MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Формула Бернулли и ее обобщение

Опыты $ \alpha_1,\alpha_2,\hdots$ называются независимыми, если любая комбинация их исходов является совокупностью независимых событий.

В вероятностной схеме Бернулли рассматривается последовательность n независимых опытов $ \alpha_1,\alpha_2,\hdots,\alpha_n$ , в каждом из которых некоторое событие A может наступить с одной и той же вероятностью $ p=P(A)$ . Условно это событие рассматривается как успех, а его ненаступление (событие $ \bar{A}$ ) – как неудача. Вероятность неудачи в каждом опыте равна: $ q=1-p$ .

Пусть для заданного целого числа k ( $ 0\leq k \leq n$ ) $ P_n(k)$ обозначает вероятность того, что в n опытах успех наступит ровно k раз. Имеет место формула Бернулли:

$\displaystyle P_n(k)=C^k_np^kq^{n-k}.
$

Вероятности $ P_n(k)$ $ (k = 0,1,\hdots,n)$ называются биномиальными в силу того, что правая часть формулы представляет собой общий член разложения бинома Ньютона:

$\displaystyle (p+q)^n=\sum\limits_{k=0}^nC^k_np^kq^{n-k}.
$

Так как $ p+q=1$ , то из формулы бинома Ньютона следует, что сумма всех биномиальных вероятностей равна 1:

$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^nP_n(k)=1.
$

Пример 1.

Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0.8 и не зависит от номера выстрела. Требуется найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в мишень.

Решение.

В этом примере n = 5, р = 0.8 и k = 2; по формуле Бернулли находим:

$\displaystyle P_5(2)=C_5^2p^2q^3=C_5^20.8^20.2^3=0.0512.
$

Пример 2.

2 равносильных шахматиста играют ряд партий, причем ничьи в счет не идут. Что более вероятно в счете: ( 1 : 1), или (2 : 2), или (3 : 3) и т.д.?

Решение.

Найдем по формуле Бернулли вероятность того, что в 2n результативных партиях один из шахматистов выиграет n партий, т.е. счет будет n : n. Принимая во внимание, что p=q=0.5 , имеем:

$\displaystyle P_{2n}(n)=C_{2n}^n0.5^n0.5^n=\dfrac{(2n)!}{(n!)^22^{2n}}.
$

Преобразуем полученное выражение с целью найти связь между $ P_{2n}(n)$ и $ P_{2n+2}(n+1)$ :

$\displaystyle P_{2n}(n)=\dfrac{(2n)!(2n+1)(2n+2)(n+1)^22^2}{(n!)^2(2n+1)(2n+2)(n+1)^22^{2n+2}}=
$

$\displaystyle =
\dfrac{2n+2}{2n+1}P_{2n+2}(n+1)=
\left(1+\dfrac{1}{2n+1}\right)P_{2n+2}(n+1).
$

Из полученного соотношения

$\displaystyle P_{2n}(n)=\left(1+\dfrac{1}{2n+1}\right)P_{2n+2}(n+1)
$

видно, что счет (n : n) более вероятен, чем (n + 1 : n + 1). Расчеты по формуле Бернулли показывают, что последовательности событий (1 : 1), (2 : 2), (3 : 3), (4 : 4), … соответствует последовательности вероятностей

$\displaystyle \dfrac{64}{128},\ \dfrac{48}{128},\ \dfrac{40}{128},\hdots
$

Наиболее вероятные события.

То число успехов $ k_0$ , которому при заданном n соответствует максимальная биномиальная вероятность $ P_n(k_0)$ , называется наиболее вероятным числом успехов.

Для нахождения наиболее вероятного числа успехов $ k_0$ по заданным n и р можно воспользоваться неравенствами:

$\displaystyle np-q\leq k_0\leq np+p
$

или правилом: если число np + p не целое, то $ k_0$ равно целой части этого числа ( $ k_0 = [np+p]$ ); если же np + p целое, то $ k_0$ имеет два значения $ k_0=np-q$ и $ np+p$ .

Пример 3.

Найдите наиболее вероятное число попаданий в мишень при 5 выстрелах, используя условие примера 1, и соответствующую этому числу вероятность.

Решение.

Так как $ np + p = 5 \cdot 0.8 + 0.8= 4.8$ не целое, то $ k_0 = [4.8] = 4$ ; вероятность $ P_5(4)$ находим по формуле Бернулли:

$\displaystyle P_5(4)=C^4_50.8^40.2=0.4096
$

Обобщенная формула Бернулли

Пусть производится n независимых опытов, каждый из которых имеет $ m \ (m \geq 2)$ попарно несовместных и единственно возможных исходов $ A_1, A_2,\hdots, A_m$ с вероятностями $ p_1= P(A),\hdots,p_m = P(A_m)$ , одинаковыми во всех опытах (имеется в виду, что $ p_1+p_2+\hdots+ p_m=1$ ).

Для произвольных целых неотрицательных чисел $ k_1, k_2,\hdots,k_m\ (k_1+ k_2+\hdots+k_m = n)$ обозначим через $ P_n (k_1, k_2,\hdots,k_m)$ вероятность того, что в n опытах исход $ A_1$ наступит $ k_1$ раз, исход $ A_2 - k_2$ раз и т.д., исход $ A_m - k_m$ раз.

Тогда справедлива формула

$\displaystyle P_n (k_1, k_2,\hdots,k_m) = \dfrac{n!}{k_1!k_2!\hdots k_m!}p_1^{k_1} p_2^{k_2}\hdots p_m^{k_m},
$

которая является обобщением формулы Бернулли на случай, когда каждый из независимых опытов $ \alpha_1,\alpha_2,\hdots,\alpha_n$ имеет m исходов ($ m \geq 2$ ).

Вероятности $ P_n (k_1, k_2,\hdots,k_m)$ , соответствующие всевозможным наборам целых неотрицательных чисел $ k_1, k_2,\hdots,k_m$ с условием $ k_1+ k_2+\hdots+k_m = n$ назовем полиномиальными, ввиду того что выражение, стоящее в правой части формулы, представляет собой общий член разложения $ (p_1+p_2+\hdots+p_m)^n$ по полиномиальной формуле.

Вывод формулы аналогичен выводу формулы Бернулли.

Пусть событие В означает: в n независимых опытах событие $ А_1$ наступит $ k_1$ раз, событие $ A_2 - k_2$ раз и т.д., событие $ A_m - k_m$ раз. Тогда $ P_n (k_1, k_2,\hdots,k_m) = P(B)$ . Каждый вариант реализации события В можно интерпретировать как строку длины n, составленную из символов $ A_1, A_2,\hdots, A_m$ , в которой $ A_i$ повторяется $ k_i$ раз. Количество N таких строк равно числу размещений состава $ (k_1, k_2,\hdots,k_m)$ , т.е.

$\displaystyle N=\dfrac{(k_1+k_2\hdots+k_m)!}{k_1!k_2!\hdots k_m!}=
\dfrac{n!}{k_1!k_2!\hdots k_m!};
$

вероятность же каждого варианта равна $ p_1^{k_1}p_2^{k_2}\hdots p_m^{k_m}$ . Отсюда по правилу сложения вероятностей имеем обобщенную формулу Бернулли .