Кольца и алгебры

Определение. Пусть

-- произвольное множество, на котором определены две бинарные операции: сложение $\lq\lq +\lq\lq {\colon}G\times G\to G$ и умножение $\lq\lq \cdot\lq\lq {\colon}G\times G\to G$ . Множество

называется кольцом, если

1) относительно сложения является абелевой группой;

2) операция умножения дистрибутивна, т.е. для любых $a,\,b,\,c\in A$ справедливы равенства и .

Определение. Если операция умножения ассоциативна, т.е. для любых $a,\,b,\,c\in A$ справедливо равенство , то кольцо называется ассоциативным.

Если операция умножения коммутативна, т.е. для любых $a,\,b,\in A$ справедливо равенство , то кольцо называется коммутативным.

Если существует единица, т.е. такой элемент , что для любого $a\in A$ справедливо равенство , то кольцо называется кольцом с единицей.

Коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный, называется полем.

Определение. Пусть -- кольцо и линейное пространство над полем . Тогда называется алгеброй, если $\lambda(ab)=(\lambda a)b=a(\lambda b)$ для любых $\lambda\in F$ и $a,\,b\in A$ .

Пример. Алгебра квадратных матриц над полем.

Алгебра многочленов над полем $F\subset K$ . Тогда -- алгебра над . Число называется степенью расширения (т.е. это размерность над ).

Определение. Пусть $A,\,B$ -- кольца. Тогда отображение $\varphi{\colon}A\to B$ называется гомоморфизмом колец, если $\varphi$ является гомоморфизмом абелевых групп и $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$ . Если $\varphi$ биективно, то $\varphi$ называется изоморфизмом.

Определение. Пусть $A,\,B$ -- алгебры. Тогда отображение $\varphi{\colon}A\to B$ называется гомоморфизмом алгебр, если $\varphi$ является гомоморфизмом колец и линейным отображением. Если $\varphi$ биективно, то $\varphi$ называется изоморфизмом.

Пример. Пусть -- кольцо многочленов от одной переменной. Выберем $a\in F$ и зададим гомоморфизм $\varphi{\colon}F[x]\to F$ , положив $\varphi(f)=f(a)\in F$ .

Пусть -- подполе в , и пусть $a\in K$ . Тогда продолжим $\varphi{\colon}F[x]\to F$ до $\varphi{\colon}F[x]\to K$ , положив $\varphi(f)=f(a)$ .

Например, если $F={\Bbb R}$ , $K={\Bbb C}$ и . Тогда $\varphi{\colon}{\Bbb R}[x]\to{\Bbb C}$ и $\varphi(a+bx)=a+bi$ . Гомоморфизм $\varphi$ является эпиморфизмом.

Определение. Ядро ${\operatorname{Ker}}\varphi$ гомоморфизма колец $\varphi{\colon}A\to B$ -- это ядро аддитивной группы, т.е. ${\operatorname{Ker}}\varphi=\{x\in A\,\vert\,\varphi(x)=0\}$ .

Определение. Подмножество кольца называется подкольцом, если является подгруппой в аддитивной группе кольца и из условия $a_1,\,a_2\in A'$ следует $a_1a_2\in A'$ .

Определение. Подмножество алгебры называется подалгеброй, если является подкольцом в кольце алгебры и из условия $a\in A'$ следует $\lambda a\in A'$ для любого $\lambda\in F$ .

Определение. Подмножество поля называется подполем, если является подкольцом с единицей в кольце поля и из условия $a\in F'\setminus\{0\}$ следует $a^{-1}\in F'$ .

Определение. Подмножество $I\subseteq A$ кольца называется идеалом, если
является подгруппой в аддитивной группе кольца ;
для любых $a\in I$ и $x\in A$ имеет место $ax\in I$ (правый идеал) или $xa\in I$ (левый идеал).

Определение. Идеал порожденный одним элементом называется главным.

Пример. Рассмотрим кольцо ${\Bbb Z}$ . Тогда $n{\Bbb Z}\subset Z$ -- идеал.

