Матрицы специального вида

Квадратная матрица $A=(a_{ij})\in R^{m\times n}$ называется верхней треугольной, если $a_{ij}=0$ при i>j, и нижней треугольной, если $a_{ij}=0$ при i.
Общий вид треугольных матриц:

$\displaystyle \left( \begin{array}{ccccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\hdots &a_{1n}... ...ts &\hdots \\ a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\hdots &a_{mn}\\ \end{array} \right).$

Заметим, что среди диагональных элементов $a_{11},\ a_{22},\hdots a_{nn}$ могут быть равные нулю элементы. Матрица $A=(a_{ij})\in \mathbb{R}^{m\times n}$ называется верхней трапециевидной, если выполнены следующие три условия:
1. $a_{ij}=0$ при i>j;
2. Существует такое натуральное число r, удовлетворяющее неравенствам $1\leq r\leq \min(m,n)$ , что $a_{11}a_{22}\hdots a_{rr}\ne 0$ .
3. Если какой-либо диагональный элемент $a_{ii}=0$ , то все элементы i-й строки и всех последующих строк равны нулю.
Общий вид верхних трапециевидных матриц:

$\displaystyle P=\left( \begin{array}{ccccccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\hdots &a_... ...hdots&\hdots &\hdots \\ 0&0&0&\hdots &0 &\hdots&0\\ \end{array} \right),$

при $1\leq r< \min(m,n)$ .

$\displaystyle Q=\left( \begin{array}{ccccccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\hdots &a_... ...ots &\hdots \\ 0&0&0&\hdots &a_{rr}&\hdots&a_{rn}\\ \end{array} \right),$

при $1\leq r=m< n$ .

$\displaystyle S=\left( \begin{array}{ccccccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\hdots &a_... ...hdots&\hdots &\hdots \\ 0&0&0&\hdots &0 &\hdots&0\\ \end{array} \right),$

при r=n.

$\displaystyle S=\left( \begin{array}{ccccccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\hdots &a_... ...s&\hdots &\hdots \\ 0&0&0&\hdots &0&\hdots&a_{rr}\\ \end{array} \right),$

при r=m=n.
Отметим, что при r=m=n, верхняя трапециевидная матрица является треугольной матрицей с отличными от нуля диагональными элементами.