Геометрические вероятности

При геометрическом подходе к определению вероятности в качестве пространства $\Omega$ элементарных событий рассматривается произвольное множество конечной лебеговой меры на прямой, плоскости или пространстве. Событиями называются всевозможные измеримые подмножества множества $\Omega$ .

Вероятность события А определяется формулой

$\displaystyle p(A)=\dfrac{\mu(A)}{\mu(\Omega)},$

где $\mu(A)$ обозначает лебегову меру множества А. При таком определении событий и вероятностей все аксиомы А.Н.Колмогорова выполняются.

В конкретных задачах, которые сводятся к указанной выше вероятностной схеме, испытание интерпретируется как случайный выбор точки в некоторой области $\Omega$ , а событие А – как попадание выбранной точки в некоторую подобласть А области $\Omega$ . При этом требуется, чтобы все точки области $\Omega$ имели одинаковую возможность быть выбранными. Это требование обычно выражается словами «наудачу», «случайным образом» и т.д.

Пример 1.

В круг радиуса R наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется внутри данного вписанного правильного треугольника.

Решение.

Искомая вероятность равна отношению площади треугольника к площади круга:

$\displaystyle p=\dfrac{3\sqrt{3}R^2}{4\pi R^2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4\pi}\approx 0.4135.$

Пример 2. Из отрезка [0, 2] на удачу выбраны два числа х и у. Найдите вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам $x^2\leq 4y\leq 4x$ .

Решение.

По условиям опыта координаты точки (х,у) удовлетворяют системе неравенств:

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{lcl} 0\leq x\leq 2;\\ 0\leq y\leq2. \end{array} \right. \end{displaymath}$

Это значит, что точка (х,у) наудачу выбирается из множества точек квадрата со стороной 2. Интересующее нас событие происходит в том и только в том случае, когда выбранная точка (х,у) окажется под прямой и над параболой. Эта область получена как множество точек, ординаты которых удовлетворяют неравенствам $x^2\leq 4y\leq 4x.$ Следовательно, искомая вероятность равна отношению площади области к площади квадрата:

$\displaystyle p=\dfrac{\int\limits_{0}^{1}\left(x-\dfrac{1}{4}x^2\right)\,dx}{4}=\dfrac{1}{3}.$