Элементарные преобразования матриц

Приведение матрицы к верхней трапециевидной форме.

Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования следующих трёх типов:

1) Перестановка двух строк (столбцов) матрицы;

2) Умножение строки (столбца) на число отличное от нуля;

3) Прибавление к одной строке (столбцу) матрицы другой её строки (столбца), умноженной на любое число.

Теорема 3.1. (об основном процессе) Произвольная ненулевая матрица конечным числом элементарных преобразований строк и перестановками столбцов может быть приведена к верхней трапециевидной форме.

Доказательство.

Пусть $A=(a_{ij})\in R^{m\timesn},\ A\ne 0$ . Процесс приведения ненулевой матрицы к верхней трапециевидной форме состоит в общем случае из k = min(m,n) шагов. Иногда этот процесс заканчивается раньше, давая нужный результат.

Первый шаг.

а) Так как $A\ne 0$ , то в матрице A существует элемент $a_{i_1j_1}\ne 0$ . Если $a_{11}\ne 0$ , то переходим к пункту «б». Если $a_{11}= 0$ , то, поменяв в матрице A местами -ю и -ю строки, а затем, в полученной матрице поменяв местами -й и -й столбцы, получим матрицу $B=(b_{ij})\in R^{m\times n}$ , в которой элемент в позиции (1, 1) - $b_{11}=a_{a_{i_1j_1}}\ne 0$ .

б) Элемент $b_{11}$ назовём ведущим элементом первого шага. С его помощью аннулируем все расположенные под ним элементы 1-го столбца. Для этого из каждой строки, начиная со второй, вычтем первую строку, умноженную на $\dfrac{b_{21}}{b_{11}}$ , $\dfrac{b_{31}}{b_{11}}$ , …, $\dfrac{b_{m1}}{b_{11}}$ соответственно.

После выполнения первого шага матрица переходит в матрицу

$\displaystyle B_1=\left( \begin{array}{cccc} b_{11}&b_{12} &\hdots&b_{1n} \\ ... ...{b_{11}}&\hdots&b_{mn}-\dfrac{b_{1n}b_{m1}}{b_{11}}\\ \end{array} \right).$

Если при этом все строки, начиная со второй, стали нулевыми, то весь процесс завершается, так как матрица уже приведена к верхней трапециевидной форме. Если же в этих строках есть хотя бы один, отличный от нуля элемент, т.е. если матрица

$\displaystyle B_2=\left( \begin{array}{ccc} b_{12} &\hdots&b_{1n} \\ b_{22}... ...1}}&\hdots&b_{mn}-\dfrac{b_{1n}b_{m1}}{b_{11}}\\ \end{array} \right)\ne 0,$

то переходим ко второму шагу.

Второй шаг.

Второй шаг аналогичен первому, он состоит в применении к матрице преобразований, описанных в первом шаге. При этом можно считать, что выполняются элементарные преобразования строк всей матрицы , так как все элементы первого столбца матрицы , начиная со второго, равны нулю.

Повторяя описанные преобразования на следующих шагах, самое большое через k = min(m,n) шагов мы получим требуемый результат.

Заметим, что, если описанный процесс приведения матрицы к верхней трапециевидной форме, применить к квадратной матрице, то в результате получится верхняя треугольная матрица.