MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Классический способ подсчета вероятностей

Пусть $ \Omega$ - конечное пространство элементарных событий $ A_1, A_2,..., A_n$ . В качестве борелевского поля событий рассмотрим систему S всех подмножеств множества $ \Omega$ .

Ясно, что при этом аксиомы I и II выполняются. При классическом способе подсчета вероятностей все элементарные события считаются равновероятными. И так как $ p(A_1 + A_2 +... + A_n) = p(U) = 1$ , то $ p(A_1) = p(A_2) = ... = p(A_n) =\dfrac{1}{n}$ .

Если теперь A – произвольное событие и $ A = A_i1 + ...+ A_im$ , то согласно аксиоме 2 имеем $ p(A) = \dfrac{m}{n}$ .

События $ A_1, A_2,..., A_n$ принято называть элементарными исходами данного испытания, а те элементарные исходы, которые в сумме составляют событие А, называются благоприятными случаями для А. Количество благоприятных случаев для события А обозначим $ \mu(A)$ . Таким образом, $ p(A) = \dfrac{\mu(A)}{n}$ , т.е. вероятность события А равна отношению числа благоприятных случаев для А к общему числу элементарных исходов испытания.

Пример 1.

В урне 10 шаров, из которых 3 белых и 7 черных. Какова вероятность того, что наудачу извлеченный шар из этой урны окажется белым?

Решение. Пусть событие А – извлеченный шар оказывается белым. Данное испытание имеет 10 равновероятных исходов, из которых для события А благоприятны три.

Следовательно, $ p(A) = \dfrac{3}{10}$ .

Пример 2.

Все натуральные числа от 1 до 20 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны наудачу взята одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5 – событие А; кратным 3 – событие В; простым – событие С; составным – событие D; не простым и не составным – событие Е?

Решение.

Испытание имеет 20 равновероятных исходов. Из них

$\displaystyle \mu(A) = 4; \mu(B) = 6; \mu(C) = 8; \mu(D) = 11; \mu(E) = 1.
$

Соответственно событиям получим следующие вероятности:

$\displaystyle p(a) = 0,2; p(B) = 0,3; p(C) = 0,4; p(D) = 0,55; p(E) = 0,05.
$