Простые поливектора (кососимметрические тензоры типа (0,p))

Рассмотрим пространство ${\Bbb T}^p$ тензоров типа

. Тогда $\Lambda^p(V)$ -- пространство косых (кососимметрических)

-векторов.

Определение. Пусть $T_1\in{\Bbb T}^p$ и $T_2\in{\Bbb T}^q$ -- два косых поливектора. Тогда их внешнее умножение -- это -вектор $T_1\wedge T_2=\dfrac{(p+q)!}{p!q!}A(T_1\otimes T_2)$ .

Определение. Поливектор $T\in\Lambda^p(V)$ называется простым, если $T={\mathbf a}_1\wedge\ldots\wedge{\mathbf a}_p$ , ${\mathbf a}_i\in V$ .

Для простого поливектора $T={\mathbf a}_1\wedge\ldots\wedge{\mathbf a}_p$ имеем $T^{i_1\ldots i_p}=\Delta^{i_1,\dots,i_p}$ , где $i_1<\ldots<i_p$ и $\Delta^{i_1,\dots,i_p}$ -- минор, стоящий на пересечение строк с номерами $i_1,\dots,i_p$ , матрицы, столбцами которой являются координаты векторов ${\mathbf a}_j$ .

Утверждение. Условие ${\mathbf a}_1\wedge\ldots\wedge{\mathbf a}_p=0$ равносильно линейной зависимости векторов ${\mathbf a}_1,\ldots,{\mathbf a}_p$ .

Теорема. Пусть -- -мерное векторное пространство. Тогда все поливектора из $\Lambda^{n-1}(V)$ являются простыми.

Теорема. Если $({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ -- базис в пространстве , то ${\operatorname{dim}}\Lambda^p(V)=C^p_n$ . В качестве базиса пространства $\Lambda^p(V)$ можно выбрать все простые поливектора вида ${\mathbf e}_{i_1}\wedge\ldots\wedge{\mathbf e}_{i_p}$ , где $1\leqslant i_1<\ldots<i_p\leqslant n$ .

Теорема. Пусть $({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf a}_p)$ и $({\mathbf b}_1,\dots,{\mathbf b}_p)$ две линейно независимые системы векторов в -мерном пространстве . ${\operatorname{Lin}}({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf a}_p)={\operatorname{Lin}}({\mathbf b}_1,\dots,{\mathbf b}_p)$ тогда и только тогда, когда ${\mathbf a}_1\wedge\ldots\wedge{\mathbf a}_p=\alpha{\mathbf b}_1\wedge\ldots\wedge{\mathbf b}_p$ для некоторого $\alpha\in F\setminus\{0\}$ . При этом $\alpha^{-1}=\det C$ , где -- матрица перехода от базиса $({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf a}_p)$ к $({\mathbf b}_1,\dots,{\mathbf b}_p)$ в подпространстве ${\operatorname{Lin}}({\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf a}_p)={\operatorname{Lin}}({\mathbf b}_1,\dots,{\mathbf b}_p)$ .

Определение. Отвечающий любому базису ${\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf a}_p\in W$ поливектор ${\mathbf a}_1\wedge\ldots\wedge{\mathbf a}_p$ называется направляющим поливектором подпространства . Его координаты, вычисленные через координаты ${\mathbf a}_1,\dots,{\mathbf a}_p$ в базисе $({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ пространства , называются плюккеровыми координатами подпространства .

Пусть $T={\mathbf a}_1\wedge\ldots\wedge{\mathbf a}_p$ и -- множество всех векторов ${\mathbf v}$ из , для которых $T\wedge{\mathbf v}=0$ .

Теорема. Разложение поливектора в произведение $T=R\wedge S$ с простым поливектором имеет место тогда и только тогда, когда $W(S)\subset W(T)$ .