а образ $ {\operatorname{Im}}\varphi$ -- подкольцом в $ B$ .

Определение. Пусть $ I\lhd A$ , т.е. $ I$ -- идеал в $ A$ . Факторкольцо $ A/I$ по идеалу -- это факторгруппа $ A/I$ аддитивной группы кольца $ A$ с операцией умножения $ (x+I)(y+I)=xy+I$ для любых $ x,\,y\in A$ .

Проверим корректность умножения. Пусть $ x+I=x'+I$ , т.е. $ x-x'\in I$ . Тогда $ (x'+I)(y+I)=x'y+I=xy+(x'-x)y+I=xy+I$ .

Пример. Кольцо вычетов $ {\Bbb Z}_n={\Bbb Z}/{\Bbb Z}_n$ .

Утверждение. Если $ A$ -- алгебра с единицей над полем $ F$ и $ I\lhd A$ -- идеал в кольце алгебры $ A$ , то $ I$ -- подпространство линейного пространства алгебры $ A$ .

Пусть $ A$ -- кольцо и $ I\lhd A$ . Рассмотрим естественный гомоморфизм групп $ {\varepsilon}{\colon}A\to A/I$ , $ {\varepsilon}(a)=a+I$ . Этот гомоморфизм является гомоморфизмом колец, так как $ {\varepsilon}(ab)=ab+I=(a+I)(b+I)={\varepsilon}(a){\varepsilon}(b)$ . Если $ A$ к тому же является алгеброй, то $ {\varepsilon}$ является линейным отображением и поэтому гомоморфизмом алгебр. Заметим, что $ {\operatorname{Ker}}{\varepsilon}=I$ .

Теорема [о гомоморфизмах.] Если $ \varphi{\colon}A\to B$ -- гомоморфизм колец, то $ A/{\operatorname{Ker}}\varphi\cong{\operatorname{Im}}\varphi$ .

Пример. Рассмотрим эпиморфизм $ \varphi{\colon}{\Bbb R}[x]\to{\Bbb C}$ , $ \varphi(f(x))=f(i)$ . Тогда $ {\operatorname{Ker}}\varphi=(x^2+1)$ -- все многочлены делящиеся на $ x^2+1$ и $ {\Bbb
R}[x]/(x^2+1)\cong{\Bbb C}$ .

Пример. $ {\Bbb R}[x]/(x-x_0)\cong{\Bbb R}$ , $ {\Bbb
R}[x]/(x^2+x+1)\cong{\Bbb C}$ , $ {\Bbb R}[x]/(x^2+2x+1)\ncong{\Bbb
C}$ .

Теорема. Для всякого неприводимого над полем $ F$ многочлена $ p(x)$ степени больше $ 1$ существует расширение $ K$ поля $ F$ , в котором многочлен $ p(x)$ имеет корень.

Определение. Простое кольцо -- это ненулевое кольцо, в котором нет идеалов кроме нулевого и всего кольца.

Утверждение. В поле нет идеалов кроме нулевого и всего поля.

Определение. Ассоциативное кольцо с единицей, в котором всякий ненулевой элемент обратим, называется телом. Алгебра, являющаяся телом, называется алгеброй с делением.

В доказательстве утверждения коммутативность не используется, то мы сразу получаем

Утверждение. Любое тело является простым кольцом.

Теорема. Кольцо (алгебра) всех матриц $ {\operatorname{M}}(n,F)$ порядка $ n$ над полем $ F$ является простым.

Определение. Рассмотрим $ 4$ -ех мерное линейное пространство $ {\Bbb H}$ над $ {\Bbb R}$ с базисом $ 1,\,i,\,j,\,k$ , т.е. $ x\in{\Bbb H}$ имеет вид $ x=a+bi+cj+dk$ , $ a,\,b,\,c,\,d\in{\Bbb R}$ .

В этом пространстве $ {\Bbb H}$ определено умножение базисных векторов $ 1,\,i,\,j,\,k$ следующим образом $ i1=1i=i$ , $ j1=1j=j$ , $ k1=1k=k$ , $ i^2=j^2=k^2=-1$ , $ ij=k$ , $ jk=i$ , $ ki=j$ . Следовательно, определено умножение элементов $ x,\,y\in{\Bbb H}$ . Легко проверяется, что это умножение ассоциативно. Таким образом, $ {\Bbb H}$ является ассоциативной $ 4$ -ех мерной алгеброй над $ {\Bbb R}$ с единицей. Элемент $ \bar x=a-bi-cj-dk$ называется сопряженным к элементу $ x=a+bi+cj+dk$ , причем $ x\bar x=a^2+b^2+c^2+d^2=r^2$ . Получаем, что каждый ненулевой элемент $ x=a+bi+cj+dk$ имеет обратный $ x^{-1}=a/r^2-(b/r^2)i-(c/r^2)j-(d/r^2)k$ .

