Тензорные операции

Рассмотрим операции над тензорами.

Пусть -- тензор типа . Умножение на скаляр $\alpha$ -- это тензор $\alpha T$ типа , определенный формулой $(\alpha T)({\mathbf x},{\mathbf y},\dots;f,g,\dots)=\alpha T({\mathbf x},{\mathbf y},\dots;f,g,\dots)$ .

Пусть и -- тензоры типа . Тогда их суммой называется тензор типа , определенной формулой $T({\mathbf x},{\mathbf y},\dots;f,g,\dots)=T_1({\mathbf x},{\mathbf y},\dots;f,g,\dots)+ T_2({\mathbf x},{\mathbf y},\dots;f,g,\dots)$ .

Пусть и -- тензоры типа и . Тогда их тензорным произведением называется тензор $T=T_1\otimes T_2$ типа , определенной формулой

$\displaystyle T({\mathbf x}_1,\dots,{\mathbf x}_{p_1},{\mathbf x}_{p_1+1},\dots,{\mathbf x}_{p_1+p_2}; f^1,\dots,f^{q_1},f^{q_1+1},\dots,f^{q_1+q_2})=$
$\displaystyle =T_1({\mathbf x}_1,\dots,{\mathbf x}_{p_1};f^1,\dots,f^{q_1}) T_2({\mathbf x}_{p_1+1},\dots,{\mathbf x}_{p_1+p_2};f^{q_1+1},\dots,f^{q_1+q_2}).$

Лемма. Тензорное умножение ассоциативно, но не коммутативно.

Теорема. Относительно операций сложения тензоров и умножения на их скаляр все тензоры типа образуют линейное пространство ${\Bbb T}^p_q$ размерности ${\operatorname{dim}}{\Bbb T}^p_q=n^{p+q}$ . В качестве базиса этого пространства можно выбрать все разложимые тензоры ${\mathbf e}^{i_1}\otimes\ldots\otimes{\mathbf e}^{i_p}\otimes {\mathbf e}_{j_1}\otimes\ldots\otimes{\mathbf e}_{j_q}$ .

Если -- тензор типа , а $\sigma$ -- произвольная перестановка чисел $\{1,\dots,q\}$ . Тогда тензор , полученный из перестановкой верхних индексов, -- это набор чисел

$\displaystyle S^{i_{1}\cdots i_{q}}_{j_1\cdots j_p}=T^{i_{\sigma(1)}\cdots i_{\sigma(q)}}_{j_1\cdots j_p}.$

Аналогично определяется перестановка нижних индексов.

На языке полилинейных отображений перестановка индексов одного типа определяется так, если -- тензор типа , то

$\displaystyle S{\colon}V\times\cdots\times V\times V^*\times\cdots\times V^*\to{\Bbb R},$

$\displaystyle S({\mathbf x}_1,\dots,{\mathbf x}_p;f^1,\dots,f^q)= T({\mathbf x}_{1},\dots,{\mathbf x}^{p};f^{\sigma(1)},\dots,f^{\sigma(q)}),$

для любых

$\displaystyle ({\mathbf x}_1,\dots,{\mathbf x}_p;f^1,\dots,f^q)\in V\times\cdots\times V\times V^*\times\cdots\times V^*.$

Пусть дан тензор типа . Определим тензор $\widehat T$ типа . Пусть $({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ -- базис в . Тогда $\widehat T({\mathbf y},\dots;g,\dots)=T({\mathbf e}_i,{\mathbf y},\dots;{\mathbf e}^i,g,\dots)$ . Тензор $\widehat T$ -- это свертка тензора по первому ковариантному и первому контрвариантному аргументу.

Теорема. Правая часть формулы является тензором типа , причем ее определение не зависит от выбора базиса в пространстве .

Пусть задан тензор $g_{ij}$ типа , и предположим, что матрица $(g_{ij})$ невырождена в некотором базисе, значит, и любом базисе. Такие тензоры называются невырожденными.

Построим в каждом базисе наборы чисел $g^{ij}$ , образующие матрицу $(g^{ij})$ , обратную к матрице $(g_{ij})$ .

Пусть теперь $T^{i_1\cdots i_q}_{j_1\cdots j_p}$ -- произвольный тензор типа . Выберем в этом тензоре какой-нибудь нижний индекс и верхний индекс , и рассмотрим два тензора

$\displaystyle S^{j_li_1\cdots i_q}_{j_1\cdots\widehat{j_l}\ldots j_p}= g^{j_l\... ..._k\alpha}T^{i_1\cdots i_{k-1}\,\alpha\,i_{k+1} \cdots i_p}_{j_q \cdots j_p},$

полученные из двух упомянутых тензоров композицией операций тензорного произведения и свертки. Говорят, что тензор $S^{j_li_1\cdots i_q}_{j_1\cdots\widehat{j_l}\ldots j_p}$ получен из тензора $T^{i_1\cdots i_q}_{j_1\cdots j_p}$ поднятием -ого нижнего индекса, а тензор $R^{i_1\cdots\widehat{i_k}\cdots i_q}_{i_kj_1\cdots j_p}$ получен из тензора $T^{i_1\cdots i_q}_{j_1\cdots j_p}$ опусканием -ого верхнего индекса.

На языке полилинейных отображений поднятие и опускание индексов определяется так, если -- тензор типа , -- евклидово пространство, снабженное симметричной положительно определенной билинейной формой $(\cdot,\cdot)$ . Тогда существует изоморфизм $\tau{\colon}V\to V^*$ такой, что $\tau(v)\in V^*$ и $\tau(v)(w)=(v,w)=g_{ij}v^iw^j$ , где $g_{ij}=({\mathbf e}_i,{\mathbf e}_j)$ . Имеем $\tau({\mathbf e}_i)(f)=g_{ij}f^j$ , $\tau({\mathbf e}_i)=g_{ij}{\mathbf e}^j$ , $\tau^{-1}({\mathbf e}^k)=g^{kj}{\mathbf e}_j$ . Получаем

$$\displaystyle S{\colon}\underbrace{V\times\cdots\times V}_{\text{$(p-1)$ ра </div> <div class=$