MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Геометрические вероятности

При геометрическом подходе к определению вероятности в качестве пространства $ \Omega$ элементарных событий рассматривается произвольное множество конечной лебеговой меры на прямой, плоскости или пространстве. Событиями называются всевозможные измеримые подмножества множества $ \Omega$ .

Вероятность события А определяется формулой

$\displaystyle p(A)=\dfrac{\mu(A)}{\mu(\Omega)},
$

где $ \mu(A)$ обозначает лебегову меру множества А. При таком определении событий и вероятностей все аксиомы А.Н.Колмогорова выполняются.

В конкретных задачах, которые сводятся к указанной выше вероятностной схеме, испытание интерпретируется как случайный выбор точки в некоторой области $ \Omega$ , а событие А – как попадание выбранной точки в некоторую подобласть А области $ \Omega$ . При этом требуется, чтобы все точки области $ \Omega$ имели одинаковую возможность быть выбранными. Это требование обычно выражается словами «наудачу», «случайным образом» и т.д.

Пример 1.

В круг радиуса R наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется внутри данного вписанного правильного треугольника.

Решение.

Искомая вероятность равна отношению площади треугольника к площади круга:

$\displaystyle p=\dfrac{3\sqrt{3}R^2}{4\pi R^2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4\pi}\approx 0.4135.
$

Пример 2. Из отрезка [0, 2] на удачу выбраны два числа х и у. Найдите вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам $ x^2\leq 4y\leq 4x$ .

Решение.

По условиям опыта координаты точки (х,у) удовлетворяют системе неравенств:

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{lcl}
0\leq x\leq 2;\\
0\leq y\leq2.
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

Это значит, что точка (х,у) наудачу выбирается из множества точек квадрата со стороной 2. Интересующее нас событие происходит в том и только в том случае, когда выбранная точка (х,у) окажется под прямой и над параболой. Эта область получена как множество точек, ординаты которых удовлетворяют неравенствам $ x^2\leq 4y\leq 4x.$ Следовательно, искомая вероятность равна отношению площади области к площади квадрата:

$\displaystyle p=\dfrac{\int\limits_{0}^{1}\left(x-\dfrac{1}{4}x^2\right)\,dx}{4}=\dfrac{1}{3}.
$