Пусть -- множество многочленов делящихся на $f\in F[x]$ . Тогда $(f)\subset F[x]$ -- идеал.

Утверждение. В кольце матриц множество

$\displaystyle I=\left\{\left(\begin {array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_... ...ts & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 0 \end {array}\right),\, a_{1i}\in F\right\}$

является правым идеалом и не является левым.

Теорема. Пусть $\varphi{\colon}A\to B$ -- гомоморфизм колец. Тогда ядро ${\operatorname{Ker}}\varphi$ является идеалом в , а образ ${\operatorname{Im}}\varphi$ -- подкольцом в .

Определение. Пусть $I\lhd A$ , т.е. -- идеал в . Факторкольцо по идеалу -- это факторгруппа аддитивной группы кольца с операцией умножения для любых $x,\,y\in A$ .

Проверим корректность умножения. Пусть , т.е. $x-x'\in I$ . Тогда .

Пример. Кольцо вычетов ${\Bbb Z}_n={\Bbb Z}/{\Bbb Z}_n$ .

Утверждение. Если -- алгебра с единицей над полем и $I\lhd A$ -- идеал в кольце алгебры , то -- подпространство линейного пространства алгебры .

Пусть -- кольцо и $I\lhd A$ . Рассмотрим естественный гомоморфизм групп ${\varepsilon}{\colon}A\to A/I$ , ${\varepsilon}(a)=a+I$ . Этот гомоморфизм является гомоморфизмом колец, так как ${\varepsilon}(ab)=ab+I=(a+I)(b+I)={\varepsilon}(a){\varepsilon}(b)$ . Если к тому же является алгеброй, то ${\varepsilon}$ является линейным отображением и поэтому гомоморфизмом алгебр. Заметим, что ${\operatorname{Ker}}{\varepsilon}=I$ .

Теорема [о гомоморфизмах.] Если $\varphi{\colon}A\to B$ -- гомоморфизм колец, то $A/{\operatorname{Ker}}\varphi\cong{\operatorname{Im}}\varphi$ .

Пример. Рассмотрим эпиморфизм $\varphi{\colon}{\Bbb R}[x]\to{\Bbb C}$ , $\varphi(f(x))=f(i)$ . Тогда ${\operatorname{Ker}}\varphi=(x^2+1)$ -- все многочлены делящиеся на и ${\Bbb R}[x]/(x^2+1)\cong{\Bbb C}$ .

Пример. ${\Bbb R}[x]/(x-x_0)\cong{\Bbb R}$ , ${\Bbb R}[x]/(x^2+x+1)\cong{\Bbb C}$ , ${\Bbb R}[x]/(x^2+2x+1)\ncong{\Bbb C}$ .

Теорема. Для всякого неприводимого над полем многочлена степени больше существует расширение поля , в котором многочлен имеет корень.

Определение. Простое кольцо -- это ненулевое кольцо, в котором нет идеалов кроме нулевого и всего кольца.

Утверждение. В поле нет идеалов кроме нулевого и всего поля.

Определение. Ассоциативное кольцо с единицей, в котором всякий ненулевой элемент обратим, называется телом. Алгебра, являющаяся телом, называется алгеброй с делением.

В доказательстве утверждения коммутативность не используется, то мы сразу получаем

Утверждение. Любое тело является простым кольцом.

Теорема. Кольцо (алгебра) всех матриц ${\operatorname{M}}(n,F)$ порядка над полем является простым.

Определение. Рассмотрим -ех мерное линейное пространство ${\Bbb H}$ над ${\Bbb R}$ с базисом $1,\,i,\,j,\,k$ , т.е. $x\in{\Bbb H}$ имеет вид , $a,\,b,\,c,\,d\in{\Bbb R}$ .

