MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Тензорные операции

Рассмотрим операции над тензорами.

$ 1)$ Пусть $ T$ -- тензор типа $ (p,q)$ . Умножение на скаляр $ \alpha$ -- это тензор $ \alpha T$ типа $ (p,q)$ , определенный формулой $ (\alpha T)({\mathbf x},{\mathbf y},\dots;f,g,\dots)=\alpha
T({\mathbf x},{\mathbf y},\dots;f,g,\dots)$ .

$ 2)$ Пусть $ T_1$ и $ T_2$ -- тензоры типа $ (p,q)$ . Тогда их суммой называется тензор $ T=T_1+T_2$ типа $ (p,q)$ , определенной формулой $ T({\mathbf x},{\mathbf y},\dots;f,g,\dots)=T_1({\mathbf
x},{\mathbf y},\dots;f,g,\dots)+ T_2({\mathbf x},{\mathbf
y},\dots;f,g,\dots)$ .

$ 3)$ Пусть $ T_1$ и $ T_2$ -- тензоры типа $ (p_1,q_1)$ и $ (p_2,q_2)$ . Тогда их тензорным произведением называется тензор $ T=T_1\otimes T_2$ типа $ (p_1+p_2,q_1+q_2)$ , определенной формулой

$\displaystyle T({\mathbf x}_1,\dots,{\mathbf x}_{p_1},{\mathbf
 x}_{p_1+1},\dots,{\mathbf x}_{p_1+p_2};
 f^1,\dots,f^{q_1},f^{q_1+1},\dots,f^{q_1+q_2})=$    
$\displaystyle =T_1({\mathbf x}_1,\dots,{\mathbf x}_{p_1};f^1,\dots,f^{q_1})
 T_2({\mathbf x}_{p_1+1},\dots,{\mathbf
 x}_{p_1+p_2};f^{q_1+1},\dots,f^{q_1+q_2}).$    

Лемма. Тензорное умножение ассоциативно, но не коммутативно.

Теорема. Относительно операций сложения тензоров и умножения на их скаляр все тензоры типа $ (p,q)$ образуют линейное пространство $ {\Bbb T}^p_q$ размерности $ {\operatorname{dim}}{\Bbb
T}^p_q=n^{p+q}$ . В качестве базиса этого пространства можно выбрать все разложимые тензоры $ {\mathbf
e}^{i_1}\otimes\ldots\otimes{\mathbf e}^{i_p}\otimes {\mathbf
e}_{j_1}\otimes\ldots\otimes{\mathbf e}_{j_q}$ .

$ 4)$ Если $ T$ -- тензор типа $ (p,q)$ , а $ \sigma$ -- произвольная перестановка чисел $ \{1,\dots,q\}$ . Тогда тензор $ S$ , полученный из $ T$ перестановкой верхних индексов, -- это набор чисел

$\displaystyle S^{i_{1}\cdots i_{q}}_{j_1\cdots j_p}=T^{i_{\sigma(1)}\cdots
i_{\sigma(q)}}_{j_1\cdots j_p}.
$

Аналогично определяется перестановка нижних индексов.

На языке полилинейных отображений перестановка индексов одного типа определяется так, если $ T$ -- тензор типа $ (p,q)$ , то

$\displaystyle S{\colon}V\times\cdots\times V\times V^*\times\cdots\times
V^*\to{\Bbb R},
$

$\displaystyle S({\mathbf x}_1,\dots,{\mathbf x}_p;f^1,\dots,f^q)= T({\mathbf
x}_{1},\dots,{\mathbf x}^{p};f^{\sigma(1)},\dots,f^{\sigma(q)}),
$

для любых

$\displaystyle ({\mathbf x}_1,\dots,{\mathbf x}_p;f^1,\dots,f^q)\in
V\times\cdots\times V\times V^*\times\cdots\times V^*.
$

$ 5)$ Пусть дан тензор $ T$ типа $ (p,q)$ . Определим тензор $ \widehat
T$ типа $ (p-1,q-1)$ . Пусть $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ -- базис в $ V$ . Тогда $ \widehat T({\mathbf y},\dots;g,\dots)=T({\mathbf
e}_i,{\mathbf y},\dots;{\mathbf e}^i,g,\dots)$ . Тензор $ \widehat
T$ -- это свертка тензора $ T$ по первому ковариантному и первому контрвариантному аргументу.

Теорема. Правая часть формулы является тензором типа $ (p-1,q-1)$ , причем ее определение не зависит от выбора базиса в пространстве $ V$ .

$ 6)$ Пусть задан тензор $ g_{ij}$ типа $ (2,0)$ , и предположим, что матрица $ (g_{ij})$ невырождена в некотором базисе, значит, и любом базисе. Такие тензоры называются невырожденными.

Построим в каждом базисе наборы чисел $ g^{ij}$ , образующие матрицу $ (g^{ij})$ , обратную к матрице $ (g_{ij})$ .

Пусть теперь $ T^{i_1\cdots i_q}_{j_1\cdots j_p}$ -- произвольный тензор типа $ (p,q)$ . Выберем в этом тензоре какой-нибудь нижний индекс $ j_l$ и верхний индекс $ i_k$ , и рассмотрим два тензора

$\displaystyle S^{j_li_1\cdots i_q}_{j_1\cdots\widehat{j_l}\ldots j_p}=
g^{j_l\...
..._k\alpha}T^{i_1\cdots
i_{k-1}\,\alpha\,i_{k+1} \cdots i_p}_{j_q \cdots j_p},
$

полученные из двух упомянутых тензоров композицией операций тензорного произведения и свертки. Говорят, что тензор $ S^{j_li_1\cdots i_q}_{j_1\cdots\widehat{j_l}\ldots j_p}$ получен из тензора $ T^{i_1\cdots i_q}_{j_1\cdots j_p}$ поднятием $ l$ -ого нижнего индекса, а тензор $ R^{i_1\cdots\widehat{i_k}\cdots
i_q}_{i_kj_1\cdots j_p}$ получен из тензора $ T^{i_1\cdots i_q}_{j_1\cdots j_p}$ опусканием $ k$ -ого верхнего индекса.

На языке полилинейных отображений поднятие и опускание индексов определяется так, если $ T$ -- тензор типа $ (p,q)$ , $ E$ -- евклидово пространство, снабженное симметричной положительно определенной билинейной формой $ (\cdot,\cdot)$ . Тогда существует изоморфизм $ \tau{\colon}V\to V^*$ такой, что $ \tau(v)\in V^*$ и $ \tau(v)(w)=(v,w)=g_{ij}v^iw^j$ , где $ g_{ij}=({\mathbf e}_i,{\mathbf
e}_j)$ . Имеем $ \tau({\mathbf e}_i)(f)=g_{ij}f^j$ , $ \tau({\mathbf
e}_i)=g_{ij}{\mathbf e}^j$ , $ \tau^{-1}({\mathbf e}^k)=g^{kj}{\mathbf
e}_j$ . Получаем

$\displaystyle S{\colon}\underbrace{V\times\cdots\times V}_{\text{$(p-1)$
ра         </div>
         <div class=