MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Симметрические и кососимметрические тензоры типа (p,0)

Рассмотрим пространство $ {\Bbb T}^0_p={\Bbb T}_p$ . Это пространство $ p$ -форм.

Пусть $ T$ -- произвольный тензор типа $ (p,0)$ , и $ \pi\in S_p$ . Тогда определим новый тензор $ \pi T$ равенством

$\displaystyle (\pi T)({\mathbf x}_1,\dots,{\mathbf x}_p)=T({\mathbf
x}_{\pi(1)},\dots,{\mathbf x}_{\pi(p)}).
$

Сопоставление $ T\to\pi T$ является линейным.

Определение. $ p$ -форма $ T$ является симметрической, если $ \pi T=T$ для любой перестановки $ \pi\in S_p$ . $ p$ -форма $ T$ является кососимметрической, если $ \pi T=\varepsilon_\pi T$ для любой перестановки $ \pi\in S_p$ .

Определение. Симметризацией тензора $ T\in{\Bbb T}_p$ называется тензор $ ST=\dfrac{1}{p!}\sum_{\pi\in S_p}\pi T$ . Альтернацией тензора $ T\in{\Bbb T}_p$ называется тензор $ AT=\dfrac{1}{p!}\sum_{\pi\in S_p}\varepsilon_{\pi}\pi T$ .

Лемма. Для всякого тензора $ T\in{\Bbb T}_p$ $ p$ -форма $ ST$ ($ AT$ ) является симметрической (кососимметрической).

Лемма. Для всякого $ T\in{\Bbb T}_p$ и всякой $ \pi\in S_p$ справедливы равенства $ A(\pi T)=\varepsilon_\pi AT$ и $ S(\pi T)=ST$ .

Лемма. Для $ p$ -формы $ T\in{\Bbb T}_p$ равенство $ T=AT$ $ (T=ST)$ выполняется тогда и только тогда, когда $ T$ кососимметрическая (симметрическая) $ p$ -форма.

Лемма. Справедливы следующие равенства $ A(AT_1\otimes
T_2)=A(T_1\otimes T_2)=A(T_1\otimes AT_2)$ и $ S(ST_1\otimes
T_2)=S(T_1\otimes T_2)=S(T_1\otimes ST_2)$ .

Определение. Пусть $ T_1\in{\Bbb T}_p$ и $ T_2\in{\Bbb T}_q$ -- две формы. Тогда их внешнее умножение -- это $ (p+q)$ -форма $ T_1\wedge T_2=\dfrac{(p+q)!}{p!q!}A(T_1\otimes T_2)$ , симметрическое умножение -- это $ (p+q)$ -форма $ T_1\c
T_2=\dfrac{(p+q)!}{p!q!}S(T_1\otimes T_2)$ .

Теорема. $ 1)$ $ T_1\wedge T_2$ -- косая $ (p+q)$ -форма.

$ 2)$ Умножение косых форм ассоциативно и антикоммутативно, т.е. $ T_1\wedge T_2=(-1)^{pq}T_2\wedge T_1$ (симметрическое умножение коммутативно).

Если $ f^i\in V^*$ , $ 1\leqslant i\leqslant p$ , то $ f^1\wedge\ldots\wedge f^p$ -- $ p$ -форма. Так как $ f^{\sigma(1)}\wedge\ldots\wedge f^{\sigma(p)}=\varepsilon_\sigma
f^1\wedge\ldots\wedge f^p$ , то $ f\wedge f=0$ .

Определение. $ \Lambda_p(V)$ -- множество косых $ p$ -форм на $ V$ .

Теорема. Если $ ({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ -- базис в пространстве $ V$ , то $ {\operatorname{dim}}\Lambda_p(V)=C^p_n$ . В качестве базиса пространства $ \Lambda_p(V)$ можно выбрать все разложимые $ p$ -формы вида $ {\mathbf
e}^{i_1}\wedge\ldots\wedge{\mathbf e}^{i_p}$ , где $ 1\leqslant
i_1<\ldots<i_p\leqslant n$ .

Лемма. Пусть $ f^1,\dots,f^p$ -- линейные функции. Тогда $ f^1\wedge\ldots\wedge f^p=p!A(f^1\otimes\ldots\otimes f^p)$ .