MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Простые и разрешимые группы

Определение. Неединичная группа $ G$ , у которой нет нормальных подгрупп кроме единичной и всей группы $ G$ , называется простой.

Утверждение. Среди абелевых групп циклические группы простых порядков (и только они) являются простыми.

Лемма. Пусть $ A\lhd G$ и $ \vert G/A\vert=2$ . Пусть $ C$ -- класс сопряженности группы $ G$ , целиком содержащийся в $ A$ . Тогда либо $ C$ является классом сопряженности в $ A$ , либо $ C=C_1\cup C_2$ , где $ C_i$ -- классы сопряженности в $ A$ , причем $ \vert C_1\vert=\vert C_2\vert$ .

Теорема. Группа $ A_5$ является простой.

Рассмотрим группы $ {\operatorname{SO}}(n)$ . Если $ n=2$ , то $ {\operatorname{SO}}(2)$ -- абелева и поэтому не простая.

Теорема. Группа $ {\operatorname{SO}}(3)$ является простой.

Определение. Коммутатор $ [x,y]$ элементов $ x,\,y\in G$ -- это выражение вида $ xyx^{-1}y^{-1}$ .

Свойства. $ 1)$ $ [x,y]^{-1}=[y,x]$ .

$ 2)$ $ g[x,y]g^{-1}=[gxg^{-1},gyg^{-1}]$ .

Определение. Коммутант $ G'$ группы $ G$ -- это подгруппа в группе $ G$ , порожденная всеми коммутаторами. Обозначение $ G'=[G,G]$ (``производная``).

Каждый $ g\in G'$ имеет вид $ g=s_1^{\pm1}\ldots s_n^{\pm1}$ , где $ s_i$ -- коммутаторы. По свойству $ 1)$ можно считать, что $ g=s_1\ldots s_n$ , где $ s_i$ -- коммутаторы.

Теорема. $ 1)$ Коммутант $ G'$ группы $ G$ -- нормальная в $ G$ подгруппа.

$ 2)$ Для произвольной нормальной в $ G$ подгруппы $ N$ факторгруппа $ G/N$ абелева тогда и только, тогда когда $ N\supseteq G'$

Пример. $ 1)$ Рассмотрим группу кватернионов $ Q_8=\{\pm 1,\pm
i,\pm j,\pm k\}$ , где $ i^2=j^2=k^2=-1$ , $ ij=k$ , $ jk=i$ , $ ki=j$ . Имеем: $ Z=\{\pm1\}$ -- центр, $ \vert Q_8/Z\vert=4$ и, поэтому $ Q_8/Z$ -- абелева. Следовательно, $ Q_8'\subseteq Z$ . Так как $ Q_8$ не является абелевой, то $ Q_8'=Z$ .

$ 2)$ Рассмотрим группу $ A_4$ . В $ A_4$ есть нормальная подгруппа, группа Клейна, $ V_4=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ . Так как $ \vert A_4/V_4\vert=3$ , то группа $ A_4/V_4$ является циклической и абелевой. Поэтому $ A_4'\subseteq V_4$ . На самом деле $ A_4'=V_4$ (если, например, $ x=(123)$ и $ y=(124)$ , то $ [x,y]=(12)(34)$ ).

$ 3)$ Рассмотрим группу $ S_n$ , $ n>2$ . Так как $ \vert S_n/A_n\vert=2$ , то группа $ S_n/A_n$ является циклической и абелевой. Поэтому $ S_n'\subseteq A_n$ . Докажем, что $ S_n'=A_n$ . Мы знаем, что группа $ A_n$ порождается всеми тройными циклами $ (ijk)$ , которые равны $ (ijk)=[(jk),(ji)]\in S_n'$ . Получаем обратное включение $ A_n\subseteq S_n'$ .

Определение. Рассмотрим последовательность коммутантов

$\displaystyle G\supseteq G'\supseteq G''=(G')'\supseteq\dots\supseteq G^{(k)}=(G^{(k-1)})'
$

(при $ k>1$ коммутант $ G^{(k)}$ определяется по индукции). Группа $ G$ называется разрешимой, если для некоторого $ k$ мы получим $ G^{(k)}=\{e\}$ . Минимальный такой $ k$ называется ступенью разрешимости.

Пример. $ 1)$ Группа $ Q_8$ является двувступенно разрешимой, так как $ Q_8'=\{\pm1\}\supseteq Q_8''=\{e\}$ .

$ 2)$ Группа $ S_4$ является трехступенно разрешимой, так как

$\displaystyle S_4'=A_4\supseteq S_4''=A_4'=V_4\supseteq S_4'''=A_4''=V_4'=\{e\}.
$

$ 3)$ Группа $ A_5$ неразрешима, так как $ A_5'=A_5$ .

Утверждение. Если $ N\lhd G$ , то $ N'\lhd G$ .

Теорема. $ 1)$ Подгруппа разрешимой группы разрешима.

$ 2)$ Гомоморфный образ (в частности, факторгруппа) разрешимой группы разрешим.

$ 3)$ Если $ N\lhd G$ и группы $ N,\,G/N$ разрешимы, то $ G$ тоже разрешима.

Теорема. $ 1)$ Для всякого простого $ p$ и $ k\geqslant0$ группа порядка $ p^k$ разрешима.

$ 2)$ Группа $ {\operatorname{T}}(n,F)$ треугольных матриц разрешима.

Замечание. Если бы мы в предыдущей теореме строили бы эпиморфизм $ f{\colon}{\operatorname{T}}(n,F)\to
{\operatorname{T}}(n-1,F)$ , то ядро $ {\operatorname{Ker}} f$ не являлось бы абелевой группой.