Операции над матрицами

Равенство матриц. Две матрицы $A=(a_{ij})$ и $B=(b_{ij})$ одинакового размера m на n называются равными, если $a_{ij}=b_{ij}$ , i = 1,2,…,m, j=1,2,…,n.

Если матрицы A и B равны, то будем писать A=B.

Линейные операции. Суммой двух матриц A и B размера m на n называется матрица C размера m на n, элементы которой определяются равенством $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij},\ i = 1,2,…,m, j=1,2,…,n.$

Сумму матриц A и B будем обозначать C=A+B.

Матрица $(-A) = (-a_{ij})$ называется противоположной к матрице $A = (a_{ij})\in R^{m\times n}$ .

Теорема 2.1 Операция сложения матриц обладает следующими свойствами: для любых матриц $A,B,C\in R^{m\times n}$ и нулевой матрицы $O\in R^{m\times n}$

1) A+B=B+A; (перестановочность или коммутативность операции сложения

2) (A+B)+C = A+(B+C); (ассоциативность или сочетательное свойство)

3) A+O = O+A =A;

4) A+(-A)=(-A)+A=O.

Перечисленные выше свойства непосредственно вытекают из определения и доказываются по единой схеме.

Разностью матриц $A = (a_{ij})\in R^{m\times n}$ и $B=(b_{ij})\in R^{m\times n}$ называется матрица A+(-B).

Разность матриц A и B будем обозначать A-B.

Произведением матрицы $A = (a_{ij})\in R^{m\times n}$ на число $\alpha$ называется матрица $C=(c_{ij})\in R^{m\times n}$ , элементы которой определены равенством $c_{ij}=\alpha a_{ij},\ i = 1,2,…,m, j = 1,2,…,n.$

Произведение матрицы A на число $\alpha$ будем обозначать $\alpha A$ .

Теорема 2.2 Операция умножения матрицы на число обладает следующими свойствами:

1) $1\cdot A =A$ ;

2) $(\alpha\beta)A =\alpha(\beta A)$ ;

3) $\alpha(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (Распределительное свойство относительно сложения матриц);

4) $(\alpha + \beta)A=\alpha A+\alpha B$ (Распределительное свойство относительно сложения чисел);

5) -A=(-1)A.

Все перечисленные свойства непосредственно вытекают из определения.

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число позволяют для произвольных матриц $A_1,\ A_2,\hdots,A_k$ одинакового размера $m\times n$ и произвольных чисел $\alpha_1,\ \alpha_2,\hdots,\alpha_k$ однозначно определить матрицу $\alpha_1A_1+\alpha_2A_2+\hdots+\alpha_kA_k=\sum\limits_{i=1}^{k}\alpha_iA_i$ , называемую линейной комбинацией матриц $A_1,\ A_2,\hdots,A_k$ с коэффициентами $\alpha_1,\ \alpha_2,\hdots,\alpha_k$ .

Умножение матриц. Произведением матриц $A = (a_{ij})\in R^{m\times n}$ и $B=(b_{ij})\in R^{m\times n}$ называется матрица $C=(c_{ij})\in R^{m\times k}$ , элементы которой определены равенством

$\displaystyle c_{ij}=\sum\limits_{s=1}^{n}a_{is}b_{sj},\quad i=1,2,\hdots,m,\ j = 1,2,\hdots,k.$

Произведение матриц A и B будем обозначать C=AB.

Из определения следует, что произведение AB определено лишь в том случае, когда число столбцов матрицы A совпадает с числом строк матрицы B. Это означает, что оба произведения AB и BA определены тогда и только тогда, когда матрицы A и B имеют размеры $m\times n$ и $n\times m$ соответственно. Следовательно равенство AB=BA возможно лишь для квадратных матриц одинакового порядка. Однако и в этом случае произведение матриц, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей.

Матрицы A и B называются перестановочными или коммутирующими, если AB=BA.

