Простые и разрешимые группы

Определение. Неединичная группа

, у которой нет нормальных подгрупп кроме единичной и всей группы

, называется простой.

Утверждение. Среди абелевых групп циклические группы простых порядков (и только они) являются простыми.

Лемма. Пусть $A\lhd G$ и $\vert G/A\vert=2$ . Пусть -- класс сопряженности группы , целиком содержащийся в . Тогда либо является классом сопряженности в , либо $C=C_1\cup C_2$ , где -- классы сопряженности в , причем $\vert C_1\vert=\vert C_2\vert$ .

Теорема. Группа является простой.

Рассмотрим группы ${\operatorname{SO}}(n)$ . Если , то ${\operatorname{SO}}(2)$ -- абелева и поэтому не простая.

Теорема. Группа ${\operatorname{SO}}(3)$ является простой.

Определение. Коммутатор элементов $x,\,y\in G$ -- это выражение вида $xyx^{-1}y^{-1}$ .

Свойства. $[x,y]^{-1}=[y,x]$ .

$g[x,y]g^{-1}=[gxg^{-1},gyg^{-1}]$ .

Определение. Коммутант группы -- это подгруппа в группе , порожденная всеми коммутаторами. Обозначение (``производная``).

Каждый $g\in G'$ имеет вид $g=s_1^{\pm1}\ldots s_n^{\pm1}$ , где -- коммутаторы. По свойству можно считать, что $g=s_1\ldots s_n$ , где -- коммутаторы.

Теорема. Коммутант группы -- нормальная в подгруппа.

Для произвольной нормальной в подгруппы факторгруппа абелева тогда и только, тогда когда $N\supseteq G'$

Пример. Рассмотрим группу кватернионов $Q_8=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ , где , , , . Имеем: $Z=\{\pm1\}$ -- центр, $\vert Q_8/Z\vert=4$ и, поэтому -- абелева. Следовательно, $Q_8'\subseteq Z$ . Так как не является абелевой, то .

Рассмотрим группу . В есть нормальная подгруппа, группа Клейна, $V_4=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ . Так как $\vert A_4/V_4\vert=3$ , то группа является циклической и абелевой. Поэтому $A_4'\subseteq V_4$ . На самом деле (если, например, и , то ).

Рассмотрим группу , . Так как $\vert S_n/A_n\vert=2$ , то группа является циклической и абелевой. Поэтому $S_n'\subseteq A_n$ . Докажем, что . Мы знаем, что группа порождается всеми тройными циклами , которые равны $(ijk)=[(jk),(ji)]\in S_n'$ . Получаем обратное включение $A_n\subseteq S_n'$ .

Определение. Рассмотрим последовательность коммутантов

$\displaystyle G\supseteq G'\supseteq G''=(G')'\supseteq\dots\supseteq G^{(k)}=(G^{(k-1)})'$

(при

коммутант $G^{(k)}$ определяется по индукции). Группа

называется разрешимой, если для некоторого

мы получим $G^{(k)}=\{e\}$ . Минимальный такой

называется ступенью разрешимости.

Пример. Группа является двувступенно разрешимой, так как $Q_8'=\{\pm1\}\supseteq Q_8''=\{e\}$ .

Группа является трехступенно разрешимой, так как

$\displaystyle S_4'=A_4\supseteq S_4''=A_4'=V_4\supseteq S_4'''=A_4''=V_4'=\{e\}.$

Группа неразрешима, так как .

Утверждение. Если $N\lhd G$ , то $N'\lhd G$ .

Теорема. Подгруппа разрешимой группы разрешима.

Гомоморфный образ (в частности, факторгруппа) разрешимой группы разрешим.

Если $N\lhd G$ и группы $N,\,G/N$ разрешимы, то тоже разрешима.

Теорема. Для всякого простого и $k\geqslant0$ группа порядка разрешима.

Группа ${\operatorname{T}}(n,F)$ треугольных матриц разрешима.

Замечание. Если бы мы в предыдущей теореме строили бы эпиморфизм $f{\colon}{\operatorname{T}}(n,F)\to {\operatorname{T}}(n-1,F)$ , то ядро ${\operatorname{Ker}} f$ не являлось бы абелевой группой.