Симметрические и кососимметрические тензоры типа (p,0)

Рассмотрим пространство ${\Bbb T}^0_p={\Bbb T}_p$ . Это пространство

-форм.

Пусть -- произвольный тензор типа , и $\pi\in S_p$ . Тогда определим новый тензор $\pi T$ равенством

$\displaystyle (\pi T)({\mathbf x}_1,\dots,{\mathbf x}_p)=T({\mathbf x}_{\pi(1)},\dots,{\mathbf x}_{\pi(p)}).$

Сопоставление $T\to\pi T$ является линейным.

Определение. -форма является симметрической, если $\pi T=T$ для любой перестановки $\pi\in S_p$ . -форма является кососимметрической, если $\pi T=\varepsilon_\pi T$ для любой перестановки $\pi\in S_p$ .

Определение. Симметризацией тензора $T\in{\Bbb T}_p$ называется тензор $ST=\dfrac{1}{p!}\sum_{\pi\in S_p}\pi T$ . Альтернацией тензора $T\in{\Bbb T}_p$ называется тензор $AT=\dfrac{1}{p!}\sum_{\pi\in S_p}\varepsilon_{\pi}\pi T$ .

Лемма. Для всякого тензора $T\in{\Bbb T}_p$ -форма ( ) является симметрической (кососимметрической).

Лемма. Для всякого $T\in{\Bbb T}_p$ и всякой $\pi\in S_p$ справедливы равенства $A(\pi T)=\varepsilon_\pi AT$ и $S(\pi T)=ST$ .

Лемма. Для -формы $T\in{\Bbb T}_p$ равенство выполняется тогда и только тогда, когда кососимметрическая (симметрическая) -форма.

Лемма. Справедливы следующие равенства $A(AT_1\otimes T_2)=A(T_1\otimes T_2)=A(T_1\otimes AT_2)$ и $S(ST_1\otimes T_2)=S(T_1\otimes T_2)=S(T_1\otimes ST_2)$ .

Определение. Пусть $T_1\in{\Bbb T}_p$ и $T_2\in{\Bbb T}_q$ -- две формы. Тогда их внешнее умножение -- это -форма $T_1\wedge T_2=\dfrac{(p+q)!}{p!q!}A(T_1\otimes T_2)$ , симметрическое умножение -- это -форма $T_1\c T_2=\dfrac{(p+q)!}{p!q!}S(T_1\otimes T_2)$ .

Теорема. $T_1\wedge T_2$ -- косая -форма.

Умножение косых форм ассоциативно и антикоммутативно, т.е. $T_1\wedge T_2=(-1)^{pq}T_2\wedge T_1$ (симметрическое умножение коммутативно).

Если $f^i\in V^*$ , $1\leqslant i\leqslant p$ , то $f^1\wedge\ldots\wedge f^p$ -- -форма. Так как $f^{\sigma(1)}\wedge\ldots\wedge f^{\sigma(p)}=\varepsilon_\sigma f^1\wedge\ldots\wedge f^p$ , то $f\wedge f=0$ .

Определение. $\Lambda_p(V)$ -- множество косых -форм на .

Теорема. Если $({\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_n)$ -- базис в пространстве , то ${\operatorname{dim}}\Lambda_p(V)=C^p_n$ . В качестве базиса пространства $\Lambda_p(V)$ можно выбрать все разложимые -формы вида ${\mathbf e}^{i_1}\wedge\ldots\wedge{\mathbf e}^{i_p}$ , где $1\leqslant i_1<\ldots<i_p\leqslant n$ .

Лемма. Пусть $f^1,\dots,f^p$ -- линейные функции. Тогда $f^1\wedge\ldots\wedge f^p=p!A(f^1\otimes\ldots\otimes f^p)$ .