Теорема 2.3 Операция умножения матриц обладает следующими свойствами:

1) (AB)C=A(BC); (Свойство ассоциативности)

2) $\alpha(AB)=(\alpha A)B$ , для любого действительного числа $\alpha$

3) A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC (Свойство дистрибутивности), для любых матриц A, B, C, для которых левые части равенств имеют смысл.

Справедливость свойств 2) и 3) доказываются непосредственно.

В качестве иллюстрации приведём доказательство первого равенства свойства 3). Пусть $A=(a_{ij}\in R^{m\times n})$ , $B= (b_{ij})\in R^{n\times k}$ , $C=(c_{ij})\in R^{n\times k}$ . Матрицы A(B+C) и AB+AC имеют одинаковый размер - $m\times k$ . Пусть $d_{ij}$ - элемент матрицы A(B+C) в позиции (i,j), $d^{1}_{ij}$ - элемент матрицы AB+AC в позиции (i,j), тогда

$\displaystyle d_{ij}=\sum\limits_{s=1}^{n}a_{is}(b_{sj}+c_{sj})= \sum\limits_{s=1}^{n}a_{is}b_{sj}+ \sum\limits_{s=1}^{n}a_{is}c_{sj} \qquad \eqno(1)$

$\displaystyle d_{ij}^{'}= \sum\limits_{s=1}^{n}a_{is}b_{sj}+ \sum\limits_{s=1}^{n}a_{is}c_{sj}\qquad \eqno(2).$

Из равенств (1) и (2) следует, что $d_{ij}=d^{1}_{ij}$ , что доказывает первое равенство свойства 3).

Подробное доказательство свойства 1) можно найти в учебнике В. А. Ильин, Г. Д. Ким "Линейная алгебра и аналитическая геометрия".

Заметим, что для любой матрицы $A = (a_{ij})\in R^{m\times n}$ и единичных матрицы $I\in R^{n\times n}$ и $i\in R^{m\times m}$ справедливо:

$\displaystyle A I = A,\quad I A =A.$

Транспонирование матриц. Пусть $A = (a_{ij})\in R^{m\times n}$ . Матрица $A^{\top}=(a^{t}_{ij})\in R^{n\times m}$ называется транспонированной к матрице A, если $a^t_{ij}=a_{ji},\ i=1,2,\hdots,n,\ j=1,2,\hdots,m.$

Транспонированная матрица также обозначается символами и $A^{'}$ .

Заметим, что при транспонировании матрицы её строки становятся столбцами матрицы $A^{\top}$ , с теми же номерами, а столбцы - строками.

Теорема 2.4. Операция транспонирования матриц обладает следующими свойствами:

1) $(A+B)^{\top}=A^{\top}+B^{\top}$ ;

2) $(\alpha A)^{\top}=\alpha A^{\top}$ , для любого действительного числа $\alpha$ ;

3) $(AB)^{\top}=B^{\top}A^{\top}$ ;

4) $(A^{\top})^{\top}=A$ , для любых матриц A и B, для которых имеют смысл левые части равенств.

Свойства 1), 2), 4) непосредственно вытекают из определения.

Приведём доказательство свойства 3). Пусть $A = (a_{ij})\in R^{m\times n}$ и $B= (b_{ij})\in R^{n\times k}$ , при таком согласовании размеров матриц A и B произведения AB и $B^{\top}A^{\top}$ существуют, при этом размеры $(AB)^{\top}$ и $B^{\top}A^{\top}$ совпадают и равны $k\times m$ . Пусть $d_{ij}$ - элемент матрицы AB в позиции (i,j), $d^t_{ij}$ - элемент матрицы $(AB)^{\top}$ , $d^t_{ij}$ - элемент матрицы $B^{\top}A^{\top}$ в позиции (i,j).

$\displaystyle d^t_{ij}=d_{ji}= \sum\limits_{s=1}^{n}a_{js}b_{si}= \sum\limits_{s=1}^{n}a^t_{sj}b^t_{is}= \sum\limits_{s=1}^{n} b^t_{is} a^t_{sj}= d^'_{ij}.$

что доказывает справедливость свойства 3).