Понятие тензора

Пусть

-- линейное пространство над полем

, и

-- сопряженное к нему.

Определение. Тензором (полилинейной функцией) типа , где $p,\,q\geqslant0$ , на пространстве называется функция $T({\mathbf x},{\mathbf y},\dots:f,g,\dots)$ от векторов ${\mathbf x},{\mathbf y},\dots$ и ковекторов $f,g,\dots$ со значениями в поле линейная по каждому аргументу, т.е. $T{\colon}V\times V\times\ldots\times V\times V^*\times V^*\times\ldots\times V^*\to F$ , причем

$\displaystyle T(\dots,\alpha{\mathbf x}_1+\beta{\mathbf x}_2,\dots;f,g,\dots)=... ...,{\mathbf x}_1,\dots;f,g,\dots)+\beta T(\dots,{\mathbf x}_2,\dots;f,g,\dots)$

$\displaystyle T({\mathbf x},{\mathbf y},\dots;\dots,\alpha f+\beta g,\dots)= \... ...},\dots;\dots,f,\dots)+\beta T({\mathbf x},{\mathbf y},\dots;\dots,g,\dots).$

Сумма называется валентностью тензора .

Пусть $({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ -- базис в и $({\mathbf e}^1,\dots,{\mathbf e}^n)$ -- сопряженный к $({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ базис в . Тогда ${\mathbf x}=x^i{\mathbf e}_i$ , ${\mathbf y}=y^i{\mathbf e}_i$ , $f=f_k{\mathbf e}^k$ , $g=g_k{\mathbf e}^k$ и получаем

$\displaystyle T({\mathbf x},{\mathbf y},\dots;f,g,\dots)=x^iy^j\dots f_kg_l\dot... ...{\mathbf e}^l,\dots)=x^iy^j\dots f_kg_l\dots T_{ij\dots}^{kl\dots},\eqno (1)$

где $T_{ij\dots}^{kl\dots}=T({\mathbf e}_i,{\mathbf e}_j,\dots;{\mathbf e}^k,{\mathbf e}^l,\dots)$ -- компоненты (координаты) тензора

относительно базиса $({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ . Получаем, количество компонент равно $n^{p+q}$ .

Теорема. Для любого набора из $n^{p+q}$ чисел $T_{ij\dots}^{kl\dots}$ существует единственный тензор на -мерном пространстве с координатами $T_{ij\dots}^{kl\dots}$ относительно базиса $({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ . Для фиксированного базиса $({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ значения вычисляются по формуле .

Пусть $\widetilde{\mathbf E}=C{\mathbf E}$ , т.е. $\widetilde{\mathbf e}_i=c^j_i{\mathbf e}_j$ , и $\widetilde{\mathbf e}^k=c^k_l{\mathbf e}^l$ , т.е. ( -- номер строки) -- матрица перехода от базиса $({\mathbf e}^1,\dots,{\mathbf e}^n)$ к $(\widetilde{\mathbf e}^1,\dots,\widetilde{\mathbf e}^n)$ .

Лемма. Имеет место равенство $D=(C^\top)^{-1}$ .

Из этой леммы получаем

$\displaystyle \widetilde T^{kl\dots}_{ij\dots}= T(\widetilde{\mathbf e}_i,\wid... ...^k_\sigma d^l_\omega\dots T^{\sigma\omega\dots}_{\alpha\beta\dots}.\eqno (2)$

Определение. На -мерном пространстве задан тензор типа , если каждому базису $({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ в сопоставлен набор из $n^{p+q}$ чисел $T^{kl\dots}_{ij\dots}$ , которые при переходе к новому базису $(\widetilde{\mathbf e}_1,\dots,\widetilde{\mathbf e}_n)$ изменяются по формулам .

Теорема. Координаты всякой полилинейной функции типа задают тенор в смысле второго определения.

Для всякого тензора $\widetilde T$ в смысле второго определения существует полилинейная функция типа , координаты которой относительно любого базиса совпадают с компонентами тензора $\widetilde T$ .

Примеры.

Тензор типа -- скаляр.

Тензор типа -- линейная функция.

Тензор типа -- билинейная функция.

Тензор типа -- линейная функция от одного ковектора, т.е. элемент из $V^{**}$ (линейная функция на ). Можно считать, что это вектор ( ${\mathbf x}(f):=f({\mathbf x})$ , где $f\in V^*$ и ${\mathbf x}\in V$ , и ${\mathbf x}({\mathbf e}^i)={\mathbf e}^i({\mathbf x})=x^i$ ).

Тензор типа -- линейный оператор. Пусть ${\cal A}$ -- линейный оператор на . Положим по определению $T_{\cal A}({\mathbf x};f)=f\bigl({\cal A}({\mathbf x})\bigr)$ . Проверим линейность, имеем

$\displaystyle T_{\cal A}(\alpha{\mathbf x}+\beta{\mathbf y};f)=f\bigl({\cal A}... ...ha f\bigl({\cal A}({\mathbf x})\bigr)+\beta f\bigl({\cal A}({\mathbf y})\bigr),$
$\displaystyle T_{\cal A}({\mathbf x};\alpha f+\beta g)=(\alpha f+\beta g)\bigl... ...f x})\bigr)= \alpha T_{\cal A}({\mathbf x};f)+\beta T_{\cal A}({\mathbf x};g).$

Пусть

-- матрица оператора ${\cal A}$ в базисе $({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ . Тогда

$\displaystyle (T_{\cal A})^i_j=T_{\cal A}({\mathbf e}_j,{\mathbf e}^i)={\mathbf e}^i\bigl({\cal A}({\mathbf e}_j)\bigr)=a^i_j.$

Тензор типа -- алгебра матриц с базисом $(e_1,\dots,e_n)$ . Умножение задается формулой ${\mathbf e}_i\cdot{\mathbf e}_j=c^k_{ij}{\mathbf e}_k$ , где $c^k_{ij}$ -- структурные константы. По определению $T({\mathbf x},{\mathbf y};f)=f({\mathbf x}\cdot{\mathbf y})$ . Тогда $T^k_{ij}=c^k_{ij}$ .

Лемма. Пусть -- тензор типа . Тогда не зависит от базиса, в котором находятся .