MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Случайные величины общего вида и функция распределения

Определение случайной величины общего вида основывается на понятии борелевского множества.

Множество точек на числовой оси R называется борелевским, если оно может быть получено из множества вида {x/x < а} применением конечного или счетного числа операций объединения, пересечения и дополнения.

Определение. Говорят, что задана случайная величина $ \xi$ (случайная величина общего вида), если каждому борелевскому множеству А на числовой оси R поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А) так, что выполняются следующие условия:

1. P(R) = 1.

2. Если борелевские множества $ A_1, A_2,...$ попарно не пересекаются, то $ p(A_1 + A_2 +...) = p(A_1) + p(A_2) + ...$ (условие счетной аддитивности).

Функция F(x), определенная для любого $ х\in R$ равенством

$\displaystyle F(x) = p( \xi < x ),\qquad\eqno (1)
$

называется функцией распределения случайной величины $ \xi$ .

Если функция распределения F(x) задана, то вероятность события $ x_1\leq \xi < x_2$ вычисляется по формуле

$\displaystyle р(x_1\leq x < x2) = F(x_2) - F(x_1).\qquad \eqno (2)
$

Любой способ задания случайной величины называется законом распределения этой величины. На практике для задания случайных величин общего вида обычно используется функция распределения.

Вероятность того, что случайная величина $ \xi$ примет определенное значение $ x_0$ , выражается через функцию распределения по формуле

$\displaystyle р (\xi = x_0) = F(x_0 +0) – F(x_0).\qquad\eqno (3)
$

В частности, если в точке $ \xi = x_0$ функция F(x) непрерывна, то

$\displaystyle р (\xi = x_0) =0.
$

Случайная величина $ \xi$ с распределением р(А) называется дискретной, если на числовой прямой существует конечное или счетное множество $ \Omega$ , такое, что $ P(\Omega) = 1$ .

Пусть $ \Omega = \{x_1, x_2,...\}$ и $ p_i = p({x_i}) = p(x = x_i),\ i = 1,2,...$ . Тогда для любого борелевского множества А вероятность р(А) определяется однозначно формулой

$\displaystyle P(A)=\sum\limits_{x_i\in A}p_i. \qquad\eqno (4)
$

Положив в этой формуле $ A = \{x_i \vert x_i < x\}, x \in R$ , получим формулу для функции распределения F(x) дискретной случайной величины $ \xi$ :

$\displaystyle F(x) = p(\xi < x) = \sum\limits_{\{i:x_i<x\}}p_i.\qquad\eqno (5)
$

График функции F(x) представляет собой ступенчатую линию. Скачки функции F(x) в точках $ \xi = x_1, x_2 ...(x_1<x_2<...)$ равны соответствующим вероятностям $ p_1, p_2,...$