Случайные величины общего вида и функция распределения

Определение случайной величины общего вида основывается на понятии борелевского множества.

Множество точек на числовой оси R называется борелевским, если оно может быть получено из множества вида {x/x < а} применением конечного или счетного числа операций объединения, пересечения и дополнения.

Определение. Говорят, что задана случайная величина $\xi$ (случайная величина общего вида), если каждому борелевскому множеству А на числовой оси R поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А) так, что выполняются следующие условия:

1. P(R) = 1.

2. Если борелевские множества попарно не пересекаются, то (условие счетной аддитивности).

Функция F(x), определенная для любого $х\in R$ равенством

$\displaystyle F(x) = p( \xi < x ),\qquad\eqno (1)$

называется функцией распределения случайной величины $\xi$ .

Если функция распределения F(x) задана, то вероятность события $x_1\leq \xi < x_2$ вычисляется по формуле

$\displaystyle р(x_1\leq x < x2) = F(x_2) - F(x_1).\qquad \eqno (2)$

Любой способ задания случайной величины называется законом распределения этой величины. На практике для задания случайных величин общего вида обычно используется функция распределения.

Вероятность того, что случайная величина $\xi$ примет определенное значение , выражается через функцию распределения по формуле

$\displaystyle р (\xi = x_0) = F(x_0 +0) – F(x_0).\qquad\eqno (3)$

В частности, если в точке $\xi = x_0$ функция F(x) непрерывна, то

$\displaystyle р (\xi = x_0) =0.$

Случайная величина $\xi$ с распределением р(А) называется дискретной, если на числовой прямой существует конечное или счетное множество $\Omega$ , такое, что $P(\Omega) = 1$ .

Пусть $\Omega = \{x_1, x_2,...\}$ и $p_i = p({x_i}) = p(x = x_i),\ i = 1,2,...$ . Тогда для любого борелевского множества А вероятность р(А) определяется однозначно формулой

$\displaystyle P(A)=\sum\limits_{x_i\in A}p_i. \qquad\eqno (4)$

Положив в этой формуле $A = \{x_i \vert x_i < x\}, x \in R$ , получим формулу для функции распределения F(x) дискретной случайной величины $\xi$ :

$\displaystyle F(x) = p(\xi < x) = \sum\limits_{\{i:x_i<x\}}p_i.\qquad\eqno (5)$

График функции F(x) представляет собой ступенчатую линию. Скачки функции F(x) в точках $\xi = x_1, x_2 ...(x_1<x_2<...)$ равны соответствующим вероятностям