MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Определители

Понятие определителя квадратной матрицы A порядка n = 1,2,3,...

Определитель – это некоторое число поставленное в соответствие квадратной матрице $ A\in R^{n\times n}$ .

Для неквадратных матриц понятие определителя не вводится.

Для обозначения определителя квадратной матрицы A будем пользоваться обозначением $ \vert A\vert$ или $ \det A$ .

Пусть A - произвольная квадратная матрица порядка n. Если n=1, то матрица A состоит из одного числа A. Положим по определению, что определитель такой матрицы равен числу A, т.е. $ \det A =A$ . Если n=2, то матрица A имеет вид

\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{cc}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{array}
\right).
\end{displaymath}

Положим по определению, что определитель такой матрицы равен

$\displaystyle \det A =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}. \eqno (1)
$

Если n=3, то матрица A имеет вид

\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{array}
\right).
\end{displaymath}

Положим по определению, что определитель такой матрицы равен

$\displaystyle \det A = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13}-
a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}.
\eqno (2)
$

Для облегчения запоминания равенств (1) и (2), приведём удобные мнемонические правила, дающие схему вычисления положительных и отрицательных членов определителей второго и третьего порядков соответственно.

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! - В этих схемах элементы, входящие в одно произведение, соединены отрезками

Основные свойства определителей.

Свойство 1. Определитель квадратной матрицы не изменяется при её транспонировании:

$ \det A = \det A^{\top}.
$

Доказательство свойства 1 для квадратных матриц 2 и 3 порядков проводится по единой схеме. Приведём доказательство для квадратной матрицы 2-го порядка. Непосредственная проверка доказывает данное свойство.

Свойство 2. Если одна из строк (столбцов) матрицы целиком состоит из нулей, то её <#146#>определитель] равен нулю.

Свойство 2 непосредственно вытекает из определения определителя.

Свойство 3. При перестановке местами любых двух строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак.

Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число.

Свойство 5. Если каждый элемент i-й строки (столбца) матрицы A представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель такой матрицы равен $ \vert A\vert=\vert B\vert+\vert C\vert$ , где элементы матриц B и C, за исключением элементов i-й строки (столбца), совпадают с соответствующими элементами матрицы A. A в i-х строках (столбцах) матриц B и C стоят упомянутые первые и вторые слагаемые соответственно.

Отметим некоторые следствия, непосредственно вытекающие из перечисленных 5 основных свойств определителя.

Следствие 1. Определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки (столбца) равен нулю.

Доказательство. Пусть A - квадратная матрица, имеющая две одинаковые строки (столбца). B - матрица полученная в результате перестановки указанных одинаковых строк (столбцов) матрицы A. Тогда, с одной стороны, $ \det A=\det B$ , с другой стороны, в силу свойства 3, $ \det B=-\det A$ . Следовательно, $ \det A=-\det A$ . Из последнего равенства следует, что $ \det A=0$ .

Следствие 2. Если какие-либо две строки (столбца) матрицы пропорциональны, то её определитель равен нулю.

Следствие 3. Если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы любой другой строки (столбца), умноженные на любое число $ \alpha$ , то определитель не изменится.

Миноры и алгебраические дополнения.

Пусть A - произвольная квадратная матрица, $ a_{ij}$ – её элемент, стоящий в позиции (I,j). Вычеркивая из матрицы A i-ю строку и j-ый столбец, получим некоторую матрицу $ A_1$ , порядка $ (n-1)\times(n-1)$ . Определитель матрицы $ A_1$ называется минором элемента $ a_{ij}$ . Минор элемента $ a_ij$ будем обозначать символом $ M_{ij}$ .

Число $ (-1)^{i+j}M_{ij}$ называется алгебраическим дополнением элемента $ a_{ij}$ . Для обозначения алгебраического дополнения элемента $ a_{ij}$ будем пользоваться символом $ A_{ij}$ .

Разложение определителя по строке (столбцу)

Теорема 4.1. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Понятие определителя квадратной матрицы любого порядка.

Приведённая теорема 4.1 может быть положена в основу последовательного введения по индукции определителя четвёртого, пятого и всех последующих порядков.

Предположим, что уже введено понятие определителя (n-1)-го порядка. Пусть $ A\in R^{n\times n}.$ Минором каждого элемента $ a_{ij}$ матрицы A является textbfопределитель (n-1) -го порядка.

Назовём определителем квадратной матрицы A число равное

$\displaystyle \det A =\sum\limits_{j=1}^n(-1)^1+ja_{1j}M_{1j}=
$

$\displaystyle =
a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+\hdots+(-1)^{1+n}a_{1n}M_{1n}.\eqno(4)
$

Заметим, что в правой части равенства (4) стоит сумма произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения.

Можно доказать, если взять сумму произведений элементов любой другой строки (столбца) матрицы A на их алгебраические дополнения, то получится число, равное $ \deat A$ .

Заметим также, что при n=3 разложение (4) совпадает с разложением определителя третьего порядка по первой строке.

Такая схема введения определителя любого порядка изложена в книге В.А. Ильин, Э.Г. Позняк «Линейная алгебра» (М: Физматлит, 2001). Там же доказано, что определители любого порядка обладают теми же свойствами, что определители второго и третьего порядков.

Заметим, что теоретически, определитель любой квадратной матрицы порядка n может быть вычислен с применением равенства (4). Однако на практике, при достаточно больших n, применение равенства 4 весьма затруднительно, т.к. связано с большим числом вычислений. Так например, чтобы вычислить определитель 5-го порядка, надо вычислить 5 определителей четвёртого порядка или 20 определителей третьего порядка.

В дальнейшем приведём метод Гаусса, существенно облегчающий вычисление определителя.

Теорема 4.2. Определитель любой верхней треугольной (нижней треугольной) матрицы равен произведению диагональных элементов.