MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Понятие тензора

Пусть $ V$ -- линейное пространство над полем $ F$ , и $ V^*$ -- сопряженное к нему.

Определение. Тензором (полилинейной функцией) $ T$ типа $ (p,q)$ , где $ p,\,q\geqslant0$ , на пространстве $ V$ называется функция $ T({\mathbf x},{\mathbf y},\dots:f,g,\dots)$ от $ p$ векторов $ {\mathbf x},{\mathbf y},\dots$ и $ q$ ковекторов $ f,g,\dots$ со значениями в поле $ F$ линейная по каждому аргументу, т.е. $ T{\colon}V\times V\times\ldots\times V\times V^*\times
V^*\times\ldots\times V^*\to F$ , причем

$\displaystyle T(\dots,\alpha{\mathbf x}_1+\beta{\mathbf
x}_2,\dots;f,g,\dots)=...
...,{\mathbf
x}_1,\dots;f,g,\dots)+\beta T(\dots,{\mathbf x}_2,\dots;f,g,\dots)
$

и

$\displaystyle T({\mathbf x},{\mathbf y},\dots;\dots,\alpha f+\beta g,\dots)=
\...
...},\dots;\dots,f,\dots)+\beta
T({\mathbf x},{\mathbf y},\dots;\dots,g,\dots).
$

Сумма $ p+q$ называется валентностью тензора $ T$ .

Пусть $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ -- базис в $ V$ и $ ({\mathbf e}^1,\dots,{\mathbf e}^n)$ -- сопряженный к $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ базис в $ V^*$ . Тогда $ {\mathbf
x}=x^i{\mathbf e}_i$ , $ {\mathbf y}=y^i{\mathbf e}_i$ , $ f=f_k{\mathbf
e}^k$ , $ g=g_k{\mathbf e}^k$ и получаем

$\displaystyle T({\mathbf x},{\mathbf y},\dots;f,g,\dots)=x^iy^j\dots f_kg_l\dot...
...{\mathbf
e}^l,\dots)=x^iy^j\dots f_kg_l\dots T_{ij\dots}^{kl\dots},\eqno (1)
$

где $ T_{ij\dots}^{kl\dots}=T({\mathbf e}_i,{\mathbf
e}_j,\dots;{\mathbf e}^k,{\mathbf e}^l,\dots)$ -- компоненты (координаты) тензора $ T$ относительно базиса $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ . Получаем, количество компонент равно $ n^{p+q}$ .

Теорема. Для любого набора из $ n^{p+q}$ чисел $ T_{ij\dots}^{kl\dots}$ существует единственный тензор $ T$ на $ n$ -мерном пространстве $ V$ с координатами $ T_{ij\dots}^{kl\dots}$ относительно базиса $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ . Для фиксированного базиса $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ значения $ T$ вычисляются по формуле $ (1)$ .

Пусть $ \widetilde{\mathbf E}=C{\mathbf E}$ , т.е. $ \widetilde{\mathbf e}_i=c^j_i{\mathbf e}_j$ , и $ \widetilde{\mathbf
e}^k=c^k_l{\mathbf e}^l$ , т.е. $ D=(d^k_l)$ ($ l$ -- номер строки) -- матрица перехода от базиса $ ({\mathbf e}^1,\dots,{\mathbf e}^n)$ к $ (\widetilde{\mathbf e}^1,\dots,\widetilde{\mathbf e}^n)$ .

Лемма. Имеет место равенство $ D=(C^\top)^{-1}$ .

Из этой леммы получаем

$\displaystyle \widetilde T^{kl\dots}_{ij\dots}= T(\widetilde{\mathbf
e}_i,\wid...
...^k_\sigma d^l_\omega\dots
T^{\sigma\omega\dots}_{\alpha\beta\dots}.\eqno (2)
$

Определение. На $ n$ -мерном пространстве $ V$ задан тензор типа $ (p,q)$ , если каждому базису $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ в $ V$ сопоставлен набор из $ n^{p+q}$ чисел $ T^{kl\dots}_{ij\dots}$ , которые при переходе к новому базису $ (\widetilde{\mathbf
e}_1,\dots,\widetilde{\mathbf e}_n)$ изменяются по формулам $ (2)$ .

Теорема. $ 1)$ Координаты всякой полилинейной функции типа $ (p,q)$ задают тенор в смысле второго определения.

$ 2)$ Для всякого тензора $ \widetilde T$ в смысле второго определения существует полилинейная функция $ T$ типа $ (p,q)$ , координаты которой относительно любого базиса совпадают с компонентами тензора $ \widetilde T$ .

Примеры.

$ 1)$ Тензор типа $ (0,0)$ -- скаляр.

$ 2)$ Тензор типа $ (1,0)$ -- линейная функция.

$ 3)$ Тензор типа $ (2,0)$ -- билинейная функция.

$ 4)$ Тензор типа $ (0,1)$ -- линейная функция от одного ковектора, т.е. элемент из $ V^{**}$ (линейная функция на $ V^*$ ). Можно считать, что это вектор ( $ {\mathbf x}(f):=f({\mathbf x})$ , где $ f\in
V^*$ и $ {\mathbf x}\in V$ , и $ {\mathbf x}({\mathbf e}^i)={\mathbf
e}^i({\mathbf x})=x^i$ ).

$ 5)$ Тензор типа $ (1,1)$ -- линейный оператор. Пусть $ {\cal A}$ -- линейный оператор на $ V$ . Положим по определению $ T_{\cal
A}({\mathbf x};f)=f\bigl({\cal A}({\mathbf x})\bigr)$ . Проверим линейность, имеем

$\displaystyle T_{\cal A}(\alpha{\mathbf x}+\beta{\mathbf y};f)=f\bigl({\cal
 A}...
...ha f\bigl({\cal A}({\mathbf x})\bigr)+\beta f\bigl({\cal A}({\mathbf y})\bigr),$    
$\displaystyle T_{\cal A}({\mathbf x};\alpha f+\beta g)=(\alpha f+\beta
 g)\bigl...
...f x})\bigr)= \alpha T_{\cal A}({\mathbf
 x};f)+\beta T_{\cal A}({\mathbf x};g).$    

Пусть $ A$ -- матрица оператора $ {\cal A}$ в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ . Тогда

$\displaystyle (T_{\cal A})^i_j=T_{\cal A}({\mathbf e}_j,{\mathbf e}^i)={\mathbf
e}^i\bigl({\cal A}({\mathbf e}_j)\bigr)=a^i_j.
$

$ 6)$ Тензор типа $ (2,1)$ -- алгебра матриц с базисом $ (e_1,\dots,e_n)$ . Умножение задается формулой $ {\mathbf
e}_i\cdot{\mathbf e}_j=c^k_{ij}{\mathbf e}_k$ , где $ c^k_{ij}$ -- структурные константы. По определению $ T({\mathbf x},{\mathbf y};f)=f({\mathbf x}\cdot{\mathbf y})$ . Тогда $ T^k_{ij}=c^k_{ij}$ .

Лемма. Пусть $ T$ -- тензор типа $ (1,1)$ . Тогда $ T^i_i$ не зависит от базиса, в котором находятся $ T^i_j$ .