В этом пространстве ${\Bbb H}$ определено умножение базисных векторов $1,\,i,\,j,\,k$ следующим образом , , , , , , . Следовательно, определено умножение элементов $x,\,y\in{\Bbb H}$ . Легко проверяется, что это умножение ассоциативно. Таким образом, ${\Bbb H}$ является ассоциативной -ех мерной алгеброй над ${\Bbb R}$ с единицей. Элемент $\bar x=a-bi-cj-dk$ называется сопряженным к элементу , причем $x\bar x=a^2+b^2+c^2+d^2=r^2$ . Получаем, что каждый ненулевой элемент имеет обратный $x^{-1}=a/r^2-(b/r^2)i-(c/r^2)j-(d/r^2)k$ .

Полученная алгебра с делением ${\Bbb H}$ называется алгеброй кватернионов.

Пусть -- конечномерная ассоциативная алгебра с $1\ne0$ над .

Рассмотрим отображение $f{\colon}F\to B\subseteq A$ , $f(\alpha)=\alpha1$ . Отображение является инъективным гомоморфизмом, так как $f(\alpha+\beta)=(\alpha+\beta)1=\alpha1+\beta1=f(\alpha)+f(\beta)$ , $f(\alpha\beta)=(\alpha\beta)1=(\alpha1)(\beta1)= f(\alpha)f(\beta)$ и если $\alpha1=\alpha'1$ , то $(\alpha-\alpha')1=0$ , т.е. $\alpha=\alpha'$ ( $1\ne0$ ). Таким образом $B=\{\alpha1\,\vert\,\alpha\in F\}\subseteq A$ -- подалгебра (подполе) изоморфное полю (так как ).

Центр алгебры -- это множество $Z(A)=\{a\in A\,\vert\,ax=xa\,\forall\,x\in A\}$ . Центр является подалгеброй (проверяется на прямую). Подалгебра содержится в . Действительно, для любых $x\in A$ и $\alpha1\in F$ имеем $x(\alpha 1)=\alpha(x1)=\alpha x$ и $(\alpha1)x=\alpha(1x)=\alpha x$ .

Пусть $K\subseteq A$ -- подполе в ( $K\nsubseteq F$ ). Тогда -- (левое) линейное пространство над , но может не быть алгеброй над , так как может быть нарушена аксиома $a(\lambda b)=\lambda(ab)$ , если $\lambda\in K$ не содержится в центре . Если -- коммутативная алгебра, то будет алгеброй над любым подполем.

Пример. Имеем ${\Bbb R}\subset{\Bbb C}\subset{\Bbb H}$ . Здесь ${\Bbb H}$ является алгеброй над ${\Bbb R}$ , но не является над ${\Bbb C}$ .

Пусть -- конечномерная ассоциативная алгебра с над , и $a\in A$ -- произвольный элемент. Рассмотрим линейный оператор $R_a{\colon}A\to A$ , (аксиомы оператора проверяются на прямую). Оператор является -линейным для любого подполя $K\subseteq A$ . Пусть $\mu(x)$ -- минимальный многочлен для линейного оператора . Так , то для любого многочлена . Следовательно, является нулевым оператором тогда и только тогда, когда для любого (в частности для ), т.е. .

Лемма. Если -- алгебра над и минимальный многочлен $\mu(x)$ для $a\in A$ (для оператора , $a\in F$ ) имеет степень , то $a\in F$ .

Если -- алгебра с делением, то минимальный многочлен $\mu(x)$ для $a\in A$ (для оператора ) неприводимый над полем .

Теорема. Конечномерная (коммутативная) алгебра с делением над ${\Bbb C}$ одномерна (и совпадает с ${\Bbb C}$ ).

Конечномерная коммутативная алгебра с делением над ${\Bbb R}$ или одномерна (и совпадает с ${\Bbb R}$ ) или двумерно (и изоморфна ${\Bbb C}$ ).

Лемма. Пусть -- подмножество в алгебре с делением над , причем элементы из попарно перестановочны. Тогда и содержатся в некотором подполе алгебры .

Теорема [Фробениус.] Всякая конечномерная алгебра с делением над ${\Bbb R}$ изоморфна одной из трех ${\Bbb R},\,{\Bbb C},\,{\Bbb H}$ .