MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Применение комбинаторики к подсчету вероятности

Если из совокупности объема n производится выборка k элементов с возвращением, то вероятность получения каждой конкретной выборки считается равной

$\displaystyle \dfrac{1}{n} .
$

Если выборка производится без возвращения, то эта вероятность равна.

$\displaystyle \dfrac{1}{A_n^k}.
$

Пусть наступление события А состоит в появлении выборки с какими-то дополнительными ограничениями и количество таких выборок равно m. Тогда в случае выборки с возвращением имеем:

$\displaystyle p(A)=\dfrac{m}{n^k},
$

в случае выборки без возвращения:

$\displaystyle \dfrac{m}{A_n^k}.
$

Пример 1.

Наудачу выбирается трехзначное число, в десятичной записи которого нет нуля. Какова вероятность того, что у выбранного числа ровно две одинаковые цифры?

Решение.

Представим себе, что на 9 одинаковых карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и эти карточки помещены в урну. Выбор наудачу трехзначного числа равносилен последовательному извлечению с возвращением из урны 3 карточек и записыванием цифр в порядке их появления. Следовательно, число всех элементарных исходов опыта равно $ 9^3 = 729.$ Количество благоприятных случаев для интересующего нас события A подсчитываем так: 2 различные цифры х и у можно выбрать $ C^2_9 = 36$ способами; если х и у выбраны, то из них можно составить $ \dfrac{(2+1)!}{2!1!}=3$ , т.е. 3 трехзначных числа, в которых х встречается два раза, а у –один раз; столько же будет чисел, в которых у встречается дважды; х – один раз. Таким образом, число благоприятных случаев равно $ 36 \cdot(3 + 3) = 216.$ Искомая вероятность равна:

$\displaystyle p(A)=\dfrac{216}{729}.
$

Пример 2.

Из букв слова «ротор», составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «тор»?

Решение.

Чтобы отличать одинаковые буквы друг от друга, снабдим их номерами: $ p_1, p_2, o_1, o_2.$ Тогда общее число элементарных исходов равно: $ A_5^3=60$ . Слово «тор» получится в $ 1 \cdot 2 \cdot2 = 4$ случаях (т$ o_1p_1$ , т$ o_1p_2$ , т$ o_2p_1$ , т$ o_2p_2$ ). Искомая вероятность равна:

$\displaystyle p=\dfrac{4}{60}=\dfrac{1}{15}.
$

При подсчете числа благоприятных случаев здесь воспользовались правилом произведения: букву «т» можно выбрать одним способом, букву «о» – двумя и букву «р» – двумя способами.

Статистический выбор.

Пусть в урне находятся n предметов. Испытание состоит в том, что из урны извлекается группа из m предметов (без возвращения, без учета порядка предметов внутри группы). Количество таких выборок равно $ C_n^m$ и предполагаем, что все они имеют равные вероятности $ \dfrac{1}{C_n^m}$ .

Пример 3.

В партии из N деталей имеется n бракованных. Какова вероятность того, что среди наудачу отобранных k деталей окажется s бракованных?

Решение.

Количество всех элементарных исходов равно $ C_N^k$ . Для подсчета числа благоприятных случаев рассуждаем так: из n бракованных можно выбрать s деталей $ C_n^s$ способами, а из N - n небракованных можно выбрать k - s небракованных деталей $ C_{N-n}^{k-s}$ способами; по правилу произведения число благоприятных случаев равно $ C_n^sC_{N-n}^{k-s}$ . Искомая вероятность равна:

$\displaystyle p=\dfrac{C_n^sC_{N-n}^{k-s}}{C_N^k}.
$