Формула полной вероятности и формула Байеса

Пусть событие A может наступить только с одним из n попарно несовместных событий $H_1, H_2, \hdots, H_n$ , которые по отношению к А называются гипотезами. Тогда вероятность события А можно вычислить по формуле полной вероятности:

$\displaystyle P(A)=\sum\limits_{i=1}^{n}P(H_i)P(A\vert H_i).$

. Если стало известно, что событие А произошло, то вероятность $P(H_i),\ i = 1,2,\hdots,n$ можно переоценить, т.е. найти условные вероятности $P(H_i\vert A)$ . Эта задача решается по формуле Байеса:

$\displaystyle P(H_i\vert A)=\dfrac{P(H_i)P(A\vert H_i)}{P(A)},$

где

вычисляется по формуле полной вероятности.

Пример.

В первой урне 2 белых и 6 черных шаров, во второй – 4 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй урны наудачу достали один шар.

а) Какова вероятность того, что этот шар белый?

б) Шар, взятый из второй урны, оказался белым. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую были переложены 2 белых шара?

Решение.

Введем обозначения:

А – шар, извлеченный из второй урны, белый;

гипотезы – из первой урны во вторую переложены 2 белых шара,

– переложены 2 разноцветных шара,

– переложены 2 черных шара.

Тогда

$\displaystyle P(A)=P(H_1)P(A\vert H_1)+P(H_2)P(A\vert H_2)+P(H_3)P(A\vert H_3).$

Вероятности гипотез и условие вероятности $P(A\vert H_i),\ (i = 1, 2, 3)$ вычисляем по классической схеме:

$\displaystyle P(H_1)=\dfrac{C^2_2}{C^2_8}=\dfrac{1}{28},\ P(H_2)=\dfrac{C^1_2\cdot C^1_6}{C^2_8}=\dfrac{12}{28},\ P(H_3)=\dfrac{C^2_6}{C^2_8}=\dfrac{15}{28};$

$\displaystyle P(A\vert H_1)=\dfrac{3}{4},\ P(A\vert H_2)=\dfrac{5}{8},\ P(A\vert H_3)=\dfrac{1}{2}.$

Полученные результаты подставим в формулу полной вероятности:

$\displaystyle P(A)=\dfrac{9}{16}$

б) Вероятность $P(H_1\vert A)$ находим по формуле Байеса:

$\displaystyle P(H_1\vert A)=\dfrac{P(H_1)P(A\vert H_1)}{P(A)}=\dfrac{1}{21}.$