MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Простые поливектора (кососимметрические тензоры типа (0,p))

Рассмотрим пространство $ {\Bbb T}^p$ тензоров типа $ (0,p)$ . Тогда $ \Lambda^p(V)$ -- пространство косых (кососимметрических) $ p$ -векторов.

Определение. Пусть $ T_1\in{\Bbb T}^p$ и $ T_2\in{\Bbb T}^q$ -- два косых поливектора. Тогда их внешнее умножение -- это $ (p+q)$ -вектор $ T_1\wedge T_2=\dfrac{(p+q)!}{p!q!}A(T_1\otimes
T_2)$ .

Определение. Поливектор $ T\in\Lambda^p(V)$ называется простым, если $ T={\mathbf a}_1\wedge\ldots\wedge{\mathbf a}_p$ , $ {\mathbf a}_i\in V$ .

Для простого поливектора $ T={\mathbf a}_1\wedge\ldots\wedge{\mathbf a}_p$ имеем $ T^{i_1\ldots i_p}=\Delta^{i_1,\dots,i_p}$ , где $ i_1<\ldots<i_p$ и $ \Delta^{i_1,\dots,i_p}$ -- минор, стоящий на пересечение строк с номерами $ i_1,\dots,i_p$ , матрицы, столбцами которой являются координаты векторов $ {\mathbf a}_j$ .

Утверждение. Условие $ {\mathbf a}_1\wedge\ldots\wedge{\mathbf
a}_p=0$ равносильно линейной зависимости векторов $ {\mathbf
a}_1,\ldots,{\mathbf a}_p$ .

Теорема. Пусть $ V$ -- $ n$ -мерное векторное пространство. Тогда все поливектора из $ \Lambda^{n-1}(V)$ являются простыми.

Теорема. Если $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ -- базис в пространстве $ V$ , то $ {\operatorname{dim}}\Lambda^p(V)=C^p_n$ . В качестве базиса пространства $ \Lambda^p(V)$ можно выбрать все простые поливектора вида $ {\mathbf
e}_{i_1}\wedge\ldots\wedge{\mathbf e}_{i_p}$ , где $ 1\leqslant
i_1<\ldots<i_p\leqslant n$ .

Теорема. Пусть $ ({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf a}_p)$ и $ ({\mathbf b}_1,\dots,{\mathbf b}_p)$ две линейно независимые системы векторов в $ n$ -мерном пространстве $ V$ . $ {\operatorname{Lin}}({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf
a}_p)={\operatorname{Lin}}({\mathbf b}_1,\dots,{\mathbf b}_p)$ тогда и только тогда, когда $ {\mathbf a}_1\wedge\ldots\wedge{\mathbf
a}_p=\alpha{\mathbf b}_1\wedge\ldots\wedge{\mathbf b}_p$ для некоторого $ \alpha\in F\setminus\{0\}$ . При этом $ \alpha^{-1}=\det
C$ , где $ C$ -- матрица перехода от базиса $ ({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf a}_p)$ к $ ({\mathbf b}_1,\dots,{\mathbf b}_p)$ в подпространстве $ {\operatorname{Lin}}({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf
a}_p)={\operatorname{Lin}}({\mathbf b}_1,\dots,{\mathbf b}_p)$ .

Определение. Отвечающий любому базису $ {\mathbf
a}_1,\dots,{\mathbf a}_p\in W$ поливектор $ {\mathbf
a}_1\wedge\ldots\wedge{\mathbf a}_p$ называется направляющим поливектором подпространства $ W$ . Его координаты, вычисленные через координаты $ {\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf a}_p$ в базисе $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ пространства $ V$ , называются плюккеровыми координатами подпространства $ W$ .

Пусть $ T={\mathbf a}_1\wedge\ldots\wedge{\mathbf a}_p$ и $ W(T)$ -- множество всех векторов $ {\mathbf v}$ из $ V$ , для которых $ T\wedge{\mathbf v}=0$ .

Теорема. Разложение поливектора $ T$ в произведение $ T=R\wedge
S$ с простым поливектором $ S$ имеет место тогда и только тогда, когда $ W(S)\subset W(T)$ .