Понятие матрицы

Основные понятия и обозначения. Пусть m и n два произвольных натуральных числа. Матрицей размера m на n (записывается так $m\times n$ )называется совокупность mn вещественных (комплексных) чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из m строк и n столбцов и взятая в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. При этом сами числа называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа - номер строки и номер столбца.

Для обозначения матрицы используются прописные латинские буквы, при этом саму матрицу заключают в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. Элементы матрицы обозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами: $a_{ij}$ - элемент матрицы, расположенный в i-й строке и j-м столбце или коротко элемент в позиции (i,j). В общем виде матрица размера m на n может быть записана следующим образом

$\displaystyle A=\left( \begin{array}{ccccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\hdots &a_{1... ...ots &\hdots \\ a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\hdots &a_{mn}\\ \end{array} \right)$

Приведём некоторые обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем:

$\mathbb{R}^{m\times n}$ - множество всех матриц размера m на n;

$A = (a_{ij})$ - матрица A с элементами $a_{ij}$ в позиции (i,j);

$A_{m\times n}$ - матрица размера m на n.

Элементы $a_{ij}$ , где i=j, называются диагональными, а элементы $a_{ij}$ , где $i\ne j$ - внедиагональными. Совокупность диагональных элементов $a_{11},\ a_{22},\hdots a_{kk}$ , где k = min (m,n), называется главной диагональю матрицы.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается символом O.

Заметим, что для каждого размера $m\times n$ существует своя нулевая матрица.

Матрица размера n на n называется квадратной матрицей n-го порядка, т.е. число строк равно числу столбцов.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее внедиагональные элементы равны нулю.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной матрицей и обозначается символом I или E.

Матрица размера $1\times n$ называется матрицей-строкой или вектор-строкой. Матрица размера $m\times 1$ называется матрицей столбцом или вектор-столбцом.