Полученная алгебра с делением $ {\Bbb H}$ называется алгеброй кватернионов.

Пусть $ A$ -- конечномерная ассоциативная алгебра с $ 1\ne0$ над $ F$ .

Рассмотрим отображение $ f{\colon}F\to B\subseteq A$ , $ f(\alpha)=\alpha1$ . Отображение $ f$ является инъективным гомоморфизмом, так как $ f(\alpha+\beta)=(\alpha+\beta)1=\alpha1+\beta1=f(\alpha)+f(\beta)$ , $ f(\alpha\beta)=(\alpha\beta)1=(\alpha1)(\beta1)= f(\alpha)f(\beta)$ и если $ \alpha1=\alpha'1$ , то $ (\alpha-\alpha')1=0$ , т.е. $ \alpha=\alpha'$ ($ 1\ne0$ ). Таким образом $ B=\{\alpha1\,\vert\,\alpha\in F\}\subseteq A$ -- подалгебра (подполе) изоморфное полю $ F$ (так как ).

Центр $ Z(A)$ алгебры $ A$ -- это множество $ Z(A)=\{a\in
A\,\vert\,ax=xa\,\forall\,x\in A\}$ . Центр является подалгеброй (проверяется на прямую). Подалгебра $ B$ содержится в $ Z(A)$ . Действительно, для любых $ x\in A$ и $ \alpha1\in F$ имеем $ x(\alpha
1)=\alpha(x1)=\alpha x$ и $ (\alpha1)x=\alpha(1x)=\alpha x$ .

Пусть $ K\subseteq A$ -- подполе в $ A$ ( $ K\nsubseteq F$ ). Тогда $ A$ -- (левое) линейное пространство над $ K$ , но $ A$ может не быть алгеброй над $ K$ , так как может быть нарушена аксиома $ a(\lambda
b)=\lambda(ab)$ , если $ \lambda\in K$ не содержится в центре $ Z(A)$ . Если $ A$ -- коммутативная алгебра, то $ A$ будет алгеброй над любым подполем.

Пример. Имеем $ {\Bbb R}\subset{\Bbb C}\subset{\Bbb H}$ . Здесь $ {\Bbb H}$ является алгеброй над $ {\Bbb R}$ , но не является над $ {\Bbb C}$ .

Пусть $ A$ -- конечномерная ассоциативная алгебра с $ 1$ над $ F$ , и $ a\in A$ -- произвольный элемент. Рассмотрим линейный оператор $ R_a{\colon}A\to A$ , $ R_a(x)=xa$ (аксиомы оператора проверяются на прямую). Оператор $ R_a$ является $ K$ -линейным для любого подполя $ K\subseteq A$ . Пусть $ \mu(x)$ -- минимальный многочлен для линейного оператора $ R_a$ . Так $ R^k_a(x)=xa^k$ , то $ f(R_a)(x)=xf(a)$ для любого многочлена $ f(x)$ . Следовательно, $ f(R_a)$ является нулевым оператором тогда и только тогда, когда $ xf(a)=0$ для любого $ x$ (в частности для $ x=1$ ), т.е. $ f(a)=0$ .

Лемма. $ 1)$ Если $ A$ -- алгебра над $ F$ и минимальный многочлен $ \mu(x)$ для $ a\in A$ (для оператора $ R_a$ , $ a\in F$ ) имеет степень $ 1$ , то $ a\in F$ .

$ 2)$ Если $ A$ -- алгебра с делением, то минимальный многочлен $ \mu(x)$ для $ a\in A$ (для оператора $ R_a$ ) неприводимый над полем $ F$ .

Теорема. $ 1)$ Конечномерная (коммутативная) алгебра с делением над $ {\Bbb C}$ одномерна (и совпадает с $ {\Bbb C}$ ).

$ 2)$ Конечномерная коммутативная алгебра с делением над $ {\Bbb R}$ или одномерна (и совпадает с $ {\Bbb R}$ ) или двумерно (и изоморфна $ {\Bbb C}$ ).

Лемма. Пусть $ S$ -- подмножество в алгебре $ A$ с делением над $ F$ , причем элементы из $ S$ попарно перестановочны. Тогда $ S$ и $ F$ содержатся в некотором подполе $ L$ алгебры $ A$ .

Теорема [Фробениус.] Всякая конечномерная алгебра с делением над $ {\Bbb R}$ изоморфна одной из трех $ {\Bbb R},\,{\Bbb C},\,{\Bbb
H}$ .