MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Матрицы специального вида

Квадратная матрица $ A=(a_{ij})\in R^{m\times n}$ называется верхней треугольной, если $ a_{ij}=0$ при i>j, и нижней треугольной, если $ a_{ij}=0$ при i.

Общий вид треугольных матриц:

$\displaystyle \left(
\begin{array}{ccccc}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&\hdots &a_{1n}...
...ts &\hdots \\
a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\hdots &a_{mn}\\
\end{array}
\right).
$

Заметим, что среди диагональных элементов $ a_{11},\ a_{22},\hdots a_{nn}$ могут быть равные нулю элементы. Матрица $ A=(a_{ij})\in \mathbb{R}^{m\times n}$ называется верхней трапециевидной, если выполнены следующие три условия:

1. $ a_{ij}=0$ при i>j;

2. Существует такое натуральное число r, удовлетворяющее неравенствам $ 1\leq r\leq \min(m,n)$ , что $ a_{11}a_{22}\hdots a_{rr}\ne 0$ .

3. Если какой-либо диагональный элемент $ a_{ii}=0$ , то все элементы i-й строки и всех последующих строк равны нулю.

Общий вид верхних трапециевидных матриц:

$\displaystyle P=\left(
\begin{array}{ccccccc}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&\hdots &a_...
...hdots&\hdots &\hdots \\
0&0&0&\hdots &0 &\hdots&0\\
\end{array}
\right),
$

при $ 1\leq r< \min(m,n)$ .

$\displaystyle Q=\left(
\begin{array}{ccccccc}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&\hdots &a_...
...ots &\hdots \\
0&0&0&\hdots &a_{rr}&\hdots&a_{rn}\\
\end{array}
\right),
$

при $ 1\leq r=m< n$ .

$\displaystyle S=\left(
\begin{array}{ccccccc}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&\hdots &a_...
...hdots&\hdots &\hdots \\
0&0&0&\hdots &0 &\hdots&0\\
\end{array}
\right),
$

при r=n.

$\displaystyle S=\left(
\begin{array}{ccccccc}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&\hdots &a_...
...s&\hdots &\hdots \\
0&0&0&\hdots &0&\hdots&a_{rr}\\
\end{array}
\right),
$

при r=m=n.

Отметим, что при r=m=n, верхняя трапециевидная матрица является треугольной матрицей с отличными от нуля диагональными элементами.